1、 第四章 定积分4.1.1 定积分的背景面积 和路程问题 我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面我们学过正方形、长方形、三角形和梯形等平面“直边图形直边图形”的面积；物理中，我们知道匀速直线运动的面积；物理中，我们知道匀速直线运动的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，的时间、速度与路程的关系等等。在数学和物理中，我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面我们还经常会遇到计算平面曲线所围成的平面 “曲边曲边图形图形”的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的的面积、变速直线运到物体位移、变力做功的问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为问题。如何解决这些问题呢？现有知识无法解决，为
2、此我们需要另寻方法。此我们需要另寻方法。接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解接下来我们要学习的定积分，就可以帮助我们解决这些问题。决这些问题。引入引入xoy 图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样图中阴影部分是由曲线段和直线段围成的，这样的平面图形称为的平面图形称为曲边梯形曲边梯形，如何求这个面积呢？，如何求这个面积呢？)(xfy ab曲边梯形定义：曲边梯形定义：我们把由直线我们把由直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲和曲线线 y=f(x)所围成的图形叫作曲边梯形所围成的图形叫作曲边梯形。（1）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平）曲边梯形是由曲线段和直线段所围成的平面面图形；
3、图形；（2）曲边梯形与）曲边梯形与“直边图形直边图形”主要区别在于前者有主要区别在于前者有一边是曲线段而一边是曲线段而“直边图形直边图形”的所有边都是直线段。的所有边都是直线段。对曲边梯形概念的理解：对曲边梯形概念的理解：我们曾经用正多边形逼近圆的方法我们曾经用正多边形逼近圆的方法(即即“以直带曲以直带曲”的思想的思想)求出了圆的面积，能否也能用直边形求出了圆的面积，能否也能用直边形(如矩形如矩形)来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？来逼近曲边梯形的方法求阴影部分面积呢？将区间将区间0，1平均分成许多小区间，把曲边梯形拆平均分成许多小区间，把曲边梯形拆分成一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形分成
4、一些小曲边梯形。对每个小曲边梯形“以直代曲以直代曲”，即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个即用矩形面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边小曲边梯形的面积，对这些近似值求和，就得到曲边梯形面积的近似值。梯形面积的近似值。可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦可以想象，区间拆分的越细，近似程度就越好，亦即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形即：用化归为计算矩形面积和逼近思想来求曲边梯形的面积。可通过以下几个步骤具体实施：的面积。可通过以下几个步骤具体实施：（1）分割；）分割；（2）近似代替）近似代替(过剩和不足估计值过剩和不足估
5、计值)；（3）逼近。）逼近。问题问题1 图中阴影部分由抛物线图中阴影部分由抛物线 ，直线，直线 及及 x 轴轴围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的围成的平面图形，试估计这个曲边梯形的面积面积 S。2xy 1xxoy12xy xoy1(1)将将区间区间0，1平均分成平均分成 5 份，如图所示。份，如图所示。1S 图图(1)中，所有小矩形面积之和中，所有小矩形面积之和 显然大于所显然大于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 S 的的过剩估计值过剩估计值，则有则有1S1S44.02.0)18.06.04.02.0(222221Sxoy1(2)图图(2)中，所有小矩形面积之和中，所
6、有小矩形面积之和 显然小于所显然小于所求曲边梯形的面积，我们称求曲边梯形的面积，我们称 为为 S 的的不足估计值不足估计值，则有则有1s1s1s24.02.0)8.06.04.02.00(222221sxoy1(3)我们可以用我们可以用 或或 近似表示近似表示 S，但是都存在，但是都存在误差，二者之差为误差，二者之差为 ，但是无论是用，但是无论是用 还还是是 来表示曲边梯形的面积，来表示曲边梯形的面积，误差都不会超过误差都不会超过0.2，如图如图(3)所示。所示。1S1s2.011sS1S1sxoy1(4)为减小误差，我们将区间为减小误差，我们将区间0，1 10等分，则等分，则所求面积的过剩估
7、计值为所求面积的过剩估计值为385.01.0)12.01.0(2222S285.01.0)9.02.01.00(22222s不足估计值为不足估计值为 二者的差值为二者的差值为 ，此时，无，此时，无论用论用 还是还是 来来表示表示 S，误差都不超过，误差都不超过 0.1。1.022sS2S2s 区间分的越细，误差越小。当所区间分的越细，误差越小。当所分隔的区间长度分隔的区间长度趋于趋于 0，过剩估计值，过剩估计值和不足估计值都趋于曲边梯形面积。和不足估计值都趋于曲边梯形面积。问题问题2 司机猛踩刹车，汽车滑行司机猛踩刹车，汽车滑行 5s 后停下，此过后停下，此过程中汽车的速度程中汽车的速度 v
8、是时间是时间 t 的函数：的函数：请估计汽车在刹车过程中滑行的请估计汽车在刹车过程中滑行的距离距离 s。)50(2510)(2ttttv 分析：分析：)(551)4()3()2()1()0(1mvvvvvs)(301)5()4()3()2()1(1mvvvvvs)(2511mss此时误差不超过：此时误差不超过：将将滑行的滑行的 5s 平分成平分成 5 份份。用。用 ，近似代替汽车在近似代替汽车在01、12、23、34、45s内内的平均速度，则滑行距离的的平均速度，则滑行距离的过剩估计值过剩估计值为为 ：1s)0(v)1(v)2(v)3(v)4(v 用用 ，近似代替汽车在近似代替汽车在01、12
9、、23、34、45s内的平均速度，则滑行距离的内的平均速度，则滑行距离的不足估计值不足估计值为为 ：1s)1(v)2(v)3(v)4(v)5(v 滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的滑行时间等分的越细，误差越小。当所分隔的小时间段长度小时间段长度趋于趋于0，则过剩估计值和不足估计值都，则过剩估计值和不足估计值都趋于汽车滑行路程。趋于汽车滑行路程。若将若将 5 秒平分成秒平分成10份，则得到份，则得到过剩估计值过剩估计值为为 ：2s)(625.355.0)5()2()5.1()1()5.0(2mvvvvvs)(5.12625.35125.4822mss)(125.485.0)5.4()4()
10、1()5.0()0(2mvvvvvs不足估计值不足估计值为为 ：2s此时，误差都不超过此时，误差都不超过概括概括 前面，我们通过前面，我们通过“以直代曲以直代曲”的逼近方法解决了求的逼近方法解决了求曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：曲边梯形的面积的问题，它们的步骤：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求面积逼近所求面积所分区间长度所分区间长度 0 估计值估计值所求值所求值 动手做一做动手做一做求直线求直线 x=0,x=2,y=0与曲线与曲线 y=x2 所围成的曲边所围成的曲边梯形的面积。梯形的面积。O2xyyx 2 2 i-1n2in83 曲边梯形的定义：曲边梯形的定义：分割区间分割区间过剩估计值过剩估计值不足估计值不足估计值逼近所求面积逼近所求面积 求曲边梯形面积的步骤：求曲边梯形面积的步骤：我们把由我们把由直线直线 x=a，x=b(a b)，y=0和曲和曲线线 y=f(x)所围成的图形叫作所围成的图形叫作曲边梯形曲边梯形。小结小结
