1、第二章 一元二次函数、方程和不等式 2.2基本不等式（第 1 课时）说课稿一、说教材分析本节课是人教 A 版必修第一册第二章一元二次函数、方程和不等式第 2 节基本不 等式第 1 课时的内容。基本不等式是一种重要且基本的不等式类型， 在中学数学知识体系 中也是一个非常重要的、基础的内容， 它与很多重要的数学概念和性质有关。基本不等式的 代数结构也是数学模型思想的一个范例， 借助这个模型可以求最大值和最小值。学习基本不 等式内容可以进一步发展学生的逻辑推理、数学运算和数学建模等数学核心素养， 为后续进一步学习不等式内容打好基础。二、说学情分析基本不等式是在学生已经学习了等
2、式性质与不等式性质， 并且具备了一定的推理论证能 力的基础上进行的。基本不等式是几何平均数不大于算术平均数的最简单和最基本的情形。 基本不等式的代数结构也是数学模型思想的一个范例，借助这个模型可以求最大值和最小 值。在理解和应用基本不等式的过程中， 体现了数形结合、数学建模等数学思想。通过该内 容的学习， 不仅能进一步发展学生的推理论证能力， 数学运算和数学建模的数学素养， 而且能使学生把这些认识迁移到后继的学习中去，为以后学习一元二次不等式等打好基础。三、说教学目标1.通过对赵爽勾股圆方图的观察分析， 抽象概括出基本不等式；理解基本不等式的三种不同证明方法；2.结合具体实例， 会
3、用基本不等式解决简单的最大（小）值问题；3.进一步发展数学抽象、逻辑推理、数学运算等数学核心素养和观察分析、抽象概括的能力；4.通过赵爽勾股圆方图，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信。四、说教学重点和难点重点： 基本不等式的内容、 意义，应用基本不等式解决简单的最大（小）值问题。难点： 基本不等式的证明过程。五、说教法、学法分析1.教法：本节课以赵爽勾股圆方图引入，通过学生观察分析、抽象概括出基本不等式。 以问题驱 动课堂，教师不断启发学生自主探究，充分发挥学生的积极性、 主动性；在课堂上，教师有 效地渗透数学思想方法，发展学生数学素养。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并
4、为激发学生的学习兴趣，教师采用如下的教学方法：（1）引导发现法。通过观察分析、 抽象概括基本不等式的过程， 培养学生观察分析的1b能力，发展数学抽象的数学素养；（2）通过基本不等式的证明过程，发展学生逻辑推理和数学运算的数学素养；（3）通过基本不等式的应用，提高学生应用数学知识分析问题和解决问题的能力；（4）通过赵爽勾股圆方图，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信，体现数学的德育功能；（5）通过课前三分钟学生展示活动， 提高学生的数学表达能力， 开阔学生的知识视野。2.学法：本节课注重调动学生积极思考、主动探究。在教学过程中，教师从实际出发，不断创设 问题， 引导学生积极地观察
5、和分析， 激发学生的求知欲和学习积极性， 尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间。为了落实教学目标，教师对学生进行了以下学法指导：（1）探究学习法：学生通过观察分析赵爽勾股圆方图，抽象概括出基本不等式；（2）自主学习法： 以问题驱动课堂，通过问题串，引导学生去自主发现基本不等式；（3）反馈练习法：通过练习检验基本不等式的应用情况，找出学生存在的问题， 进而帮助学生解决问题，从而充分发挥学生的主观能动性。六、说教学过程故事情境，引入课题观察分析，抽象概括推理论证， 提升认识小试牛刀，初步应 用归纳总结，生成新知学以致用， 形成技能收获感悟，总结提高课后作业，巩固所学。（一）故事情境，引入课题通
6、过学生讲解以及教师微课视频，了解赵爽勾股圆方图蕴含的丰富的数学知识。设计意图：通过学生耳熟能详的我国古代伟大数学家赵爽及其勾股圆方图开始本节课的学习，活泼生动，激发学生的学习兴趣，展现中国古代数学成就，厚植爱国主义情怀，增强民族自信。（二）观察分析，抽象概括问题 1：如图是我们抽象出来的在北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标，你能否2在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？令AH = a, DH = b,等式？（1）四个直角三角形的面积( 相等 )；（2）直角三角形的直角边（不相等）；（3）大正方形的面积（大于）4 个直角三角形的面积和你能得到一个怎样的不当且仅当a = b 时，等号成立
7、。va, b eR, a2 + b2 之 2ab,我们用分别代替上式中的a,b 能得到什么结论？a > 0, b > 0,a > 0, b > 0,a,重要不等式：问题 2：如果ab <,a+b2基本不等式： 当且仅当a = b 时，等号成立。代数意义： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。设计意图：学通过对赵爽勾股圆方图的观察分析，抽象概括出基本不等式。（三）推理论证
8、，提升认识问题 3：上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的，是否对所有的 都能成 a > 0, b > 0立？请给出证明。证法二：（综合法-由因导果）证法一：（分析法-执果索因）a+b要证 ab <,2( a 一 b )2 之 0,a 一 2 ab + b 之 0,a + b 之 2 ab ,a+b 之 ab.2只需证 2 ab < a + b,只需证 2 ab 一 a 一 b < 0,只需证 一
9、( a 一 b )2 < 0,只需证 ( a 一 b )2 之 0,上式显然成立。证法三：（几何法）3如图,AB 是圆的直径, O为圆心，点C是 AB 上一点, 过点 C 作垂直于AB连接AC = a, BC = b,（1） OD = a + b
10、; （2） CD = ab 2（3） OD 与 CD 的大小关系怎样？ OD 之 CD几何意义：半弦长小于等于半径。问题 4：你能写出基本不等式的几种变形吗？的弦DE, AD, BD, OD.a > 0, b > 0,如果 则（1） a + b 之 2 ab , 当且仅当a = b 时，等号成立。（2） ab < (a + b)2 ,
11、当且仅当a = b 时，等号成立。 2最值定理：已知x, y 为正数，则（1）如果积 xy 等于定值 P, 那么当且仅当x = y 时，和x + y 有最小值2 P. （积定和最小）（2）如果和x + y 等于定值 S , 那么当且仅当x = y 时，积xy 有最大值 1 S 2 . （和定积最大） 4设计意图： 明确指出基本不等式能够解决的两类问题， 为用基本不等式解决简单的最大（小）值问题创造条件。4（四）x试牛刀，初步应用x已知x > 0, 求 的最小值。设计意图： 在学生已有的基础知识和认知水平上， 通
12、过应用基本不等式解决一个简单的最小值问题抽象概括出利用基本不等式求最值时需要注意的问题。（五）归纳总结，生成新知问题 5：在利用基本不等式求最值时要注意什么？（1）各项均为正数；（2）寻求定值，求和式最小值时应使积为定值；求积的最大值应使和为定值；（恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧）（3）考虑等号成立的条件是否具备，即检验多项式取得最值时的自变量的值是否在已知范围内。设计意图： 抽象概括出利用基本不等式求最大（小）值时需要注意的问题：即“一正二定三相等 ”（六）学以致用，形成技能1设x > 0, y > 0, 且x + y = 18, 则 xy 的最大值
13、为( )A80 B77 C81D822若m > 0, n > 0, mn = 81, 则m + n 的最小值为( )A4 &nbs
14、p; B 4 3 C9D18 10 < x < ,23已知 则函数
15、 y = x(1 2x) 的最大值为( )4y = + xx 3 454已知x > 3,则函数的最小值为( )设计意图： 在学生已有的基础知识和认知水平上，再次应用基本不等式解决最大（小） 值问题。采用小组合作学习的方式， 由学生上台讲解和学生点评， 培养学生的数学表达能力，落实数学运算的数学核心素养。（七） 收获感悟，总结提高设计意图： 明确本节课的重点，再次体会基本不等式在解决简单的最大（小）值问题时的作用。
16、（八）课后作业，巩固所学必做题：步步高练透第 213 页 1-8 题；选做题：课本第 46 页练习第 2 题；思考题：课本第 46 页练习第 5 题。设计意图： 分层布置作业， 从作业安排上给学生以鼓励和信心， 让不同层次的学生都学有所获，培养学生健康的心态和良好的心理品质，最终收到较好的学习效果。板书设计基本不等式例一 、 重 要 不多媒二、 基本不等式体1.内容 演示区2.代数意义3.几何意义4.三个条件（一正二定三相等）设计意图： 突出本节课的重难点以及例题的示范性作用。等式
