（成才之路）15-16学年北师大版数学必修4 第二章　平面向量 课件+课时作业+综合检测（19份）.rar

第二章基础知识检测第二章基础知识检测本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分满分 150 分考试时间 120 分钟第卷(选择题共 60 分)一、选择题(本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1以 a(1,2)，b(1，1)为基底表示 c(3，2)为()Ac4abBca4bCc4bDca4b答案B解析令 cxayb，得Error!Error!Error!Error!即 ca4B2下列说法正确的是()A两个单位向量的数量积为 1B若 abac，且 a0，则 bcCAB OA OB D若 bc，则(ac)bab答案D解析A 中两向量的夹角不确定；B 中若 ab，ac，b 与 c 反方向则不成立；C 中应为AB OB OA；D 中 bcbc0，所以(ac)babcbaB3设向量 a 与 b 的夹角为，a(2,1)，a2b(4,5)，则 cos()A1010B31010C35D45答案D解析由已知条件知 b12(4,5)a(1,2)，cosab|a|b|45 545.4已知向量 a(1,3)，b(2，m)，若 a 与 a2b 垂直，则 m 的值为()A12B1C12D1答案D解析a2b(1,3)2(2，m)(3,32m)，a 与 a2b 垂直1(3)3(32m)0，m1.5(2014新课标理，3)设向量 a，b 满足|ab|10，|ab|6，则 ab()A1B2C3D5答案A解析本题考查平面向量的模，平面向量的数量积|ab|10，|ab|6，a2b22ab10，a2b22ab6.联立方程解得 ab1，故选 A6已知向量 a 与 b 的夹角为 120，|a|3，|ab|13，则|b|等于()A5B4C3D1答案B解析|ab|13，(ab)213，即 a22abb213，也就是|a|22|a|b|cos|b|213.将 120，|a|3，代入可得|b|23|b|40.解之，得|b|4 或|b|1(舍去)7a，b 为平面向量，已知 a(4,3)，2ab(3,18)，则 a，b 夹角的余弦值等于()A865B865C1665D1665答案C解析由题可知，设 b(x，y)，则 2ab(8x,6y)(3,18)，所以可以解得 x5，y12，故 b(5,12)，从而 cosa，bab|a|b|1665.8已知向量 ae，|e|1，对任意 tR，恒有|ate|ae|，则()AaeBa(ae)Ce(ae)D(ae)(ae)答案C解析由条件可知|ate|2|ae|2对 tR 恒成立，又|e|1，t22aet2ae10 对 tR 恒成立，即 4(ae)28ae40 恒成立(ae1)20 恒成立，而(ae1)20，ae10.即 ae1e2，e(ae)0，即 e(ae)9在ABC 中，点 D 在边 AB 上，CD 平分ACB若CB a，CA b，|a|1，|b|2，则CD()A13a23bB23a13bC35a45bD45a35b答案B解析由角平分线的性质得|AD|2|DB|，即有AD 23AB 23(CB CA)23(ab)从而CD CA AD b23(ab)23a13B故选 B10已知 a、b 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量 c 满足(ac)(bc)0，则|c|的最大值是()A1B2C2D22答案C解析由(ac)(bc)0 得ab(ab)cc20，即 c2(ab)c，故|c|c|ab|c|，即|c|ab|2，故选 C11(2014四川理，7)平面向量 a(1,2)，b(4,2)，cmab(mR)，且 c 与 a 的夹角等于 c 与 b 的夹角，则 m()A2B1C1D2答案D解析本题考查了平面向量的坐标运算以及向量的夹角公式cmab(m4,2m2)，ac5m8，bc8m20.由两向量的夹角相等可得ac|a|bc|b|，即为5m858m2020，解得 m2.12已知向量 a(2cos，2sin)，(2，)，b(0,1)则向量 a 与 b 的夹角是()A32B2C2D答案A解析本题可以用向量的坐标运算和向量数量积的概念求解即cosa，bab|a|b|2sin21sin，0a，b，cosa，bcos(32)，a，b32.第卷(非选择题共 90 分)二、填空题(本大题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20 分，把答案填在题中横线上)13已知平面向量OA(k,12)，OB(4,5)，OC(10，k)，若 A，B，C 三点共线，则实数 k_.答案11 或2解析AB(4k，7)，AC(10k，k12)A，B，C 三点共线，(4k)(k12)7(10k)0，k29k220，k11 或 k2.14(2014北京理，10)已知向量 a，b 满足|a|1，b(2,1)，且 ab0(R)，则|_.答案5解析本题考查了平面向量的坐标运算与数量积的运算由 ab0，有 ba，于是|b|a|，由 b(2,1)，可得|b|5，又|a|1，故|5.15(2015浙江文，13)已知 e1，e2是平面单位向量，且 e1e212，若平面向量 b 满足 be1be21，则|b|_.答案233解析由题可知，不妨设 e1(1,0)，e2(12，32)，设 b(x，y)，则 be1x1，be212x32y1，所以 b(1，33)，所以|b|113233.16.如图所示，在ABC 中，点 O 是 BC 的中点，过 O 的直线分别交直线 AB，AC 于不同的两点 M，N，若AB mAM，AC nAN，则 mn 的值为_答案2解析连接 AO，AO 12(AB AC)12(mAM nAN)m2AM n2AN，OM AM AO AM m2AM n2AN(1m2)AM n2AN.NM AM AN，这样OM 与NM 都可以用AM，AN 表示出来又因为OM 与NM 共线，利用共线向量定理得OM NM，即(1m2)AM n2AN AM AN，Error!Error!112(mn)0，mn2.三、解答题(本大题共 6 个小题，满分 70 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(本小题满分 10 分)已知|a|2，|b|3，a 与 b 的夹角为 120.求：(1)(2ab)(a3b)；(2)|ab|.解析ab|a|b|cos12023(12)3.(1)(2ab)(a3b)2a25ab3b28152734.(2)|ab|ab2a22abb246919.18(本小题满分 12 分)已知|a|1，|b|2.(1)若 ab，求 ab；(2)若 a，b 的夹角为 60，求|ab|；(3)若 ab 与 a 垂直，求 a 与 b 的夹角解析设向量 a 与 b 的夹角为.(1)若 a 与 b 同向，则 0，ab|a|b|cos01212.若 a 与 b 反向，则 180，ab|a|bcos18012(1)2.(2)|ab|2(ab)2a22abb2|a|22|a|b|cos60|b|2121212(2)232.|ab|32.(3)(ab)a，(ab)aa2ba0.aba21.cosab|a|b|1222.0180，45.19(本小题满分 12 分)已知 a(12，32)，OA ab，OB ab，若AOB 是以 O为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 B解析设向量 b(x，y)，则OA ab(12x，32y)，OB ab(12x，32y)，由题意可知，OA OB 0，|OA|OB|，从而有Error!Error!解之得Error!Error!或Error!Error!所以 b(32，12)或 b(32，12)20(本小题满分 12 分)已知|a|2，|b|1，a 与 b 的夹角为 60，求向量 m2ab 与向量 na4b 的夹角 的余弦值解析ab21cos601，|m|2|2ab|24|a|24ab|b|242241121，|n|2|a4b|2|a|28ab16|b|2228116112，|m|21，|n|23，mn(2ab)(a4b)2|a|27ab4|b|222271413，cosmn|m|n|321 23714.21(本小题满分 12 分)如图所示，OAB 中，OA a，OB b，M，N 分别是边 OA，OB上的点，且OM 13a，ON 12b，设AN 与BM 相交于 P，用向量 a，b 表示OP.分析先利用平面向量基本定理设出，然后利用共线向量的条件列出方程组，从而确定参数的值解析OP OM MP ON NP.设MP mMB，NP nNA，则OP OM mMB 13am(b13a)13(1m)amb，OP ON nNA 12bn(a12b)12(1n)bnAa，b 不共线，Error!Error!Error!Error!OP 15a25B22(本小题满分 12 分)如图所示，在平行四边形 ABCD 中，BC2BA，ABC60，作 AEBD 交 BC 于 E，求 BEEC解析解法一：设BA a，BC b，|a|1，|b|2，则 ab|a|b|cos601，BD aB设BE BC b，则AE BE BA ba，由 AEBD，得AE BD 0，即(ba)(ab)0，得 25，所以 BEEC25:3523.解法二：以 B 为坐标原点，直线 BC 为 x 轴建立平面直角坐标系，根据条件，设 B(0,0)，C(2,0)，A(12，32)，D(52，32).又设 E(m,0)，则BD(52，32)，AE(m12，32)，由 AEBD，得AE BD 0，即52(m12)32320，得 m45，所以 BEEC45:6523.成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修4 平面向量平面向量第二章第二章第二章第二章章末归纳总结章末归纳总结知知 识识 梳梳 理理2知知 识识 结结 构构1专专 题题 探探 究究3限限 时时 巩巩 固固4知知 识识 结结 构构知知 识识 梳梳 理理(2)零向量长度为零的向量，叫作零向量，其方向是任意的我们规定：零向量和任意向量平行(3)单位向量模为1个单位的向量(4)相等向量具有方向的线段，叫作有向线段同向且等长的有向线段表示同一向量，或相等的向量相等向量经过平移后总可以重合，记为ab(5)相反向量与向量a方向相反且等长的向量叫作a的相反向量(6)向量共线向量共线也叫向量平行，这里的“平行”与两直线(或线段)平行的意义不同，两向量平行时，两向量可以在同一条直线上，甚至起点都可以相同2向量的运算(1)向量加法的三角形法则是两向量首尾相接，和向量是以第一个向量的起点为起点，以第二个向量的终点为终点；向量减法的三角形法则是将两个向量的起点移到一起，差向量是连接两向量的终点，箭头指向被减向量的终点向量加法的平行四边形法则，是两向量始点重合，在这一点上与三角形法则是不同，但本质是相同的数乘向量的几何意义数乘向量的几何意义就是把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小数乘向量运算满足的运算律 设，为实数，则()aaa；(a)()a；(ab)ab(分配律)向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算(3)共线向量平行向量基本定理如果ab，则ab；反之，如果ab，且b0，则一定存在唯一一个实数，使ab3向量的分解与向量的坐标运算(1)平面向量基本定理如果e1和e2是一平面内的两个不平行的向量，那么该平面内的任一向量a，存在唯一的一对实数a1，a2，使aa1e1a2e2.我们把不共线的向量e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底，记为e1，e2a1e1a2e2叫作向量a关于基底e1，e2的分解式专专 题题 研研 究究向量是既有大小又有方向的量，它具有代数和几何的双重身份，其有关概念，如共线向量、相等向量、方向向量、单位向量、投影、夹角等都从不同侧面反映向量的本质属性向量的有关概念是向量基本运算的基础，所以应对这些相关概念及表达形式熟练掌握向量的有关概念下列命题是假命题的是()A两个向量的和仍是一个向量B当向量a与向量b不共线时，ab的方向与a，b的方向都不相同，且|ab|a|b|C当向量a与向量b同向时，ab，a，b都同向，并且|ab|a|b|D如果向量ab，那么a与b有相同的起点和终点答案D解析只要满足大小相等，方向相同，这些向量才是相等向量因为向量可以平移，所以向量的相等与向量的起始点无关，故选D1向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫作向量的线性运算，主要是运用它们的运算法则、运算律，解决三点共线、两线段平行、线段相等、求点的坐标等问题2理解向量的有关概念如平行向量(共线向量)、相等与相反向量、平面向量基本定理、单位向量等及其相应运算的几何意义；并能灵活应用基向量、平行四边形法则、三角形法则等，是求解有关向量线性运算的基础向量的线性运算规律总结结合图形，用已知向量表示未知向量，借助于相等向量对应系数相等构造方程组解决问题向量的数量积运算，是向量作为研究问题和解决问题工具的根本体现根据向量数量积的定义及变形形式，可非常简便地求解有关距离、角度问题，可以判断垂直及三角形形状问题，还可以证明某些平面几何问题向量的数量积运算规律总结平面向量的数量积是向量的核心内容，向量的平行、垂直是向量中最基本、最重要的位置关系，而向量的夹角、长度是向量的数量特征，利用向量的数量积可以证明两向量垂直、平行，求两向量的夹角，计算向量的长度等 例4如右图所示，在AOB中，若A，B两点坐标分别为(2,0)，(3，4)，点C在AB上，且OC平分BOA，求点C的坐标向量的坐标运算已知两个向量a(3,4)，b(2，1)，当axb与ab垂直时，x的值为_向量的综合应用思路分析(1)依条件式代入后判定；(2)代入求得mn可知结论规范解答(1)由于a(cos，sin)，则a21.ff(x)fx2(xa)ax2(xa)a2x2(xa)aaax2(xa)a2(xa)ax.所以ff(x)的结果不会随着的取值范围的变化而变化规律总结对于新情境题，一定要在充分理解题意的基础上将其转化为我们熟知的情境对于本题而言，是将一个向量集合映射为它自身，这与我们熟悉的函数情境是不一致的，但若能将函数的有关知识迁移到本题中来，问题则转化成向量之间的数量积及线性运算限限 时时 巩巩 固固一、选择题1若平面向量b与向量a(1，2)的夹角是180，且|b|3，则b等于()A(3,6)B(3，6)C(6，3)D(6,3)答案A4(2014全国大纲文，6)已知a、b为单位向量，其夹角为60，则(2ab)b()A1B0C1D2答案B解析考查向量数量积的定义及性质(2ab)b2ab|b|22|a|b|cos60|b|20，正确运用数量积的定义是解决本题的关键二、填空题6已知向量a(2,4)，b(1,1)，若向量b(ab)，则实数的值是_答案3解析ab(2,4)(1,1)(2，4)b(ab)，b(ab)0，即(1,1)(2，4)24620，3.7 已 知 三 点 A(1,0)，B(0,1)，C(2,5)，求 cosBAC_.8把函数yx24x7的图像按向量a经过一次平移以后得到yx2的图像，则平移向量a等于_(用坐标表示)答案(2，3)解析由y(x2)23，得yx2，所以a(2，3)第二章第二章1 一、选择题1下列说法中正确的是()A只有方向相同或相反的向量是平行向量B零向量的长度是零C长度相等的两个向量是相等的向量D共线向量是在一条直线上的向量答案B解析表示向量的有向线段所在的直线平行或重合，这样的向量都是平行向量长度和方向都相同的向量才是相等的向量，选项 B 正确2下列说法正确的是()A若|a|b|，则 abB若|a|b|，则 abC若 ab，则 a 与 b 共线D若 ab，则 a 一定不与 b 共线答案C解析A 中，向量的模可以比较大小，因为向量的模是非负实数，虽然|a|b|，但 a与 b 的方向不确定，不能说 aBA 不正确；同理 B 错误；D 中，ab，a 可与 b 共线，故选 C3两列火车从同一站台沿相反方向开走，走了相同的路程设两列火车的位移向量分别为 a 和 b，那么下列命题错误的是()Aa 与 b 为平行向量Ba 与 b 为模相等的向量Ca 与 b 为不相等的向量Da 与 b 为相等的向量答案D解析由于 a 和 b 的大小相等，方向相反，所以|a|b|，且 aB4若向量 a 与 b 不相等，则 a 与 b()A不共线B长度不相等C不可能都是单位向量D不可能都是零向量答案D解析若 ab0，则 aB5把平面上一切单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所组成的图形是()A一条线段B一段圆弧C圆上一群孤立点D一个圆答案D解析单位向量长度是一个单位，但方向任意，当把单位向量归结到同一个始点，其终点构成一个圆，即半径为 1 的圆故选 D6如图，在菱形 ABCD 中，DAB120，则以下说法错误的是()A与向量AB 相等的向量只有一个(不含AB)B与向量AB 的模相等的向量有 9 个(不含AB)CBD 的模恰为DA 的模的3倍DCB 与DA 不共线答案D解析由有关概念逐一验证知，选项 A，B，C 正确二、填空题7如图，在平行四边形 ABCD 中，与AB 共线的向量是_，与AB 相等的向量是_答案BA，DC，CD DC 8在四边形 ABCD 中，AB DC，且|AB|AD|，则四边形 ABCD 为_答案菱形解析AB DC，四边形 ABCD 为平行四边形又|AB|AD|，平行四边形 ABCD 为菱形三、解答题9“小鹰”号航空母舰导弹发射处接到命令：向 1200km 处发射两枚战斧式巡航导弹(精度 10m 左右，射程超过 2000km)试问：导弹是否能击中军事目标？解析由于只给出了发射的路程(即量的大小)，没有给出发射的方向(即量的方向)，故导弹无法击中军事目标10如图所示，在四边形 ABCD 中，AB DC，N，M 分别是 AD，BC 上的点，且CN MA.求证：DN MB.证明AB DC，|AB|DC|且 ABCD四边形 ABCD 是平行四边形|DA|CB|，且 DACB又DA 与CB 方向相同，CB DA.CN MA，|CN|MA|且 CNMA四边形 CNAM 是平行四边形|CM|NA|，且 CMNA又CM 与NA 方向相同，CM NA，MB DN.一、选择题1已知 A与 a 共线的向量，B与 a 长度相等的向量，C与 a 长度相等，方向相反的向量，其中 a 为非零向量，则下列命题错误的是()ACABABaCCBDABa答案B解析因为 AB 是由与 a 共线且与 a 的模相等的向量构成的集合，即由与 a 的模相等且方向相同或相反的向量构成的集合，所以 ABa是错误的2下列说法正确的是()A向量AB 与CD 是共线向量，则AB 所在直线平行于CD 所在的直线B向量 a 与 b 平行，则 a 与 b 的方向相同或相反C向量AB 的长度与向量BA 的长度相等D单位向量都相等答案C解析对于 A，考查的是有向线段共线与向量共线的区别事实上，有向线段共线要求线段必须在同一直线上而向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一直线上；对于 B，由于零向量与任一向量平行，因此若 a，b 中有一个为零向量，其方向是不确定的；对于 C；向量AB 与BA 方向相反，但长度相等；对于 D，需要强调的是，单位向量不仅仅指的是长度，还有方向，而向量相等不仅仅需要长度相等而且还要求方向相同故选 C二、填空题3 若 A 地位于 B 地正西方向 5km 处，C 地位于 A 地正北方向 5km 处，则 C 地相对于 B地的位移是_答案西北方向 52km解析如图，|BA|5km，|AC|5km，则 C 地相对于 B 地的位移的大小为|BC|52km，方向为北偏西 45，即西北方向4下列命题正确的是_(1)零向量没有方向；(2)单位向量都相等；(3)向量就是有向线段；(4)两相等向量若其起点相同，则终点也相同；(5)若 ab，bc，则 ac；(6)若四边形 ABCD 是平行四边形，则AB DC，BC DA.答案(4)(5)解析(1)该命题不正确，零向量不是没有方向，只是方向不定；(2)该命题不正确，单位向量只是模均为单位长度 1，而对方向没要求；(3)该命题不正确，有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来；(4)该命题正确，因两相等向量的模相等，方向相同，故当它们的起点相同时，其终点必重合；(5)该命题正确由向量相等的定义知，a 与 b 的模相等，b 与 c 的模相等，从而 a 与 c的模相等；又 a 与 b 的方向相同，b 与 c 的方向相同，从而 a 与 c 的方向也必相同，故 ac；(6)该命题不正确显然有AB DC，但BC DA.三、解答题5在四边形 ABCD 中，AB DC，N，M 分别是 AD，BC 上的点，且CN MA，证明：四边形 DNBM 是平行四边形证明AB DC，四边形 ABCD 为平行四边形，AD，BC 平行且相等又CN MA，四边形 CNAM 为平行四边形，AN，MC 平行且相等，ADANBCMC，即 DNMB，DN，MB 平行且相等，四边形 DNBM 是平行四边形6一个人从 A 点出发沿东北方向走了 100m 到达 B 点，然后改变方向，沿南偏东 15方向又走了 100m 到达 C 点，求此人从 C 点走回 A 点的位移解析如图所示，|AB|100m，|BC|100m，ABC451560，ABC 为正三角形，|CA|100m，即此人从 C 点返回 A 点所走的路程为 100m.BAC60，CADBACBAD15，即此人行走的方向为西偏北 15.故此人从 C 点走回 A 点的位移为沿西偏北 15方向 100m.7如图，O 为正方形 ABCD 对角线的交点，四边形 OAED，OCFB 都是正方形，在图中所示的向量中：求：(1)写出相等的向量；(2)与AO 共线的向量；(3)模相等的向量；(4)AO 与CO 是否为相等向量解析(1)AO BF，BO AE，DO CF，DE CO.(2)与AO 共线的向量为：BF，CO，DE.(3)|AO|CO|DO|BO|BF|CF|AE|DE|.(4)AO 与CO 不相等成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修4 平面向量平面向量第二章第二章1从位移、速度、力到向量从位移、速度、力到向量第二章第二章课堂典例讲练课堂典例讲练2课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1易错疑难辨析易错疑难辨析3课前自主预习课前自主预习老鼠由A向西北逃窜，猫在B处向东追去，请问：猫能否追到老鼠(如图)?结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了分析：老鼠逃窜的路线AC、猫追逐的路线BD实际上都是有长短、有方向的量生活中还有许多既有大小又有方向的量，你能说出它们并指出其大小和方向吗？本节就来学习这方面的知识大小 方向 方向和长度 有向线段向量的大小向量的方向|a|4四种重要的向量(1)长 度 为 零 的 向 量 叫 作 _，记 作 _或_，它的方向与任一向量平行(2)与向量a_，且长度为_的向量，叫作a方向上的单位向量，记作_(3)长度_且方向_的向量叫作相等向量，向量a与b相等，记作ab规定所有的零向量_(4)如 果 表 示 两 个 向 量 的 有 向 线 段 所 在 的 直 线_，则称这两个向量_或_，a与b平行或共线，记作ab零向量 0 同方向 单位1 a0 相等 相同 相等 平行或重合 平行 共线 1下列各量：密度；浮力；温度；风速其中向量有()ABCD答案C解析主要考查向量与数量的区别由向量的概念可知：浮力和风速是向量，密度与温度是数量，故选C实际问题中的一些量(温度、电量等)，尽管它们有正、负之分，但不是表示方向的，它们是数量，而向量是一个既有大小又有方向的量，如位移、速度、加速度、力等物理量2下列关于向量的说法中，正确的是()A长度相等的两向量必相等B两向量相等，其长度不一定相等C向量的大小与有向线段的起点无关D向量的大小与有向线段的起点有关答案C解析长度相等，方向不同的向量并不是相等向量，故A错；两向量相等，必有两向量的长度相等，故B错；向量的大小与有向线段的起点并无关系，故D错答案D4若对任意向量b，均有ab，则a为_答案0解析零向量可以与任意向量平行课堂典例讲练课堂典例讲练向量的有关概念思路分析本题涉及了向量的几个重要概念解答时可从向量定义、向量的模、相等向量、平行向量等概念入手，逐一判断对错答案(4)规律总结对于一些意义相近的概念，一定要准确把握，仔细分辨如有向线段与向量，不能混同，有向线段是向量的几何表现形式，不仅有大小和方向，还有起点和终点，而向量只有大小和方向比如向量a的单位向量有两个，这两个单位向量方向相反再如向量共线与向量同向，共线不一定同向，但同向一定共线相等向量与共线向量规律总结(1)寻找相等向量要把握住向量的两要素：大小和方向，相等向量必须二者都相同才成立同时，也可以看出，向量是可以平移的，相等向量的起点并不一定要相同(2)对于非零向量，共线向量只需把握向量的方向要素，与向量的大小无关，故寻找非零共线向量时，只需判断两向量所在的直线是否共线或者重合即可向量表示的模型规范解答(1)如图所示规律总结(1)准确画出向量的方法是先确定向量起点，再确定向量的方向，然后根据向量的大小确定向量的终点(2)要能够运用向量的观点将实际问题抽象成数学模型，“数学建模”是今后能力培养的主要方向，需要在日常学习中不断积累经验一位模型赛车手遥控一辆赛车面向正东方向，向前行进1m，逆时针方向旋转，继续按直线向前行进1m，再按逆时针方向旋转，继续按直线向前行进1m，按此方法继续操作下去(1)作图说明，若45，则操作几次时，赛车的位移是零；(2)按(1)中操作得到的向量中，写出相等或共线的向量思路分析当赛车总共转了360之后，回到起点时，位移刚好是零向量的应用规律总结向量相等或共线与表示向量的有向线段的起点无关，仅决定于向量的长度和方向解析如下图，以点C为起点作向量(共8个)，以点B为起点作向量(共3个)易错疑难辨析易错疑难辨析错解D辨析认为正确是忽略了0和0的区别由|a|0可知a是零向量，但是a0，之所以出现这样的错误原因是对零向量的概念认识不清；认为正确是把两个向量的模相等和两个实数相等混淆了，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，并不意味着它们的方向是相同或相反的；认为正确是因为对两个向量平行的意义理解不透造成的，两个向量平行，可以得到它们的方向相同或相反，而未必得到它们的模相等，正确正解A课课 时时 作作 业业（点此链接）（点此链接）第二章第二章2 一、选择题1在ABC 中，AB a，CB b，则CA 等于()AabBabCbaDab答案C解析CA CB BA bAB ba，故选 C2化简(AB CD)(BE DE)的结果是()A0BAE CCA DAC 答案D解析原式AB CD BE DE(AB BE)(CD DE)AE CE AE EC AC.3已知四边形 ABCD 为菱形，则下列等式中成立的是()AAB BC CA BAB AC BC CAC BA AD DAC AD DC 答案C解析AB BC AC CA，故 A 项错.AB AC BC，故 B 项错.AC BA BA AC BC AD，故 C 项正确.AC AD DC，故 D 项错4下列命题中，真命题的个数为()若 ab 与 ab 是共线向量，则 a 与 b 也是共线向量；若|a|b|ab|，则 a 与 b 是共线向量；若|ab|a|b|，则 a 与 b 是共线向量；若|a|b|a|b|，则 b 与任何向量都共线A1 个 B2 个 C3 个 D4 个答案C解析要选出正确答案，需对每个命题进行判断若 a 与 b 不共线，则由向量加法和减法的几何意义知 ab 与 ab 分别是以 a，b 为邻边的平行四边形的两条对角线，因此 ab 与 ab 不共线，与已知条件矛盾，从而 a 与 b 必为共线向量，故命题正确；由不等式|a|b|ab|a|b|中等号成立的条件可知命题与都正确；由|a|b|a|b|可得|a|b|a|b|或|a|b|a|b|，所以|b|0 或|a|0，从而 b0 或 a0，即说明 b 不一定为零向量，故命题不正确，故选 C5如图所示，正六边形 ABCDEF 中，BA CD EF 等于()A0BBE CAD DCF 答案D解析如图所示，在正六边形 ABCDEF 中，CD AF，BF CE，BA CD EF BA AF EF BF EF CE EF CF.故选 D6在ABC 中，|AB|BC|CA|1，则|AB BC|的值是()A0B1 C3D2答案C解析由|AB|BC|CA|1，得ABC 为正三角形，则AB BC AB CB，如图所示，过点 B 作BD CB，则AB BC AD，所以|AB BC|AD|3.二、填空题7 梯形 ABCD 中，ABDC，AC 与 BD 交于 O 点，则AD BD BC AO CO _.答案0解析原式AD DB BC OA CO 0.8已知|a|b|ab|，作OA a，OB ab，则AOB_.答案30解析如图所示，由|a|b|ab|，易知ABC 为正三角形，故AOB30.三、解答题9如图，在ABCD 中，AB a，AD B(1)用 a，b 表示AC，DB；(2)当 a，b 满足什么条件时，ab 与 ab 所在直线互相垂直？(3)当 a，b 满足什么条件时，|ab|ab|；(4)ab 与 ab 有可能为相等向量吗？为什么？解析(1)AC AB AD ab，DB AB AD aB(2)由(1)知，abAC，abDB，ab 与 ab 所在直线垂直，即 ACBD，又四边形 ABCD 为平行四边形，四边形 ABCD 为菱形，即 a，b 应满足|a|b|.(3)|ab|ab|，即|AC|BD|.矩形的对角线相等，当 a 与 b 垂直时，满足|ab|ab|.(4)不可能 因为ABCD 的两对角线不可能平行，因此 ab 与 ab 不可能为共线向量，那么就不可能为相等向量了10.如右图，一物体受到两个大小均为 60N 的力的作用，两力的夹角为 60且有一力方向水平，求其合力的大小及方向解析如题图，设OA、OB 分别表示两力，以 OA、OB 为邻边作平行四边形 OACB，则OC 就是合力由已知可得OAC 为等腰三角形且COA30.过 A 作 ADOC 于 D，则在 RtOAD 中，|OD|OA|cos306032303，故|OC|2|OD|603，即合力的大小为 603N，方向与水平方向成 30角向上一、选择题1若 O，E，F 是不共线的任意三点，则以下各式成立的是()AEF OF OE BEF OE OF CEF FO OE DEF FO EO 答案B解析可以画出图形，然后利用三角形法则找出正确答案如图，由图知选项 A，D 不正确；FO OE FE，故选项 C 不正确；EF OE OE EF OF，故选项 B 正确，故选 B2如图，D、E、F 分别是ABC 的边 AB、BC、CA 的中点，则()AAD BE CF 0BBD CF DF 0CAD CE CF 0DBD BE FC 0答案A解析AD 12AB，BE 12BC，CF 12CA，AD BE CF 12(AB BC CA)12(AC CA)0.故选 A二、填空题3.如图，在ABCD 中，(1)AB _AC；(2)AC CD _AO；(3)AB AD CD _；(4)_BA DA 0.答案(1)AD 或BC(2)DO 或OB(3)AD(4)AC 解析(1)AC AB BC AD，AB BC AB AD AC；(2)AO(AC CD)AO AD DO OB，AC CD DO AC CD OB AO；(3)AB AD CD AC CD AD；(4)BA DA CD CB CA，AC BA DA 0.4长度相等的三个非零向量OA，OB，OC 满足OA OB OC 0，则由 A，B，C 三点构成的ABC 是_三角形答案等边解析如图所示，作OA，OB 的和向量OD，OA OB OC 0，OA OB OC.|OA|OD|，AOD 为等边三角形，OAB12OAD30.同理，OACOCAOCBOBCOBA30，BACABCACB60，即ABC 为等边三角形三、解答题5 如图所示，O 为ABC 内一点，AO 交 BC 于 D，BO 交 CA 于 E，CO 交 AB 于 F，OA a，OB b，OC c，EO e，DO d，FO f.(1)求AC；(2)求AD；(3)求AD AB；(4)求AB CF；(5)求BF BD；(6)求DF FE ED.解析(1)AC OC OA ca；(2)AD OD OA DO OA da；(3)AD AB BD OD OB DO OB db；(4)AB CF OB OA OF OC bafc；(5)BF BD DF OF OD FO DO df；(6)DF FE ED OF OD OE OF OD OE 0.6.如图，已知 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC、AC、AB 的中点 求证：AD BE CF 0.证明由题意知：AD AC CD，BE BC CE，CF CB BF.由平面几何可知：EF CD，BF FA.AD BE CF(AC CD)(BC CE)(CB BF)(AC CD CE BF)(BC CB)(AE EC CD CE BF)0AE CD BF AE EF FA 0.7如图，点 O，O和ABC，ABC满足下列条件：OA a，OB BOC c，OA a，OB b，OC C求证：(1)ABCABC；(2)ABC 与 ABC关于线段 OO的中点 M 对称解析(1)BC OC OB cbb(c)OB OC CB，|BC|CB|.同理，|CA|CA|，|AB|AB|，ABCABC.(2)M 为 OO的中点，MO MO.MA MO OA MO a，又AM AO OM OA(MO)(a)MO aMO，MA AM，即 M 为 AA的中点，同理 M 也是 BB与 CC的中点ABC 与ABC关于线段 OO的中点 M 对称成才之路成才之路 数学数学路漫漫其修远兮路漫漫其修远兮 吾将上下而求索吾将上下而求索北师大版北师大版 必修必修4 平面向量平面向量第二章第二章2从位移的合成到向量的加法从位移的合成到向量的加法第二章第二章课堂典例讲练课堂典例讲练2课课 时时 作作 业业4课前自主预习课前自主预习1易错疑难辨析易错疑难辨析3课前自主预习课前自主预习在日常生活中，你是否有这样的经验：两个人共提一个重物，夹角越大越费力；在单杠上做引体向上运动，两臂的夹角越小越省力你能从数学的角度解释这种现象吗？当你学了向量的加法后就容易解释了！向量a与b的和(3)运算律交换律：ab_.结合律：(ab)ca(_)特别地：对于零向量与任一向量a的和有0a_.ba bc a 2向量的减法(1)相反向量与a长度_、方向_的向量，叫作a的相反向量，记作_，零向量的相反向量仍是_关于相反向量有：(a)_；a(a)(a)a_；若a，b互为相反向量，则a_，b_，ab_.相等 相反 a 零向量 a 0 b a 0 相反向量 差 向量b的终点 向量a的终点 1已知非零向量a，b，c，则向量(ac)b，b(ac)，b(ca)，c(ba)，c(ab)中，与向量abc相等的个数为()A2B3C4D5答案D解析由向量加法的交换律与结合律可知这5个式子都等于abc，故选D答案B课堂典例讲练课堂典例讲练向量的加法思路分析由向量加法的三角形法则或平行四边形法则逐一验证答案A规律总结作向量加法运算时，若两个向量起点相同，则用平行四边形法则；若一个向量的终点连接另一个向量的起点，则用三角形法则；若起点和终点均不相连，则利用向量相等的定义先对向量平移，后进行化简、运算向量的加减法运算规律总结满足下列两种形式时可以化简：(1)首尾相接且为和；(2)起点相同且为差做题时要注意观察是否有这两种形式同时要注意逆向应用，统一向量起点方法的应用在四川汶川“512”大地震后，一架救援直升飞机从A地沿北偏东60方向飞行了40km到达B地，再由B