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1、单调性的几个等价命题单调性的几个等价命题 1. 函数 f(x)为定义域在D上的增函数对任意 12 ,x xD，当 12 xx时,都有 12 12 ()() 0 f xf x xx ； 2.2.对任意 12 ,x xD，当 12 xx时,都有 12 12 ()()f xf x k xx 1122 12 ()() 0 f xkxf xkx xx 函数 f(x)kx 为D上的增 函数 说明：含有地位同等的两个变量 x1, x 2或?,?等不等式，进行“尘归尘，土归土”式的 整理，是一种常见变形，如果整理（即同构）后不等式两边具有结构的一致性，往往暗示单 调性（需要预先设定两个变量的大小）. 例例 1

2、（2021江苏镇江八校12 联考）已知函数 f(x)的定义域为 R，图象恒过(0,1)点， 对 任 意 12 ,x xR， 当 12 xx时 , 都 有 12 12 ()() 1 f xf x xx ， 则 不 等 式 ln(1)1 ln(1) xx fee )的解集为() A.(In2, +)B.(-,ln2)C.(In 2,1)D.(0, ln 2) 【答案】D 【分析】移项通分，按结构相同、同一变量分成一组的原则，将 12 12 ()() 1 f xf x xx 化为 1122 12 ( )() 0 f xxf xx xx 令( )( )F xf xx， 故( )F x在 R 上单增，且

3、(0)(0)01Ff ln(1)1 ln(1) xx fee 可化为ln(1) ln(1)1 xx fee 即ln(1)(0) x FeF，所以ln(1)0 x e ，011 x e ，解之得1ln2x 所以不等式ln(1)1 ln(1) xx fee )的解集为(0, ln 2). 点评： 1.f(x)在D单增 （减）对任意 12 ,x xD， 当 12 xx时， 都有 12 12 ()() 0( 0) f xf x xx ； 2.结 构 联 想 ， 当 题 目 中 出 现 12 12 ()()f xf x a xx ， 应 移 项 通 分 转 化 为 1122 12 ()() 0 f xa

4、xf xax xx ，即 F(x)=f(x)ax 在D单增. 例例 2(2021江苏南通如皋一抽测22 改编)已知函数 2 ( )ln3f xxxx，对于任意 12 ,1,10 x x ，当 12 xx时，不等式 12 12 12 ()() m xx f xf x x x 恒成立，则实数m的取 值范围是_. 【答案】(, 1710 【分析】同构后不等式两边具有结构的一致性，构造新函数，直接转化为函数的单调性. 【解析】不等式 21 12 12 m xx f xf x x x 可变形为 12 12 mm fxfx xx ， 即 12 12 mm fxfx xx ，当 12 ,1,10 x x ，

5、且 12 xx恒成立， 所以函数( ) m yf x x 在1,10上单调递减. 令 2 ( )( )ln3,1,10 mm h xf xxxxx xx 则 2 1 ( )230 m h xx xx 在1,10 x上恒成立， 即 32 23mxxx在 1,10 x上恒成立. 设 32 ( )23F xxxx，则 2 2 11 ( )6616 22 F xxxx . 因为当1,10 x时， ( )0F x ， 所以函数( )F x在1,10上单调递减， 所以 32 min ( )(10)2 103 10101710F xF ， 所以1710m， 即实数m的取值范围为(, 1710 . 例 3（2

6、021江苏南通如皋期末12）已知 f x是定义在R上的奇函数，对任意两个 不相等的正数 1 x， 2 x，都有 2112 21 0 x f xx f x xx ，记 3 3 0.2 0.2 f a ， sin1 sin1 f b ， 1 ln 3 ln3 f c ，则a，b，c的大小关系为 A.abcB.bacC.cabD.cba 【答案】D 【解析】构造函数 ( ) fx g x x ，则因为 fx是定义在R上的奇函数，故( )g x为定义域 是|0 x x 的偶函数 又对任意两个不相等的正数 12 ,x x都有 2112 21 0 x f xx f x xx ，即 12 12 12 121

7、2 00 f xf x g xg xxx xxxx ，故( )g x在0,上为减函数. 综上,( )g x为偶函数,且在,0上单调递增,在0,上单调递减. 又 3 3 3 0.2 (0.2 ) 0.2 f ag ， sin1 (sin1) sin1 f bg， 1 ln ln3ln3 3 ln3 ln3ln3ln3 f ff cg ，且 3 00.2sin1ln3 所以 3 (0.2(sin1)l)( n3)ggg，即abc,故答案为：D. 【巩固训练】【巩固训练】 1. 已知函数 log,01 ( ) (41)2 ,1 a xx f x axa x 满足对任意 12 xx，都有 12 12

8、0 fxfx xx 成 立，则实数a的取值范围是（） A 1 0 6 ，B 1 0 6 ，C 1 0 4 ，D1 ， 2.已知函数 2 ( ),(0,) x e f xaxx x ，当 21 xx时，不等式 12 21 0 f xf x xx 恒成 立，则实数a的取值范围为（） A 2 , 12 e B 2 , 12 e C, 2 e D, 2 e 3.若对x1，x2(m，)，且 x1x2，都有x1ln x2x2ln x1 x2x1 1，则 m 的最小值是() 注：(e 为自然对数的底数，即 e2.718 28) A.1 e BeC1D.3 e 4.（2021江苏扬州中学高三数学开学考试8）已

9、知函数 sinf xxax，对任意的 1 x， 2 ,x ，且 12 xx，不等式 12 12 f xf x a xx 恒成立，则实数a的取值范围是 （） A 1 2 a B 1 2 a C 1 2 a D 1 2 a 5. （2021江苏无锡天一12 月八省联考热身卷8）已知( )f x是定义在1,1上的奇函 数，且( 1)1f ，当,1,1a b ，且0ab时，()( ( )( )0abf af b成立，若 2 21f xmtm对任意的1,1t 恒成立，则实数 m 的取值范围是（） A (, 2)0(2,) B(, 2)(2,) C( 2 2) ，D( 2 0)(0 2)， 6.设函数 f

10、x是定义在R上的奇函数，20f ，若对任意两个不相等的正数 12 ,x x都 有 2112 12 0 x f xx f x xx ，则不等式 0 f x x 的解集为_. 7.已知 2 1 ( ) 2 f xalnxxx，若对任意两个不等的正实数 1 x， 2 x，都有 12 22 12 ()() 1 f xf x xx 恒 成立，则a的取值范围是 【答案与提示】【答案与提示】 1. 【答案】B 【解析】因为函数对任意 12 xx，都有 12 12 0 fxfx xx 成立，所以函数在定义域内单 调递减，所以 01 1 4100 6 log 141 12 a a aa aa ，.故选 B. 2

11、. 【答案】A 【分析】令 g xxf x，由 12 21 0 f xf x xx 可知 g x在0,上单调递增，从而 可得 2 30 x gxeax在0,上恒成立；通过分离变量可得 2 3 x e a x ，令 2 0 x e h xx x ，利用导数可求得 2 min 2 4 e h xh，从而可得 2 3 4 e a ，解不等式 求得结果. 【解析】由 12 21 0 f xf x xx 且 21 0 xx得： 1122 x f xx f x 令 3x g xxf xeax，可知 g x在0,上单调递增 2 30 x gxeax在0,上恒成立，即： 2 3 x e a x 令 2 0 x

12、 e h xx x ，则 3 2 x ex h x x 0,2x 时， 0h x ， h x单调递减；2,x时， 0h x ， h x单调递增 2 min 2 4 e h xh 2 3 4 e a，解得： 2 , 12 e a 本题正确选项：A 点评： 本题考查根据函数的单调性求解参数范围的问题， 关键是能够将已知关系式变形为符合 单调性的形式， 从而通过构造函数将问题转化为导数大于等于零恒成立的问题； 解决恒成立 问题常用的方法为分离变量， 将问题转化为参数与函数最值之间的大小关系比较的问题， 属 于常考题型. 3.【答案】C 【解析】由题意，当 0mx1x2时， 由x1ln x2x2ln

13、x1 x2x1 1，等价于 x1ln x2x2ln x1x2x1，即 x1ln x2x1x2ln x1x2， 故 x1(ln x21)x2(ln x11)，故ln x 21 x2 ln x11 x1 ， 令 f(x)ln x1 x ，则 f(x2)x1m0， 故 f(x)在(m，)上单调递减， 又由 f(x)ln x x2 ，令 f(x)1， 故 f(x)在(1，)上单调递减，故 m1. 4. 【答案】B 【 解 析 】 因 为 12 xx， 不 妨 设 12 xx， 则 12 12 f xf x a xx 可 化 为 1212) (f xf xa xx，即 1122 f xaxf xax 设

14、 ( )F xf xax 则 12 12 f xf x a xx 恒成立， 即 1122 f xaxf xax对任意的 1 x， 2 ,x 且 12 xx时恒成立，即 12 ( )()F xF x对任意的 1 x， 2 ,x 且 12 xx时恒成立 所以 ( )F xf xax在 R 上单增 故 sin1cos0Fxxaxaxaxa 在 R 上恒成立 所以 1 1 cos a x ，故 min 11 1cos2 a x 所以实数a的取值范围是 1 2 a ， 选 B 5. 【答案】B 【解析】令 12 ,ax bx ，则 12 ,1,1x x ， 1212 ()( ()()0 xxf xf x

15、成立， 则 f x为单调增函数， 若 2 21f xmtm对任意的1,1t 恒成立，则 2 max 21f xmtm， 即 2 121fmtm，即1,1t 都有 2 20mtm ， 令 2 ( )20g tmtm，则 min ( )0g t， (1)0 ( 1)0 g g ，(, 2)(2,)m ，故选 B 6.【答案】, 22, 【解析】构造函数 ( ) fx g x x ,则因为 fx是定义在R上的奇函数,故( )g x为定义域是 |0 x x 的偶函数,又对任意两个不相等的正数 12 ,x x都有 2112 12 0 x f xx f x xx ,即 12 12 12 1212 00 f

16、 xf x g xg xxx xxxx ,故( )g x在0,上为减函数.又20f , 故 2 ( 2)0 2 f g . 综上,( )g x为偶函数,且在,0上单调递增,在0,上单调递减. 且 220gg.故 0 f x x 即 2g xg. 根据函数性质解得, 22,x ，故答案为：, 22, . 7.【答案】(， 1 4 【解析】设 12 xx，则 22 1212 ( )()f xf xxx， 22 1122 ( )()f xxf xx， 令 22 1 ( )( ) 2 g xf xxalnxxx， 12 ()()g xg x， ( )g x 在(0, )上单调递减，( )1 0 a g xx x ， 22 11 () 24 a xxx， 1 4 x时， 2 1 () 4 min xx ， 1 4 a a 的取值范围是(， 1 4 故答案为：(， 1 4