1、1 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.3.2等比数列的前等比数列的前n项和公式项和公式 第一课时等比数列的前第一课时等比数列的前n项和公式项和公式 课标要求素养要求 1.探索并掌握等比数列的前n项和公式. 2.理解等比数列的通项公式与前n项和公 式的关系. 在探索等比数列的前n项和公式的过程中, 发展学生的数学运算和逻辑推理素养. 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 2 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 新知探究 在信息技术高度发展的今天,人们可以借助手机、计算机等快速地传递有关信息. 在此背景下,要求每一个人都要“不造谣,不信谣,不传谣”,否
2、则要依法承担有 关法律责任.你知道这其中的缘由吗? 如图所示,如果一个人得到某个信息之后,就将这个信息传给3个不同的好友(称为 第1轮传播),每个好友收到信息后,又都传给了3个不同的好友(称为第2轮传 播),依此下去,假设信息在传播的过程中都是传给不同的人,则每一轮传播 后,信息传播的人数就构成了一个等比数列 3 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 问题如果信息按照上述方式共传播了20轮,那么知晓这个信息的人数共有多少? 4 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 1.等比数列的前n项和 公式 应用公式求和,首先要判断公比是否为1,再选择公式 5 创新设计创新设计 课堂互动课前预习
3、素养达成 2.等比数列前n项和公式的函数特征 3.错位相减法 (1)推导等比数列前n项和的方法叫错位相减法; (2)该方法一般适用于求一个等差数列与一个等比数列对应项积的前n项和,即 若bn是公差d0的等差数列,cn是公比q1的等比数列,求数列bncn的 前n项和Sn时,可以用这种方法. 6 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 拓展深化 微判断 提示当q1时,Snna1. 2.等比数列的前n项和不可以为0.( ) 提示可以为0,比如1,1,1,1,1,1的和. 7 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.求数列n2n的前n项和可用错位相减法.( ) 3.数列an的前n项和为Sn
4、anb(a0,a1),则数列an一定是等比数列.( ) 8 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案B 9 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解析由S3S6S9得S3S9S6,即a1a2a3a7a8a9q6(a1a2a3),则 q61,q1. 答案A 10 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微思考 1.若等比数列an的公比q不为1,其前n项和为SnAqnB,则A与B有什么关系? 提示AB. 2.等比数列an的前n项和公式中涉及a1,an,n,Sn,q五个量,已知几个量方可 以求其它量? 提示三个. 11 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型一等比数列前n
5、项和公式的直接应用 【例1】求下列等比数列前8项的和: 12 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 13 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法求等比数列的前n项和,要确定首项,公比或首项、末项、公比,应 注意公比q1是否成立. 14 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练1】(1)求数列(1)n2的前100项的和; 15 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型二等比数列前n项和公式的综合应用 16 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【迁移1】设数列an是等比数列,其前n项和为Sn,且S33a3,求此数列的公 比q. 解当q1时,S33a13
6、a3,符合题目条件. 17 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【迁移2】在等比数列an中,S230,S3155,求Sn. 解若q1,则S3S232, 而事实上,S3S2316,故q1. 18 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 19 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 20 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练2】(1)等比数列an的前n项和为Sn,公比q1.若a11,且对任意的 nN*都有an2an12an,则S5() A.12 B.20 C.11 D.21 21 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解析(1)an2an12an等价于anq2a
7、nq2an. 因an0,故q2q20,即(q2)(q1)0. 答案(1)C(2)B 22 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型三等比数列前n项和公式的函数特征应用 【例3】数列an的前n项和Sn3n2.求an的通项公式,并判断an是否是等 比数列. 解当n2时,anSnSn1(3n2)(3n12)23n1. 当n1时,a1S13121不适合上式. 23 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 法二由等比数列bn的公比q1时的前n项和SnAqnB满足的条件为A B,对比可知Sn3n2,21,故an不是等比数列. 法一由于a11,a26,a318,显然a1,a2,a3,不是等比数列
8、, 即an不是等比数列. 24 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 25 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练3】若an是等比数列,且前n项和为Sn3n1t,则t_. 26 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型四利用错位相减法求数列的前n项和 【例4】求和:Snx2x23x3nxn(x0). 当x1时,Snx2x23x3nxn, xSnx22x33x4(n1)xnnxn1, (1x)Snxx2x3xnnxn1 27 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 28 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法一般地,如果数列an是等差数列,bn是公比不
9、为1的等比数列, 求数列anbn的前n项和时,可采用错位相减法. 29 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 30 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 一、素养落地 1.通过学习等比数列前n项和公式及其应用,提升数学运算和逻辑推理素养. 2.在等比数列的通项公式和前n项和公式中,共涉及五个量:a1,an,n,q,Sn, 其中首项a1和公比q为基本量,且“知三求二”. 3.前n项和公式的应用中,注意前n项和公式要分类讨论,即当q1和q1时是不 同的公式形式,不可忽略q1的情况. 31 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 二、素养训练 1.数列1,5,52,53,54,的前1
10、0项和为() 答案B 32 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案C 33 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.等比数列an中,a38,a664,则an的前5项的和是_. 答案62 34 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.已知等比数列an中,a12,q2,前n项和Sn126,则n_. 答案6 35 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 5.在等比数列an中,a12,S36,求a3和q. 解由题意,得若q1, 则S33a16,符合题意. 此时,q1,a3a12. 若q1,则由等比数列的前n项和公式, 此时,a3a1q22(2)28. 综上所述,q1,a32或q2,a38. 36 本节内容结束
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