1、高考真题 （2019浙江卷）设, a bR，数列 n a中， 2 11 , nn aa aab ， Nn ,则（） A当 10 1 ,10 2 ba B当 10 1 ,10 4 ba C当 10 2,10ba D当 10 4,10ba 【解析】对于 B，令 2 1 4 x0，得 1 2 ， 取 1 1 2 a ， 2 11 10 22 n aa， ， 当 b 1 4 时，a1010，故 B 错误； 对于 C，令 x220，得2 或1， 取 a12，a22，an210， 当 b2 时，a1010，故 C 错误； 对于 D，令 x240，得 117 2 ， 取 1 117 2 a ， 2 117
2、2 a ， 117 2 n a 10， 当 b4 时，a1010，故 D 错误； 对于 A， 2 2 11 22 aa， 22 3 113 () 224 aa， 422 4 319117 ()1 4216216 aaa， an+1an0，an递增， 当 n4 时， 1n n a a an 1 2 n a 1 13 22 ， 5 4 4 5 10 9 3 2 3 2 3 2 a a a a a a ， 10 4 a a （ 3 2 ）6，a10 729 64 10故 A 正确 故选：A 【答案】A （2019北京卷 （理） ） 已知数列an， 从中选取第 i1项、 第 i2项、 、 第 im项
3、（i1i2im） ， 若 12m iii aaa ， 则称新数列 12m iii aaa， ， 为an的长度为 m 的递增子列规定：数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列 （）写出数列 1，8，3，7，5，6，9 的一个长度为 4 的递增子列； （）已知数列an的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 0 m a ，长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 0 n a .若 pq，求证： 0 m a 0 n a ； （）设无穷数列an的各项均为正整数，且任意两项均不相等.若an的长度为 s 的递增子列末项的最小值 为 2s1，且长度为 s 末项为 2s1 的递增子列恰有 2s-1个（
4、s=1，2，） ，求数列an的通项公式 【解析】 （）满足题意的一个长度为 4 的递增子列为：1,3,5,6. （）对于每一个长度为q的递增子列 12 , q a aa ，都能从其中找到若干个长度为p的递增子列 12 , p a aa ，此时 pq aa ， 设所有长度为q的子列的末项分别为： 123 , qqq aaa， 所有长度为p的子列的末项分别为： 123 , ppp aaa， 则 0123 min, nqqq aaaa， 注意到长度为p的子列可能无法进一步找到长度为q的子列， 故 0123 min, mppp aaaa， 据此可得： 00 mn aa . （）满足题意的一个数列的通项
5、公式可以是 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a nn 为偶数 为奇数 ， 下面说明此数列满足题意. 很明显数列为无穷数列，且各项均为正整数，任意两项均不相等. 长度为s的递增子列末项的最小值为 2s-1， 下面用数学归纳法证明长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有 1 2s 个1,2,s ： 当1n 时命题显然成立， 假设当nk 时命题成立，即长度为 k 末项为 2k-1 的递增子列恰有 1 2k个， 则当1nk时，对于nk 时得到的每一个子列 121 ,21 k sss aaak ， 可构造： 121 ,21,211 k sss aaakk 和 121 ,2 ,211 k sss aaakk 两个满足题意的递增子列， 则长度为 k+1 末项为 2k+1 的递增子列恰有 111 2222 kkk 个， 综上可得，数列 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a nn 为偶数 为奇数 是一个满足题意的数列的通项公式. 注：当3s 时，所有满足题意的数列为： 2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5， 当4s 时，数列2,3,5对应的两个递增子列为：2,3,5,7和2,3,6,7. 【答案】 （） 1,3,5,6. （）见解析； （）见解析.
