6.1考点1 由数列的递推关系求通项公式.docx

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1、高考真题 (2019浙江卷)设, a bR,数列 n a中, 2 11 , nn aa aab , Nn ,则() A当 10 1 ,10 2 ba B当 10 1 ,10 4 ba C当 10 2,10ba D当 10 4,10ba 【解析】对于 B,令 2 1 4 x0,得 1 2 , 取 1 1 2 a , 2 11 10 22 n aa, , 当 b 1 4 时,a1010,故 B 错误; 对于 C,令 x220,得2 或1, 取 a12,a22,an210, 当 b2 时,a1010,故 C 错误; 对于 D,令 x240,得 117 2 , 取 1 117 2 a , 2 117

2、2 a , 117 2 n a 10, 当 b4 时,a1010,故 D 错误; 对于 A, 2 2 11 22 aa, 22 3 113 () 224 aa, 422 4 319117 ()1 4216216 aaa, an+1an0,an递增, 当 n4 时, 1n n a a an 1 2 n a 1 13 22 , 5 4 4 5 10 9 3 2 3 2 3 2 a a a a a a , 10 4 a a ( 3 2 )6,a10 729 64 10故 A 正确 故选:A 【答案】A (2019北京卷 (理) ) 已知数列an, 从中选取第 i1项、 第 i2项、 、 第 im项

3、(i1i2im) , 若 12m iii aaa , 则称新数列 12m iii aaa, , 为an的长度为 m 的递增子列规定:数列an的任意一项都是an的长度为 1 的递增子列 ()写出数列 1,8,3,7,5,6,9 的一个长度为 4 的递增子列; ()已知数列an的长度为 p 的递增子列的末项的最小值为 0 m a ,长度为 q 的递增子列的末项的最小值为 0 n a .若 pq,求证: 0 m a 0 n a ; ()设无穷数列an的各项均为正整数,且任意两项均不相等.若an的长度为 s 的递增子列末项的最小值 为 2s1,且长度为 s 末项为 2s1 的递增子列恰有 2s-1个(

4、s=1,2,) ,求数列an的通项公式 【解析】 ()满足题意的一个长度为 4 的递增子列为:1,3,5,6. ()对于每一个长度为q的递增子列 12 , q a aa ,都能从其中找到若干个长度为p的递增子列 12 , p a aa ,此时 pq aa , 设所有长度为q的子列的末项分别为: 123 , qqq aaa, 所有长度为p的子列的末项分别为: 123 , ppp aaa, 则 0123 min, nqqq aaaa, 注意到长度为p的子列可能无法进一步找到长度为q的子列, 故 0123 min, mppp aaaa, 据此可得: 00 mn aa . ()满足题意的一个数列的通项

5、公式可以是 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a nn 为偶数 为奇数 , 下面说明此数列满足题意. 很明显数列为无穷数列,且各项均为正整数,任意两项均不相等. 长度为s的递增子列末项的最小值为 2s-1, 下面用数学归纳法证明长度为 s 末项为 2s-1 的递增子列恰有 1 2s 个1,2,s : 当1n 时命题显然成立, 假设当nk 时命题成立,即长度为 k 末项为 2k-1 的递增子列恰有 1 2k个, 则当1nk时,对于nk 时得到的每一个子列 121 ,21 k sss aaak , 可构造: 121 ,21,211 k sss aaakk 和 121 ,2 ,211 k sss aaakk 两个满足题意的递增子列, 则长度为 k+1 末项为 2k+1 的递增子列恰有 111 2222 kkk 个, 综上可得,数列 1, 2,1,4,3,6,5,8,7, 1, n nn a nn 为偶数 为奇数 是一个满足题意的数列的通项公式. 注:当3s 时,所有满足题意的数列为: 2,3,5 , 1,3,5 , 2,4,5 , 1,4,5, 当4s 时,数列2,3,5对应的两个递增子列为:2,3,5,7和2,3,6,7. 【答案】 () 1,3,5,6. ()见解析; ()见解析.

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