1、第二章2.2函数的单调性与最值1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性的简单应用.课标要求课标要求内容索引内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识知识梳理1.函数的单调性(1)单调函数的定义增函数减函数定义一般地，设函数f(x)的定义域为D，区间ID，如果x1，x2I当x1x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递增，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数当x1x2时，都有，那么就称函数f(x)在区间I上单调递减，特别地，当函数f(x)在它的定义域上单调递减时，我们就称
2、它是减函数f(x1)f(x2)知识梳理增函数减函数图象描述自左向右看图象是上升的自左向右看图象是下降的知识梳理(2)单调区间的定义如果函数yf(x)在区间I上或，那么就说函数yf(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间I叫做yf(x)的单调区间.单调递增单调递减知识梳理2.函数的最值前提一般地，设函数yf(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件(1)xD，都有；(2)x0D，使得_(1)xD，都有；(2)x0D，使得_结论M是函数yf(x)的最大值M是函数yf(x)的最小值f(x)Mf(x0)Mf(x)Mf(x0)M常用结论1.x1，x2I且x1x2，有0(0(0或f(x)0)在公共定义域
3、内与yf(x)，y的单调性相反.4.复合函数的单调性：同增异减.自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)(1)若函数f(x)满足f(3)的x的取值范围是_.自主诊断f(x)的定义域是0，)，返回又f(x)是定义在0，)上的减函数，第二部分探究核心题型命题点命题点1 1函数单调性的判断函数单调性的判断例1(多选)下列函数在(0，)上单调递增的是A.yxB.y|x22x|C.y2x2cosxD.ylg(x1)题型一确定函数的单调性yx与y在(0，)上单调递增，yx在(0，)上单调递增，故A正确；由y|x22x|的图象(图略)知，B不正确；y22sinx0，y2x2cosx是R上
4、的增函数，故C正确；函数ylg(x1)是定义域(1，)上的增函数，故D正确.命题点命题点2 2利用定义证明函数的单调性利用定义证明函数的单调性例2已知函数f(x)x21(x0)，判断函数f(x)的单调性，并证明.证明：任取0 x10，即f(x1)0，命题点命题点1 1比较函数值的大小比较函数值的大小例3(2023湘潭统考)定义在R上的偶函数f(x)满足：对任意的x1，x2(，0(x1x2)，有0，则A.f(2)f(3)f(3)f(4)C.f(3)f(4)f(2)D.f(4)f(2)f(3)题型二函数单调性的应用所以f(x)在(，0上单调递减，又f(x)为偶函数，所以f(x)在(0，)上单调递增
5、，则f(2)f(3)f(4)，又f(2)f(2)，所以f(2)f(3)f(4).命题点命题点2 2求函数的最值求函数的最值例4(2023四川外国语大学附中模拟)函数f(x)x1在1,4上的值域为微拓展求函数的值域求函数的值域(最值最值)的常用方法的常用方法(1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数求值域问题.(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域.(3)数形结合法.(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”.(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式.典例(多选)下列函数中，
6、值域正确的是A.当x0,3)时，函数yx22x3的值域为2,6)对于A，(配方法)yx22x3(x1)22，由x0,3)，再结合函数的图象(如图所示)，可得函数的值域为2,6).故函数的值域为(，2)(2，).由t0，再结合函数的图象(如图所示)，命题点命题点3 3解函数不等式解函数不等式例5函数yf(x)是定义在2,2上的减函数，且f(a1)f(2)f(3)B.f(2)f(3)f(1)C.f(3)f(1)f(2)D.f(3)f(2)f(1)12345678910111213141234567891011121314因为f(x)是偶函数，所以f(2)f(2)，f(3)f(3).因为f(x)在1
7、,3上单调递增，所以f(3)f(2)f(1)，所以f(3)f(2)f(1).4.设函数f(x)若f(a1)f(2a1)，则实数a的取值范围是A.(，1B.(，2C.2,6D.2，)画出函数f(x)的图象(图略)，结合图象可知f(x)在R上是增函数，由f(a1)f(2a1)，得a12a1，解得a2.12345678910111213145.(2023杭州模拟)设aR，则“a1”是“函数f(x)在(1，)上单调递减”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141234567891011121314则a10，解得a1.因为a1不能推
8、出a1，a1a1，6.(2023南通模拟)已知函数f(x)若a50.01，blog32，clog20.9，则有A.f(a)f(b)f(c)B.f(b)f(a)f(c)C.f(a)f(c)f(b)D.f(c)f(a)f(b)12345678910111213141234567891011121314因为yex是增函数，yex是减函数，所以f(x)exex在(0，)上单调递增，且f(x)0.又f(x)x2在(，0上单调递增，且f(x)0，所以f(x)在R上是增函数.又clog20.90,0blog321，即abc，所以f(a)f(b)f(c).二、多项选择题二、多项选择题7.(2023深圳模拟)下
9、列函数中满足“对任意x1，x2(0，)，且x1x2，都有0”的是A.f(x)21xB.f(x)C.f(x)x24x3D.f(x)x12345678910111213141234567891011121314函数f(x)满足“对任意x1，x2(0，)，且x1x2，都有0”，则函数f(x)在(0，)上单调递增，函数f(x)21x在(0，)上单调递减，故A不符合题意；函数f(x)在(0，)上单调递增，故B符合题意；函数f(x)x24x3在(0，)上单调递增，故C符合题意；函数f(x)x在(0，)上单调递增，故D符合题意.8.(2023湛江检测)已知函数f(x)x22|x|1，则下列说法正确的是A.函
10、数yf(x)在(，1上单调递增B.函数yf(x)在1,0上单调递减C.当x0时，函数yf(x)有最小值D.当x1或x1时，函数yf(x)有最大值12345678910111213141234567891011121314因为f(x)x22|x|1，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(，1上单调递增，在1,0上单调递减，故A，B正确；由图象可知f(x)在x1或x1时，函数yf(x)有最大值，没有最小值，故C错误，D正确.三、填空题三、填空题9.(2023松原联考)已知函数f(x)2x2x，则不等式f(3x1)f(1x)的解集为_.1234567891011121314函数y2x
11、与y2x均在R上是增函数，故f(x)在R上是增函数，10.已知命题p：“若f(x)f(4)对任意的x(0,4)都成立，则f(x)在(0,4)上单调递增”.能说明命题p为假命题的一个函数是_.1234567891011121314f(x)(x1)2(答案不唯一，由题意知，令f(x)(x1)2，满足f(x)f(4)对任意的x(0,4)都成立，但函数f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,4)上单调递增，所以函数f(x)(x1)2可以说明命题p为假命题.四、解答题四、解答题11.已知函数f(x)x|x4|.(1)把f(x)写成分段函数，并在平面直角坐标系内画出函数f(x)的大致图象；12345678
12、91011121314函数f(x)的大致图象如图所示.(2)写出函数f(x)的单调递减区间.1234567891011121314由(1)中函数的图象可知，函数f(x)的单调递减区间为(2,4).123456789101112131412.(2023重庆联考)已知f(x)(xR).(1)判断函数f(x)的单调性，并用定义证明；证明：在R上任取x1，x2且x1x2，f(x1)f(x2)由x1x2可知所以所以f(x1)f(x2)0，即f(x1)f(x2).即f(x)在R上是增函数.12022xx，1212220,21 0 21 0 xxxx，1234567891011121314121212222
13、(22)11,2121(21)(21)xxxxxx1234567891011121314(2)解关于t的不等式f(t23)f(2t)0.所以函数f(x)为奇函数，由(1)知，函数f(x)在R上是增函数，由f(t23)f(2t)0，可得f(t23)f(2t)f(2t)，所以t232t，即t22t30，解得3t1，即关于t的不等式f(t23)f(2t)0的解集为t|3t1.能力拓展13.(多选)(2024长沙模拟)已知函数yf(x)的图象关于y轴对称，且对于yf(x)(xR)，当x1，x2(，0)且x1x2时，0恒成立，若f(2ax)f(2x21)对任意的xR恒成立，则实数a的取值范围可以是123
14、4567891011121314由题意得yf(x)为偶函数，且在(，0)上单调递减，故yf(x)在(0，)上单调递增，因为f(2ax)f(2x21)，故f(|2ax|)f(2x21)，所以|2ax|2x21，当x0时，|0|1恒成立，满足要求，1234567891011121314123456789101112131414.已知函数f(x)若对任意x1，x2R，且x1x2都有0，则实数a的取值范围为_；若f(x)在1，t)上的值域为0,4，则实数t的取值范围为_.1234567891011121314(，0(2,4即a0，所以实数a的取值范围为(，0；1234567891011121314解得a4或a4(舍去)，又f(1)2，f(0)f(4)0，所以2t4；当a0时，f(x)在1，t)上单调递减，则f(x)在1，t)上的最大值为f(1)2，不符合题意，所以实数t的取值范围为(2,4.1234567891011121314返回本课结束
