1、第二章2.12函数与方程的综合应用函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的性质，结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置.重点解读重点解读例1(1)(2023扬州模拟)已知方程x2(m2)x5m0的两根都大于2，则实数m的取值范围是A.(5，44，)B.(5，4C.(5，)D.4，2)4，)题型一由零点分布求值(范围)命题点命题点1 1二次函数的零点分布二次函数的零点分布方程x2(m2)x5m0的两根都大于2，则二次函数f(x)x2(m2)x5m的图象与x轴的两个交点都在x2的右侧，根据图象得，方程的判别式0；
2、f(2)0；(2)(2023哈尔滨模拟)已知一元二次方程x2mx30(mZ)有两个实数根x1，x2，且0 x12x24，则m的值为A.4 B.5 C.6 D.7因为一元二次方程x2mx30(mZ)有两个实数根x1，x2，且0 x12x24，令f(x)x2mx3，又mZ，可得m4.命题点命题点2 2其他函数的零点分布其他函数的零点分布令f(x)a，在区间(1,0)内时，exa，思维升华对于二次函数零点分布的研究一般从以下几个方面入手(1)开口方向；(2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置关系；(3)判别式，决定函数与x轴的交点个数；(4)区间端点值.跟踪训练1(1)设a为实数，若方程x22axa
3、0在区间(1,1)上有两个不相等的实数解，则a的取值范围是A.(，0)(1，)B.(1,0)令g(x)x22axa，由方程x22axa0在区间(1,1)上有两个不相等的实数解可得(2)(2023邵阳模拟)已知函数f(x)若存在实数x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)满足f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则x1x2x3x4的取值范围是画出f(x)的图象如图.由题意可知log5x1log5x2x1x21，由图象可知x3，x4关于直线x10对称，所以x3x420，因此x1x2x3x4x3x4，当存在x1，x2，x3，x4(x1x2x3x4)满足f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)a
4、(0,1)时，题型二复合函数的零点命题点命题点1 1复合函数的零点个数判定复合函数的零点个数判定例3已知函数f(x)则函数g(x)f(f(x)2f(x)1的零点个数是A.4 B.5 C.6 D.7令tf(x)，g(x)0，则f(t)2t10，即f(t)2t1，分别作出函数yf(t)和直线y2t1的图象，如图所示，由图象可得有两个交点，横坐标设为t1，t2，则t10,1t22，对于tf(x)，分别作出函数yf(x)和直线yt2的图象，如图所示，由图象可得，当f(x)t10时，函数yf(x)与x轴有两个交点，即方程f(x)0有两个不相等的根，当t2f(x)时，函数yf(x)和直线yt2有三个交点，
5、即方程t2f(x)有三个不相等的根，综上可得g(x)0的实根个数为5，即函数g(x)f(f(x)2f(x)1的零点个数是5.命题点命题点2 2根据复合函数零点求参数根据复合函数零点求参数令g(x)4f(x)2(4t3)f(x)3t0，作出函数yf(x)的图象，如图所示，由题意可得，方程f(x)t有3个不相等的实根，即yf(x)与yt有3个交点，思维升华对于复合函数yf(g(x)的零点个数问题，求解思路如下：(1)确定内层函数ug(x)和外层函数yf(u)；(2)确定外层函数yf(u)的零点uui(i1,2,3，n)；(3)确定直线uui(i1,2,3，n)与内层函数ug(x)图象的交点个数分别
6、为a1，a2，a3，an，则函数yf(g(x)的零点个数为a1a2a3an.跟踪训练2已知函数f(x)且关于x的方程 f(x)2(2m1)f(x)m2m0有7个不同的实数解，则实数m的取值范围为_.(0,1由题意，f(x)的图象如图所示，因为f(x)2(2m1)f(x)m2m0有7个实数解，设f(x)t，则方程t2(2m1)tm2m0有2个不相等的实根t1m，t2m1且0t11t22或1t12，t22.当1t12，t22时，m1，满足题意；当0t11t22时，0m1 m12，解得m(0,1).综上，m(0,1.课时精练一、单项选择题一、单项选择题1.若方程x2ax40的两实根中一个小于1，另一
7、个大于2，则a的取值范围是A.(0,3)B.0,3C.(3,0)D.(，1)(3，)1234567891012345678910令f(x)x2ax4，则f(x)有两个零点，一个大于2，另一个小于1，由二次函数的图象可知，解得0a0，则9xt2，由9x(a4)3x40，得t2(a4)t40.则问题转化为关于t的二次方程t2(a4)t40在t0时有实数根.当且仅当t2时，等号成立，所以(a4)4，解得a8.因此，实数a的取值范围是(，8.3.(2023衡阳模拟)若函数f(x)(ln x)2ln xa在(0,8)内有2个零点，则a的取值范围为A.(，2ln 2)B.(，0)(0,2ln 2)C.(，
8、3ln 2)D.(，0)(0,3ln 2)12345678910由f(x)(ln x)2aln xln x(ln xa)0，得x1或xea.依题意可得0ea8，且ea1，所以a0时，由log2(t1)2，得t3.所以f(t)2的两根为t12，t23.由f(f(x)2得f(x)2或f(x)3，若f(x)2，则当x0 时，x2x2，无解，当x0 时，log2(x1)2，无解；12345678910当x0 时，令log2(x1)3，解得x27，所以yf(f(x)2的零点个数为2.若f(x)3，则当x0 时，x2x3，123456789106.若存在实数a使得函数f(x)2x2xma2a3有唯一零点，
9、则实数m的取值范围是12345678910由对勾函数的性质知yt 在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当t1时，ymin2，此时x0，因此f(x)有唯一零点，则零点为x0，f(0)ma2a10，当m0时，a1有解；当m0时，14m0，m 且m0.综上，m .二、多项选择题二、多项选择题7.关于x的方程(x22x)22(2xx2)k0，下列命题正确的有A.存在实数k，使得方程无实根B.存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根C.存在实数k，使得方程恰有3个不同的实根D.存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根12345678910设tx22x，方程化为关于t的二次方程t22tk0.(*
10、)当k1时，方程(*)无实根，故原方程无实根.当k1时，可得t1，则x22x1，原方程有两个相等的实根x1.当k1时，方程(*)有两个不同的实根t1，t2(t1t2)，由t1t22可知，t11.因为tx22x(x1)211，所以x22xt1无实根，x22xt2有两个不同的实根.综上可知，A，B项正确，C，D项错误.123456789108.(2024湖州模拟)若f(x)和g(x)都是定义在R上的函数，且方程f(g(x)x有实数解，则下列式子中可以为g(f(x)的是A.x22x B.x1C.ecos x D.ln(|x|1)1234567891012345678910由方程f(g(x)x有实数解
11、可得g(f(g(x)g(x)，再用x替代g(x)，即xg(f(x)有实数解.对于A，xx22x，即x2x0，方程有实数解，故A正确；对于B，xx1，即01，方程无实数解，故B错误；对于C，当ecos xx时，令h(x)ecos xx，12345678910由函数零点存在定理可知，h(x)在 上存在零点，所以方程有实数解，故C正确；对于D，当ln(|x|1)x时，x0为方程的解，所以方程有实数解，故D正确.三、填空题三、填空题9.若存在正实数x，使得ax2(a21)xa0成立，则实数a的取值范围是_.1234567891012345678910依题意，关于x的方程ax2(a21)xa0有正实数解
12、，当a0时，方程的解为x0，不符合题意，故a0，该方程是关于x的一元二次方程，且有正实数解，注意到x1x21，10.(2023永州模拟)对于函数yf(x)，若存在非零常数x0，使f(x0)f(x0)0，则称点(x0，f(x0)是曲线f(x)的“优美点”.已知f(x)则曲线f(x)的“优美点”个数为_.12345678910412345678910若x0，f(x)x22x，f(x)关于原点对称的函数为g(x)x22x(x0)，在同一直角坐标系中画出g(x)x22x(x0)和f(x)x (x0)的图象，此时有两个“优美点”(x0，f(x0)，满足f(x0)f(x0)0，如图.12345678910在同一直角坐标系中画出g(x)x (x0)和f(x)x22x(x0)的图象，此时有两个“优美点”(x0，f(x0)，满足f(x0)f(x0)0，如图.综上可知，满足题意的“优美点”有4个.本课结束
