1、第二章2.11函数的零点与方程的解1.理解函数的零点与方程的解的联系.2.理解函数零点存在定理，并能简单应用.3.了解用二分法求方程的近似解.课标要求课标要求内容索引内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识知识梳理1.函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数yf(x)，我们把使 的实数x叫做函数yf(x)的零点.(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)0有实数解函数yf(x)有 函数yf(x)的图象与 有公共点.f(x)0零点x轴知识梳理(3)函数零点存在定理如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是一条连续不断的曲线，且有_，那么，函数y
2、f(x)在区间 内至少有一个零点，即存在c(a，b)，使得 ，这个c也就是方程f(x)0的解.2.二分法对于在区间a，b上图象连续不断且 的函数yf(x)，通过不断地把它的零点所在区间 ，使所得区间的两个端点逐步逼近 ，进而得到零点近似值的方法叫做二分法.f(a)f(b)0(a，b)f(c)0f(a)f(b)0一分为二零点常用结论若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点.自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的交点.()(2)连续函数yf(x)在区间(a，b)内有零点，则f(a)f(b)0，则f(x)在区间
3、(a，b)上没有零点.()(4)求函数零点的近似值都可以用二分法.()自主诊断对于B，y(x2)2有唯一零点x2，但函数值在零点两侧同号，则不可用二分法求零点.2.下列函数中，不能用二分法求零点的是A.y2x B.y(x2)2C.yx 3 D.yln x自主诊断3.(2023太原模拟)函数f(x)log2x的零点所在的区间是A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)自主诊断所以f(2)f(3)0，则f(x)有唯一零点，且在区间(2,3)内.自主诊断返回1，2解得x1或x2，即函数的零点为1，2.第二部分探究核心题型例1(1)(2023忻州模拟)函数f(x)log3(2x4)的零点
4、所在的区间是A.(2，1)B.(1,0)C.(0,1)D.(1,2)题型一函数零点所在区间的判定由题可知f(x)在(2，)上单调递增，且f(1)log321log3310，所以f(1)f(0)0，则由函数零点存在定理得，f(x)的零点所在的区间是(1,0).(2)用二分法求函数f(x)log3(2x4)在区间(1,0)内的零点近似值，至少经过_次二分后精确度达到0.1A.2 B.3 C.4 D.5开区间(1,0)的长度等于1，每经过一次操作，区间长度变为原来的一半，至少经过4次二分后精确度达到0.1.思维升华确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数yf(x)在区间a
5、，b上的图象是否连续；再看是否有f(a)f(b)0，若有，则函数yf(x)在区间(a，b)内必有零点.(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.跟踪训练1(1)若abc，则函数f(x)(xa)(xb)(xb)(xc)(xc)(xa)的两个零点分别位于区间A.(a，b)和(b，c)内B.(，a)和(a，b)内C.(b，c)和(c，)内D.(，a)和(c，)内函数yf(x)是图象开口向上的二次函数，最多有两个零点，由于abc，则ab0，ac0，bc0，f(b)(bc)(ba)0.所以f(a)f(b)0，f(b)f(c)0，即f(x)在区间(a，b)和区间(b，c
6、)内各有一个零点.(2)函数f(x)log2x2x6，函数f(x)的零点所在的区间为(n，n1)且nN，则n_.2函数f(x)log2x2x6的定义域为(0，)，且在(0，)上单调递增，f(2)log2222610，即f(2)f(3)0时，f(x)x2ln x在(0，)上单调递增，并且f(1)12ln 110，即f(1)f(2)0，所以函数f(x)在区间(1,2)内必有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)若函数yf(x)，xR满足f(x2)f(x)，且当x(1,1时，f(x)|x|，则函数yf(x)的图象与函数ylog4|x|的图象的交点的个数为A.3 B.4 C.6 D.8由题
7、意得f(x)是以2为周期的偶函数，作出yf(x)与ylog4|x|的函数图象，如图所示.由图象可知，两函数图象共有6个交点.思维升华求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)0，方程有多少个不同的实数根，则f(x)有多少个零点.(2)定理法：利用函数零点存在定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等.(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数.跟踪训练2(1)(2024渭南模拟)函数f(x)3x|log2x|1的零点个数为A.0 B.1 C.2 D.3函数f(x)3x|log2x|1的零点，即函数f(x)的零点个数为2.6令36x20，解得6
8、x6，所以f(x)的定义域为6,6.令f(x)0得36x20或cos x0，由36x20得x6，故f(x)共有6个零点.题型三函数零点的应用例3(2023安阳模拟)已知函数f(x)的图象与直线ykx有3个不同的交点，则实数k的取值范围是命题点命题点1 1根据函数零点个数求参数根据函数零点个数求参数如图所示，作出函数f(x)的大致图象(实线)，平移直线ykx，由kxx22x2可得，x23x2k0，当k0时，直线yx经过点(0,0)，且与曲线yx22x2(x0)有2个不同的交点；当k2时，直线y2x经过点(0,2)，且与f(x)的图象有3个不同的交点.由图分析可知，当k(0,2时，f(x)的图象与
9、直线ykx有3个不同的交点.例4函数f(x)2x a的零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是A.0a3 B.1a3C.1a2 D.a2命题点命题点2 2根据函数零点的范围求参数根据函数零点的范围求参数因为函数y2x，y 在(0，)上均单调递增，所以函数f(x)2x a在(0，)上单调递增，由函数f(x)2x a的零点在区间(1,2)内，得f(1)f(2)(22a)(41a)a(a3)0，解得0a3.思维升华根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式确定参数(范围).(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域确定参数
10、范围.(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后利用数形结合法求解.跟踪训练3(1)(2024邵阳模拟)已知函数f(x)若g(x)f(x)a有4个零点，则实数a的取值范围为A.(0,4)B.(0,3)C.(0,2)D.(0,1)作出yf(x)的图象(实线)，如图所示，g(x)f(x)a有4个零点，即yf(x)与ya的图象有4个交点，所以实数a的取值范围为(0,4).(2)(2023天津模拟)函数f(x)2alog2xa4x3在区间 上有零点，则实数a的取值范围是当a0时，f(x)3，不符合题意；返回课时精练知识过关一、单项选择题一、单项选择题1.下列函数的图象
11、均与x轴有交点，其中不宜用二分法求函数零点的是1234567891011121314由题意知，利用二分法求函数的零点时，该函数的零点必须是变号零点，所以根据这个条件可知，不宜用二分法求函数零点的是选项C.2.(2023临沂模拟)函数f(x)ln x2x5的零点所在的区间是A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)1234567891011121314由于yln x，y2x5在(0，)上都单调递减，故函数f(x)ln x2x5在(0，)上为增函数，又f(1)30，f(2)ln 210，即f(2)f(3)0，故f(x)ln x2x5在(2,3)内有唯一零点.3.(2023重庆检测)已
12、知函数f(x)xex的部分函数值如表所示，那么函数f(x)的零点的一个近似值(精确度为0.1)为1234567891011121314x10.50.750.6250.562 5f(x)0.632 10.106 50.277 60.089 70.007A.0.55 B.0.57 C.0.65 D.0.71234567891011121314易知f(x)在0,1上单调递增，由表格得f(0.562 5)f(0.625)0，且|0.6250.562 5|0.062 50.1，函数零点在(0.562 5,0.625)内，根据选项可知，函数f(x)的零点的一个近似值为0.57.x10.50.750.625
13、0.562 5f(x)0.632 10.106 50.277 60.089 70.0074.若函数f(x)ln xx2a在区间(1，e)上存在零点，则实数a的取值范围为A.(1，e2)B.(1,2)1234567891011121314f(x)ln xx2a，f(x)在(1，e)上单调递增.又函数f(x)ln xx2a在区间(1，e)上存在零点，故f(1)0，1234567891011121314故实数a的取值范围为(1，e21).5.函数f(x)的零点之和为A.1 B.1 C.2 D.21234567891011121314 1234567891011121314当x0时，f(x)6x2，设
14、其零点为x1，则满足 20，解得x1log62；当x0时，f(x)xlog612，设其零点为x2，则满足x2log6120，解得x2log612，所以f(x)的零点之和为x1x2log62log6121.16x12345678910111213141234567891011121314即用“调日法”得到 的近似分数与实际值误差小于0.01的次数为五.二、多项选择题二、多项选择题7.(2023安康模拟)下列函数在区间(1,3)内存在唯一零点的是A.f(x)x22x8 B.f(x)C.f(x)2x11 D.f(x)1ln(x2)123456789101112131432(1)2x对于A，x22x8
15、0的解为x2，x4，f(x)在区间(1,3)内没有零点，故A错误；对于B，f(x)在1，)上为增函数，且f(1)20，即f(1)f(3)0，f(x)在区间(1,3)内存在唯一零点，故B正确；对于C，f(x)2x11在R上为增函数，且f(1)0，即f(1)f(3)0，f(3)1ln 50，即f(1)f(3)0，f(3)2735250，f(1)11530，由f(1)f(2)x1x2依题意令f(x)xx30，得x3x，同理可得3xx，log3xx，则函数的零点转化为yx3，y3x，ylog3x与yx的图象交点的横坐标，在平面直角坐标系中画出函数图象，如图所示.由图可得x10，x20，即x3x1x2.
16、四、解答题四、解答题123456789101112131412345678910111213143a2c3a2b，3ab.2c2b，3a4b.若a0，则0b,0b，不成立；(2)函数f(x)在区间(0,2)内至少有一个零点.1234567891011121314b24acb24ab6a2(b2a)22a20.当c0时，f(0)0，f(1)0，f(x)在(0,2)内至少有一个零点；当c0时，f(0)0，f(1)0，f(2)4a2ba0，f(x)在(0,2)内有一个零点；当c0时，f(0)0，f(1)0，b ac，f(2)4a3a2ccac0，f(x)在(0,2)内有一个零点.综上，f(x)在(0
17、,2)内至少有一个零点.1234567891011121314123456789101112131412.(2023郑州模拟)已知函数f(x)ln(1x)aln(1x)(aR)的图象关于原点对称.(1)求a的值；1234567891011121314解得1x1，故函数的定义域为(1,1).由题意可得，函数f(x)为奇函数，所以f(x)f(x)，即ln(1x)aln(1x)ln(1x)aln(1x)，即(1a)ln(1x)(a1)ln(1x)0，故(1a)ln(1x2)0在(1,1)上恒成立，所以1a0，解得a1.1234567891011121314即3x2m1在x(1,1)上有解，所以m的取
18、值范围是(2,1).1234567891011121314能力拓展13.(多选)(2023衡水检测)已知函数f(x)若x1x2x3x4，且f(x1)f(x2)f(x3)f(x4)，则下列结论正确的是A.x1x21 B.x3x41C.1x42 D.0 x1x2x3x411234567891011121314由图可知，x1x22，2x11x20；1234567891011121314由f(x3)f(x4)，有|log2x3|log2x4|，即log2x3log2x40，所以x3x41，则x1x2x3x4x1x2x1(2x1)(x11)21(0,1).14.已知函数f(x)(R)，若函数f(x)恰有2个零点，则实数的取值范围是_.1234567891011121314(2,4(5，)作出函数yx5，yx26x8的图象，如图所示，由图象可得实数的取值范围是(2,4(5，).返回本课结束
