1、第二章2.6二次函数与幂函数1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等).课标要求课标要求内容索引内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，函数 叫做幂函数，其中x是自变量，是常数.(2)常见的五种幂函数的图象yx知识梳理(3)幂函数的性质幂函数在(0，)上都有定义；当0时，幂函数的图象都过点 和 ，且在(0，)上单调递增；当0)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)yax2bxc(a0)单调性在 上单调递 ；在 上单调递_在 上单调递 ；在
2、上单调递_减增增减自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)(1)函数 是幂函数.()(2)若二次函数yax2bxc的图象恒在x轴下方，则a0且0.()(3)二次函数ya(x1)22的单调递增区间是1，).()(4)若幂函数yx是偶函数，则为偶数.()1212yx自主诊断2.已知幂函数yf(x)的图象过点(8,2 )，则f(9)的值为A.2 B.3 C.4 D.912x自主诊断3.(2023南京模拟)已知函数f(x)x22x2，x(2,2)，则函数f(x)的值域为A.(2,10)B.1,2)C.2,10 D.1,10)当x(2,2)时，3x10时，n越大，yxn递增速度越快，
3、所以曲线C1的n2，C2的n ；当n0时，|n|越大，曲线越陡峭，所以曲线C3的n ，C4的n2.(2)(2023德州模拟)已知幂函数f(x)在区间(0，)上单调递增，则f(3)等于2225(5)mmmmx+-由题意，得m2m51，即m2m60，解得m2或m3，当m2时，可得函数f(x)x3，此时函数f(x)在(0，)上单调递增，符合题意；当m3时，可得f(x)x2，此时函数f(x)在(0，)上单调递减，不符合题意，即幂函数f(x)x3，则f(3)27.思维升华(1)对于幂函数图象的掌握只要抓住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x1，y1，yx所分区域.根据0,01的取值确定位置后，其
4、余象限部分由奇偶性决定.(2)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较.跟踪训练1(1)幂函数y (0m3，mZ)的图象关于y轴对称，且在(0，)上单调递增，则m的值为A.0 B.2 C.3 D.2或322mmx 当m0时，yx2，由幂函数性质得，yx2在(0，)上单调递减；当m1时，yx0，由幂函数性质得，yx0在(0，)上是常函数；当m2时，yx4，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，yx4在(0，)上单调递增；当m3时，yx10，由幂函数性质得，图象关于y轴对称，在(0,)上单调递增.(2)已知幂函数yx1，直线yx，y1，x1将直角坐标系第一象限分成八
5、个“卦限”(如图所示)，那么，幂函数y 的图象在第一象限中经过的“卦限”是A.，B.，C.，D.，13x显然，图中图象下降的曲线表示的函数为yx1，13x所以函数y 在(0，)上单调递减.1113311122,2213x则y 的图象在直线y1的上方，在yx1的图象的下方，即y 的图象过；13x当x2时，则y 的图象在直线y1的下方，在yx1的图象的上方，即y 的图象过.1103222=1，13x13x例2已知二次函数f(x)满足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，试确定该二次函数的解析式.题型二二次函数的解析式方法一(利用“一般式”解题)设f(x)ax2bxc(a0).所以所求二次
6、函数的解析式为f(x)4x24x7.方法二(利用“顶点式”解题)设f(x)a(xm)2n(a0).因为f(2)f(1)，又根据题意，函数有最大值8，所以n8，解得a4，方法三(利用“零点式”解题)由已知得f(x)10的两根为x12，x21，故可设f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.解得a4.故所求函数的解析式为f(x)4x24x7.思维升华求二次函数解析式的三个策略(1)已知三个点的坐标，宜选用一般式.(2)已知顶点坐标、对称轴、最大(小)值等，宜选用顶点式.(3)已知图象与x轴的两交点的坐标，宜选用零点式.跟踪训练2已知二次函数f(x)的图象过点(0,3)，对称
7、轴为直线x2，且方程f(x)0的两个根的平方和为10，则f(x)的解析式为_.f(x)x24x3依题意，设函数f(x)a(x2)2h(a0)，由二次函数f(x)的图象过点(0,3)，得f(0)3，所以4ah3，即h34a，所以f(x)a(x2)234a，令f(x)0，即a(x2)234a0，所以ax24ax30，设方程的两根为x1，x2，所以f(x)x24x3.题型三二次函数的图象与性质例3(多选)(2024赣州模拟)已知二次函数yax2bxc的图象如图所示，则下列结论中正确的是A.b2a B.abc0C.acb D.abc0命题点命题点1 1二次函数的图象二次函数的图象故A正确；当x1时，y
8、abc0，则ac0，则abc0，故B错误.例4已知函数f(x)x2ax3a，aR.(1)若yf(x)在区间1,3上是单调函数，求a的取值范围；命题点命题点2 2二次函数的单调性与最值二次函数的单调性与最值因为f(x)在区间1,3上是单调函数，故a6或a2.(2)若当0 x2时，函数yf(x)的最小值是关于a的函数m(a)，求m(a)的表达式.当0，即a0时，f(x)在区间0,2上单调递增，m(a)f(0)3a；当2，即a4时，f(x)在区间0,2上单调递减，m(a)f(2)a7.二次函数定轴动区间和动轴定区间问题二次函数定轴动区间和动轴定区间问题在含参的二次函数中，常常出现两种情况的讨论：(1
9、)二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定二次函数在动区间上的最值”.(2)二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”.微拓展典例(1)已知函数f(x)x2x在区间a，b上的最小值为3a，最大值为3b，则ab等于开口向下，函数在(，1上单调递增，在1，)上单调递减，所以f(x)在区间a，b上单调递增，(2)若函数f(x)x22bx3a在区间0,1上的最大值为M，最小值为m，则Mm的值A.与a无关，与b有关B.与a有关，与b无关C.与a有关，且与b有关D.与a无关，且与b无关函数f(x)x2
10、2bx3a的图象开口向上，且对称轴为直线xb，当b1时，f(x)在0,1上单调递减，则Mf(0)3a，mf(1)12b3a，此时Mm2b1，故Mm的值与a无关，与b有关；当b0时，f(x)在0,1上单调递增，则Mf(1)12b3a，mf(0)3a，此时Mm12b，故Mm的值与a无关，与b有关；当0b1时，mf(b)3ab2，若0b ，则f(1)f(0)，有Mf(1)12b3a，Mmb22b1，故Mm的值与a无关，与b有关，Mmb2，故Mm的值与a无关，与b有关，综上，Mm的值与a无关，与b有关.思维升华二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解
11、题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论.跟踪训练3(1)(2024宣城模拟)已知y(xm)(xn)2 023(mn)，且，()是方程y0的两根，则，m，n的大小关系是A.mn B.mnC.mn D.mny(xm)(xn)2 023(mn)为二次函数，图象开口向上，因为，()是方程y0的两根，故，()为二次函数的图象与x轴的两个交点的横坐标，其中f(m)f(n)2 023，画出大致图象如图所示，显然mn.(2)(2023镇江模拟)函数f(x)x24x2在区间a，b上的值域为2,2，则ba的取值范围是_.2,4解方程f(x)x24x22，得x0或
12、x4，解方程f(x)x24x22，得x2，由于函数f(x)在区间a，b上的值域为2,2.若函数f(x)在区间a，b上单调，则a，b0,2或a，b2,4，此时ba取得最小值2；若函数f(x)在区间a，b上不单调，且当ba取最大值时，a，b0,4，所以ba的最大值为4，所以ba的取值范围是2,4.返回课时精练知识过关一、单项选择题一、单项选择题1.已知幂函数f(x)(m22m2)xm2的图象经过原点，则m的值为A.1 B.1 C.3 D.212345678910111213141234567891011121314令m22m21，解得m1或m3.当m1时，f(x)x3的图象不经过原点；当m3时，f
13、(x)x的图象经过原点.所以m的值为3.2.(2023保定模拟)已知 ，则A.bac B.abcC.bca D.cab12345678910111213144213322,3,25abc由题意得 所以ba0，则原式可化为t23tm10有正根，则t23tm1在(0，)上有解，又当t(0，)时，t23t(0，)，m10，即m1.12345678910111213145.已知函数f(x)x22x5在区间0，m上的值域为5,6，则实数m的取值范围是A.(0,1 B.1,3 C.(0,2 D.1,21234567891011121314 1234567891011121314f(x)x22x5(x1)2
14、6，f(x)的图象开口向下，对称轴为直线x1，画出f(x)的图象如图所示，由于f(x)在区间0，m上的值域为5,6，由图可知，m的取值范围是1,2.12345678910111213141234567891011121314由|AB|CD|，二、多项选择题二、多项选择题7.(2023合肥模拟)已知函数f(x)x的图象经过点(4,2)，则下列说法正确的是A.函数f(x)为偶函数B.函数f(x)为增函数C.当x1时，f(x)11234567891011121314由于函数f(x)x的图象经过点(4,2)，故有42，显然，函数f(x)为非奇非偶函数，且为增函数，故A错误，B正确；由于函数f(x)为上
15、凸型函数，12345678910111213148.设abc0，则函数yax2bxc的图象可能是12345678910111213141234567891011121314A中，a0，b0，c0，abc0，符合题意；B中，a0，c0，abc0，b0，c0，abc0，不符合题意；D中，a0，b0，c0，不符合题意.三、填空题三、填空题9.(2023大庆模拟)已知函数f(x)(m2m1)x4m3是幂函数，且在(0，)上单调递增，则f(2)_.1234567891011121314211解得m2，所以f(x)x11，f(2)211.10.已知二次函数的图象过点(3,0)，(1,0)，且顶点到x轴的距
16、离等于2，则二次函数的表达式为_.1234567891011121314因为二次函数的图象过点(3,0)，(1,0)，所以可设二次函数为ya(x3)(x1)(a0)，展开得yax22ax3a，1234567891011121314由于二次函数图象的顶点到x轴的距离为2，四、解答题四、解答题11.已知幂函数f(x)(m24m4)xm2在(0，)上单调递减.(1)求m的值；1234567891011121314由幂函数的定义可得m24m41，即m24m30，解得m1或m3.因为f(x)在(0，)上单调递减，所以m20，即m2，则m3.(2)若(2a1)m(a3)m，求a的取值范围.12345678
17、91011121314设g(x)x3，则g(x)是增函数.由(1)可知(2a1)m(a3)m，即(2a1)3(a3)3，则2a1a3，解得a4，即a的取值范围为(，4).123456789101112131412.(2024郴州模拟)已知二次函数f(x)ax2bxc，且满足条件：不等式f(x)0的解集为x|1x2；函数yf(x)的图象过点(3,2).(1)求函数f(x)的解析式；1234567891011121314条件：因为不等式f(x)0的解集为x|1x2，所以1,2是一元二次方程ax2bxc0的两个根，条件：函数yf(x)的图象过点(3,2)，所以9a3bc2.1234567891011
18、121314此时f(x)x23x2.1234567891011121314(2)设g(x)f(x)mx，若函数g(x)在区间1,2上的最小值为3，求实数m的值.1234567891011121314g(x)ming(1)3(m3)m3，解得m3；g(x)ming(2)6(2m6)2m3，1234567891011121314综上所述，所求实数m的值为3.能力拓展13.函数f(x)是幂函数，对任意x1，x2(0，)，且x1x2，满足 0，若a，bR，且a0b，|a|b|，则f(a)f(b)的值A.恒大于0 B.恒小于0C.等于0 D.无法判断1234567891011121314223(1)mm
19、mmx-因为对任意x1，x2(0，)，且x1x2，满足 0，所以f(x)在(0，)上单调递减，由f(x)是幂函数，可得m2m11，解得m2或m1，当m2时，f(x)x3，在(0，)上单调递增，故不成立；当m1时，f(x)x3，在(0，)上单调递减，满足条件，故m1，f(x)x3，故f(x)为奇函数，1234567891011121314223(1)mmmmx-因为a0b，|a|b|，所以0af(b)，所以f(a)f(b)，所以f(a)f(b)0.123456789101112131414.设函数f(x)，g(x)ax2bx(a，bR，a0)，若yf(x)的图象与yg(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是A.当a0时，x1x20B.当a0，y1y20时，x1x20，y1y20时，x1x20，y1y201234567891011121314根据题意，F(x)的图象与G(x)axb的图象只有两个交点，不妨设x10时(如图1)，G(x)axb的图象与F(x)图象的左支相切，与右支有一个交点，根据对称性可得|x1|x2，即x1x20，1234567891011121314同理可得，当a0，y1y20.返回本课结束
