1、第二章2.13函数模型的应用1.了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异.2.理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义.3.能选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用.课标要求课标要求内容索引内容索引第一部分 落实主干知识第二部分 探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识知识梳理1.三种函数模型的性质函数性质yax(a1)ylogax(a1)yx(0)在(0，)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与 平行随x的增大逐渐表现为与 平行随值的变化而各有不同y轴x轴知识梳理2.常见的函数
2、模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)axb(a，b为常数，a0)二次函数模型f(x)ax2bxc(a，b，c为常数，a0)反比例函数模型f(x)b(k，b为常数，k0)指数函数模型f(x)baxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)对数函数模型f(x)blogaxc(a，b，c为常数，a0且a1，b0)幂函数模型f(x)axb(a，b，为常数，a0，0)自主诊断1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“”或“”)(1)函数y2x的函数值比yx2的函数值大.()(2)A公司员工甲购买了某公司的股票，第一天涨了10%，第二天跌了10%，则员工甲不赚不赔.()(3)已知a1，在(0，)上，随
3、着x的增大，yax的增长速度会超过并远远大于yxa和ylogax的增长速度.()(4)在选择函数模型解决实际问题时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.()自主诊断2.当x越来越大时，下列函数中，增长速度最快的应该是A.y100 x B.ylog100 xC.yx100 D.y100 x根据函数特点可知，指数函数的增长是爆炸式增长，则当x越来越大时，底数大于1的指数函数增长速度最快.自主诊断3.(2024南宁联考)有一组实验数据如表：12x则体现这组数据的最佳函数模型是A.y B.ylog2xx23456y1.402.565.311121.30自主诊断通过所给数据可知，y随x的增大而增大，且增
4、长的速度越来越快，A，B选项中的函数增长速度越来越慢，不正确；C选项中，当x6时，y21.33；D选项中，当x6时，y18，误差偏大，故C选项正确.自主诊断4.(2023福州模拟)我国的烟花名目繁多，其中“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(单位：米)与时间t(单位：秒)之间的关系为h(t)5t215t20，那么烟花冲出后在爆裂的最佳时刻距地面高度约为A.26米 B.28米C.31米 D.33米返回第二部分探究核心题型例1(1)(多选)(2024钦州模拟)为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期
5、整改.设企业的污水排放量W与时间t的关系为Wf(t)，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如图所示.给出下列四个结论，其中正确的结论为A.在t1，t2这段时间内，甲、乙两企业的污水排放 量均达标B.在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等C.甲企业的污水排放量的最小值大于乙企业的污水排放量的最大值D.在0，t1这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量题型一用函数图象刻画变化过程由图可知在t1，t2这段时间内，甲、乙两企业的污水排放量均超标，故A错误；在t2时刻，甲、乙两企业的污水排放量相等，故B正确；甲企业的污水排放量的最小值不大于乙企业的污水排放量的最大值，故C错误
6、；在0，t1这段时间内，甲企业的污水排放量高于乙企业的污水排放量，故D正确.(2)在一次实验中，某小组测得一组数据(xi，yi)(i1,2，11)，并由实验数据得到散点图.由此散点图，在区间2,3上，下列四个函数模型(a，b为待定系数)中，最能反映x，y函数关系的是A.yabx B.yabx由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型.思维升华判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选择函数图象.(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合函数图象的变化趋势，验证是否吻合，
7、从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.跟踪训练1如图，点P在边长为1的正方形ABCD的边上运动，M是CD的中点，则当P沿ABCM运动时，点P经过的路程x与APM的面积y的函数yf(x)的图象大致是函数图象大致如A选项所示.例2(1)(2023南京模拟)目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，发现地震时释放的能量E(单位：焦耳)与地震里氏震级M之间的关系为lg E4.81.5M.则里氏8.0级地震所释放出来的能量是里氏6.0级地震所释放出来的能量的A.6倍 B.102倍C.103倍 D.106倍题型二已知函数模型的实际问题设里氏8.0级地震所释放出来的能量为E1，里氏6.0级
8、地震所释放出来的能量为E2，则lg E14.81.5816.8，E11016.8；lg E24.81.5613.8，E21013.8，(2)(2023无锡模拟)根据民用建筑工程室内环境污染控制标准，文化娱乐场所室内甲醛浓度0.1 mg/m3为安全范围.已知某新建文化娱乐场所竣工时室内甲醛浓度为6.05 mg/m3，使用了甲醛喷剂并处于良好通风环境下时，室内甲醛浓度(t)(单位：mg/m3)与竣工后保持良好通风的时间t(tN)(单位：天)近似满足函数关系式(t)0.05(R)，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为(参考数据：ln 20.7，ln 31.1，ln
9、 51.6)A.32天 B.33天 C.34天 D.35天7et依题意可知当t0时，(t)6.05，即6.05 0.05，解得6，所以(t)0.05，由(t)0.050.1，07e76et76et7et又tN，所以tmin34，至少需要放置的时间为34天.思维升华已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数.(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数.(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验.跟踪训练2(2023东莞联考)某食品的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：)满足函数关系yekxb(e2.718为自然对数的底数，
10、k，b为常数).若该食品在0 的保鲜时间是100小时，在10 的保鲜时间是60小时，则该食品在20 的保鲜时间是A.20 小时 B.24 小时C.32 小时 D.36 小时由题意可得eb100，e10kb60，即该食品在20 的保鲜时间是36小时.题型三构造函数模型的实际问题例3(2023宣城模拟)某旅游开发公司计划2023年在某地质大峡谷开发新的游玩项目，全年需投入固定成本300万元，若该项目在2023年有游客x万人，则需另投入成本R(x)万元，且R(x)该游玩项目的每张门票售价为100元.为吸引游客，该公司实行门票五折优惠活动.当地政府为鼓励企业更好发展，每年给该游玩项目财政补贴10 x万
11、元.(1)求2023年该项目的利润W(x)(万元)关于游客人数x(万人)的函数关系式(利润收入成本)；该项目的门票收入为50 x万元，财政补贴收入为10 x万元，共60 x万元收入，(2)当2023年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？当0 x5时，W(x)单调递增，W(x)maxW(5)25；当50)是听觉下限阈值，p是实际声压.不同声源的声压级如表所示：123456789101112声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则A.p1
12、p2 B.p210p3C.p3100p0 D.p1100p2123456789101112声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车106090混合动力汽车105060电动汽车1040123456789101112且 60,90，50,60，所以所以p1p2，故A正确；1pL2pL12,ppLL20010,pLp因为 40，所以p3 100p0，故C正确；3pL4020010p123456789101112假设p210p3，则所以所以 ，不可能成立，故B不正确；所以p1100p2，故D正确.32202000101010ppLLpp，3220201010ppLL，2320ppLL-22112020
13、20202001001010110ppppLLLLpp，三、填空题三、填空题9.某商场为了实现100万元的利润目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方案：在利润达到5万元后，奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元)的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同时奖金不超过利润的20%，现有三个奖励模型：y0.2x，ylog5x，y1.02x，则符合该商场要求的模型为_.(填序号)123456789101112123456789101112在同一平面直角坐标系中作出函数y0.2x，ylog5x，y1.02x的图象，如图所示.观察图象可知，在区间5,100内，函数y0.2x，y1.02x的图象都有一部分
14、在直线y3的上方，只有函数ylog5x的图象始终在直线y3和y0.2x的下方，所以按模型ylog5x进行奖励符合商场的要求.10.(2023温州联考)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关，经验表明，某种绿茶用85 的开水泡制，再等茶水温度降至55 时饮用，可以产生最佳口感，如果茶水原来的温度是T0，经过一定时间t(单位：min)后的温度T(单位：)可由公式TT 求得，其中T表示室温，h是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数，现有一杯85 的绿茶放在室温为25 的房间中，如果茶温降到40 需要20 min，那么在25 室温下，用85 的开水刚泡好的绿茶大约需要放置_ min
15、才能达到最佳饮用口感.12345678910111201()ethTT10由题意得4025(8525)，123456789101112设一杯85 的绿茶放在室温为25 的房间中，茶温降到55 需要t min，则5525(8525)，201eh201eh1eth11,e2th所以因为123456789101112所以t10.2202111,eeetthhh四、解答题四、解答题11.(2023南京统考)某企业为响应国家“节约用水”的号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，该企业拟安装一种使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费(单位：万元)与设备的占地面积x(单位：
16、平方米)成正比，比例系数为0.2.预计安装后该企业每年需缴纳的水费C(单位：万元)与设备占地面积x之间的函数关系为C(x)(x0).该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和为y(单位：万元).(1)要使y不超过7.2万元，求设备占地面积x的取值范围；123456789101112123456789101112要满足题意，则y7.2，解得11x20.即设备占地面积x的取值范围为11,20.(2)当设备占地面积x为多少时，y的值最小？123456789101112所以当设备占地面积为15 平方米时，y的值最小.12345678910111212.(2024株洲模拟)研究表明：在一节40分钟的
17、网课中，学生的注意力指数y与听课时间x(单位：分钟)之间的变化曲线如图所示，当x0,16时，曲线是二次函数图象的一部分；当x16,40时，曲线是函数ylog0.8(xa)80图象的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”.(1)求函数yf(x)的解析式；123456789101112当x0,16时，设函数f(x)b(x12)284(b0)，因为f(16)b(1612)28480，当x16,40时，f(x)log0.8(xa)80，由f(16)log0.8(16a)8080，解得a15，所以f(x)log0.8(x15)80，123456789101112(2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(参考数据：0.81214.6，精确到1分钟)123456789101112当x0,16时，令f(x)(x12)28468，即(x12)264，解得x4或x20(舍去)，所以x0,4；当x16,40时，令f(x)log0.8(x15)8068，得x150.81229.6，所以x30,40，所以学生处于“欠佳听课状态”的时长为40403014(分钟).返回本课结束
