1、2025年高中数学必修3精品讲义（精选）第一章算法初步一、基础精析要点1：算法的一些基本概念（1）算法的概念：算法通常是指按一定规则解决某一类问题的明确和有限的步骤（2）程序框图又称流程图，是一种用程序框、流程线及文字说明来表示算法的图形.（3）程序框图的三种基本逻辑结构是顺序结构、条件结构、循环结构（4）算法的描述方式有：自然语言、程序框图、程序语言练习1：看下面的四段话，其中不是解决问题的算法的是（ ）A.从济南到北京旅游，先坐火车，再坐飞机抵达B.解一元一次方程的步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1C.方程x2-1=0有两个实根D.求1+2+3+4+5的值，先计算1+2=,
2、再由于3+3=6，6+4=10，10+5=15，最终结果为15练习2：算法的有穷性是指 （ ）A.算法必须包含输出 B.算法中每个步骤都是可执行的C.算法的步骤必须有限 D.以上说法均不对练习3：下面对算法描述正确的一项是（ ）A算法只能用自然语言来描述 B算法只能用流程图来表示C同一问题可以有不同的算法 D同一问题不同的算法会得到不同的结果例题1：下列给出的赋值语句中正确的是（ ）A B C D 要点2：算法的三种基本逻辑结构 名称内容顺序结构条件结构循环结构程序框图练习4：算法共有三种逻辑结构，即顺序结构、条件结构、循环结构，下列说法正确的是（ ）A.一个算法只能含有一种逻辑结构 B. 一
3、个算法最多可以包含两种逻辑结构C.一个算法必须含有上述三种逻辑结构D.一个算法可以含有上述三种逻辑结构的任意组合要点3：算法的基本语句（1）输入语句、输出语句、赋值语句的格式与功能语句一般格式功能输入语句INPUT“提示内容”；变量输入信息输出语句PRINT“提示内容”；表达式输出常量、变量的值和系统信息赋值语句变量=表达式将表达式的值赋给变量（2）条件语句IFTHEN格式IFTHENELSE格式（3）循环语句UNTIL语句WHILE语句例题2：如图给出的是求的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是 （ ）A.i10? B.i20? D.i0.02,所以,由这组数据可以认为甲种水稻的产量
4、比较稳定.例9：若给定一组数据x1,x2,xn,方差为s2,则ax1,ax2,axn的方差是_.练习9：在相同条件下对自行车运动员甲、乙两人进行了6次测试,测得他们的最大速度(单位：m/s)的数据如下：甲273830373531乙332938342836 试判断选谁参加某项重大比赛更合适？要点5：相关关系的概念(1)相关关系：自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系,叫做相关关系.(2) 两个变量之间的关系分两类：确定性的函数关系,例如我们以前学习过的一次函数、二次函数等；带有随机性的变量间的相关关系,例如“身高者,体重也重”,我们就说身高与体重这两个变量具有相关关系.
5、相关关系是一种非确定性关系.如商品销售收入与广告支出经费之间的关系.（还与商品质量、居民收入、生活环境等有关）要点6：两个变量的相关关系（1）散点图的概念：将各数据在平面直角坐标系中的对应点画出来,得到表示两个变量的一组数据的图形,这样的图形叫做散点图.（2）正相关、负相关的概念：如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内,称为正相关.如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内,称为负相关.（注：散点图的点如果几乎没有什么规则,则这两个变量之间不具有相关关系）（3）如果所有的样本点都落在某一函数曲线上,就用该函数来描述变量之间的关系,即变量之间具有函数关系；如果所有的样本点都落在某一函
6、数曲线附近,变量之间就有相关关系；如果所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。例10：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中,研究人员获得了一组样本数据：年龄23273841454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6（1）画出散点图。（2）人体脂肪含量和年龄的关系是函数关系还是相关关系？（3）人体脂肪含量和年龄的关系是正相关还是负相关关系？解：（1）（2）相关关系（3）正相关关系练习10：有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型
7、的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:品牌所含热量的百分比口味记录A2589B3489C2080D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1352（1）作出这些数据的散点图.(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?要点7：回归直线如果在散点图中所有的样本点都落在某一直线附近,变量之间就有线性相关关系。变量线性相关关系的回归直线方程为。其中, （,）注意：公式（1）不用背出来，并且注意不同的参考书上会给出不同的公式形式，但计算结果是一样的；公式（2）要背出来。回归直线一定过点.例11： 给出
8、施化肥量对水稻产量影响的试验数据：施化肥量x15202530354045水稻产量y330345365405445450455(1)画出上表的散点图;(2)求出回归直线的方程.解：(1)散点图如下图(2)表中的数据进行具体计算,列成以下表格:i1234567xi15202530354045yi330345365405445450455xiyi4 9506 9009 12512 15015 57518 00020 475故可得到b=4.75,a=399.3-4.7530257.从而得回归直线方程是=4.75x+257.练习11：设有一个回归直线方程，则变量增加一个单位时，平均（ ） A增加1.5个
9、单位B增加2单位 C减少1.5单位D减少2单位练习12：已知x与y之间的一组数据：x0134y1357则y与x的线性回归方程必经过点（ ）A（2，2）B（2，0） C（1，2） D（2，4）练习13：已知x与y之间的一组数据如下表，求y与x的线性回归方程x0134y1357二、课后作业1：某校高中三年级有1 233名学生，为了了解他们的身体状况，准备按130的比例抽取一个样本，那么（ ）A.剔除指定的3名学生 B.剔除指定的2名学生C.随机剔除3名学生 D.随机剔除2名学生2：从2 010个编号中抽取40个号码，采用系统抽样的方法，则抽样的分段间隔为（ ）A.49 B.49.5 C.50 D.
10、50.53：有一个容量为50的样本，数据的分组及各组的频数如下：40，50），3；50，60），2；60，70），10；70，80），15；80，90），8；90，100），12。（1）列出样本的频率分布表；(2)画出频率分布条形图；（3）画出频率分布直方图及频率分布折线图。（4）估计这50个同学的身高的中位数4：在样本的频率分布直方图中，共有5个小长方形，已知中间一个小长方形面积是其余四个小长方形之和的，且中间一组频数为10，则这个样本容量是 。5：从参加某次考试的学生中，随机抽取20名，成绩如下：42，51，48，57，71，74，59，74，75，82，61，62，68，70，71，83
11、，63，63，84，92。试作出上述数据茎叶图，通过茎叶图，你能得出什么结论？6：若给定一组数据x1,x2,xn,方差6,则3x1,3x2,3xn的方差是_.7：有时候,一些东西吃起来口味越好,对我们的身体越有害.下表给出了不同类型的某种食品的数据.第二列表示此种食品所含热量的百分比,第三列数据表示由一些美食家以百分制给出的对此种食品口味的评价:品牌所含热量的百分比口味记录A2589B3589C2080D1978E2675F2071G1965H2462I1960J1451（1）作出这些数据的散点图.(2)关于两个变量之间的关系,你能得出什么结论?8： x0237y2378已知x与y之间的一组数
12、据如上表：则y与x的线性回归方程必经过点_9：已知x与y之间的一组数据如下表，求y与x的线性回归方程x0134y2356必修3第三章概率一、基础精析要点1：必然事件、不可能事件、随机事件（1）必然事件：一般的，我们把在条件S下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件；（2）不可能事件：在条件S下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能事件；（3）确定事件：必然事件与不可能事件统称为相对于条件S的确定事件，简称确定事件。（4）随机事件：在条件S下可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S的随机事件，简称随机事件。（5）确定事件和随机事件统称为事件。常用
13、大写字母A，B，C等表示。例1：下面一些事件,哪些一定会发生?哪些一定不会发生?哪些是可能发生的?（1）导体通电时发热；（2）抛一石块，下落；（3）在标准大气压下且温度低于时，冰融化（4）在常温下，焊锡熔化；（5）掷一枚硬币，出现正面；（6）某人射击一次，中靶大于3小于11的偶数要点2：频率与概率的定义（1）频率：在相同的条件S下重复n次试验，若某一事件A出现的次数为nA，则称nA为事件A出现的频数，那么事件A出现的频率。（2）概率：对于给定的随机事件A，如果随着试验次数的增加，事件A发生的频率稳定在某个常数上，把这个常数记做，称为事件A的概率，简称为A的概率。练习1：历史上曾有人作过抛掷硬币
14、的大量重复试验，结果如下表所示在上述抛掷硬币的试验中，正面向上发生的频率的稳定值为多少？若投郑一枚硬币，出现正面向上的概率是多少呢？练习2：判断（1）事件A发生的频率是不变的。（ ）（2）事件A发生的概率是不变的。（ ）（3）有人说，既然抛掷一枚硬币出现正面的概率为0.5，那么连续两次抛掷一枚质地均匀的硬币，一定是一次正面朝上，一次反面朝上。（ ）练习3：若某种彩票准备发行1000万张，其中有1万张可以中奖，则买一张这种彩票的中奖概率是多少？买1000张的话是否一定会中奖？要点3：极大似然法例2： 在一个不透明的袋子中有两种球，一种白球，一种红球，并且这两种球一种有99个，另一种只有1个，若一
15、个人从中随机摸出1球，结果是红色的，那你认为袋中究竟哪种球会是99个？极大似然法：如果我们面临的是从多个可选答案中挑选正确答案的决策问题，那么“使得样本出现的可能性最大”可以作为决策的准则，例如在例题2中我们所做的推断。这种判断问题的方法称为极大似然法。要点4：事件的关系与运算（1） 一般地，对于事件A与事件B，如果当事件A发生时，事件B一定发生，称事件B包含事件A（或事件A包含于事件B）记为: BA(或AB)。特别地，不可能事件用表示；任何事件都包含不可能事件.（2）一般地，当两个事件A、B满足: 若B A，且A B，则称事件A与事件B相等，记作A=B. (3)一般地,当且仅当事件A发生或事
16、件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的并事件(或和事件)，记作 C=AB(或A+B). (4)类似地，当且仅当事件A发生且事件B发生时，事件C发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件（或积事件），记作C=AB（或AB）（5）两个集合的交可能为空集，两个事件的交事件也可能为不可能事件，即AB，此时，称事件A与事件B互斥。 （6）若AB为不可能事件，AB为必然事件，则称事件A与事件B互为对立事件，事件A与事件B有且只有一个发生.例3：在掷骰子试验中，我们用集合形式定义如下事件：C1出现1点，C2出现2点，C3出现3点，C4出现4点，C5出现5点，C6出现6点，D1出现的点数不大于1，
17、D2出现的点数大于4，D3出现的点数小于6，E出现的点数小于7，F出现的点数大于6，G出现的点数为偶数，H出现的点数为奇数，等等.（1）上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事件？哪些是不可能事件?（2）如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样描述？ （3）分析事件C1与事件D1之间的包含关系，按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述？(4 )如果事件C5发生或C6发生，就意味着哪个事件发生？反之成立吗？练习4：若事件A与事件B相互对立，那么事件A与事件B互斥吗？反之，若事件A与事件B互斥，那么事件A与事件B相互对立吗？练习5：一个人打靶时连续射击两次事
18、件“至少有一次中靶”的互斥事件是 （ ）A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C.只有一次中靶 D.两次都不中靶练习6：把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给甲、乙、丙、丁四人，每人分得一张，那么事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”是 ( ) A. 对立事件 B. 互斥但不对立事件 C. 必然事件 D. 不可能事件要点5：概率的几个基本性质 （1）概率的加法公式：若事件A与事件B互斥，则AB发生的频数等于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和,且 P(AB)P(A)P(B)，这就是概率的加法公式. （2）若事件A与事件B互为对立事件，则: P(A)P(B)1.（3）如果事件A1,A2，An中任何两个
19、都互斥, P(A1 + A2 + An)= P(A1)+P(A2)+P(An).（4）任何事件的概率都介于0和1之间。不可能事件的概率为0，必然事件的概率为1.（5）概率加法公式是对互斥事件而言的，一般地，P(AB)=P(A)P(B)P(AB).例4：某射手在一次射击训练中，射中10环、8环、7环的概率分别为0.21，0.23，0.25，0.28，计算该射手在一次射击中：（1）射中10环或9环的概率；（2）少于7环的概率。解：（1）该射手射中10环与射中9环的概率是射中10环的概率与射中9环的概率的和，即为0.21+0.23=0.44。（2）射中不少于7环的概率恰为射中10环、9环、8环、7环
20、的概率的和，即为0.21+0.23+0.25+0.28=0.97，而射中少于7环的事件与射中不少于7环的事件为对立事件，所以射中少于7环的概率为10.97=0.03。要点6：古典概率 （1）基本事件：在一次试验中可能出现的每一个基本结果称为基本事件；（2）等可能基本事件：若在一次试验中，每个基本事件发生的可能性都相同，则称这些基本事件为等可能基本事件；（3）古典概型：满足以下两个条件的随机试验的概率模型称为古典概型所有的基本事件只有有限个；每个基本事件的发生都是等可能的；（4）古典概型的概率：如果一次试验的等可能基本事件共有个，那么每一个等可能基本事件发生的概率都是，如果某个事件包含了其中个等
21、可能基本事件，那么事件发生的概率为例5：有5个小球，其中2个白色小球的编好分别为1和2；3个黑色小球的颜色分别为3、4、5。从5个小球中随机抽取一个，若以小球的编号为基本事件，则共有几个基本事件，这些基本事件发生的概率相等吗？若以小球的颜色为基本事件，则有几个基本事件，这些基本事件发生的概率相等吗？例6：将一颗骰子先后抛掷两次，观察向上的点数，问：（1）共有多少种不同的结果？ （2）两数的和是3的倍数的结果有多少种？（3）两数和是3的倍数的概率是多少？解：（）将骰子抛掷次，它出现的点数有这6中结果。先后抛掷两次骰子，第一次骰子向上的点数有6种结果，第2次又都有6种可能的结果，于是一共有种不同的
22、结果；(2)第1次抛掷，向上的点数为这6个数中的某一个，第2次抛掷时都可以有两种结果，使向上的点数和为3的倍数（例如：第一次向上的点数为4，则当第2次向上的点数为2或5时，两次的点数的和都为3的倍数），于是共有种不同的结果(3)记“向上点数和为3的倍数”为事件，则事件的结果有种，因为抛两次得到的36中结果是等可能出现的，所以所求的概率为练习7：同时抛掷两个骰子，计算：向上的点数相同的概率；向上的点数之积为偶数的概率要点7：几何概率 （1）几何概型的概念：对于一个随机试验，我们将每个基本事件理解为从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中每一点被取到的机会都一样；而一个随机事件的发生则理解为恰好取到上述区域内的某个指定区域中的点这里的区域可以是线段，平面图形，立体图形等用这种方法处理随机试验，称为几何概型（2）几何概型的基本特点：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可能性相等（3）几何概型的概率一般地，在几何区域中随机地取一点，记事件该点落在其内部一个区域内为事件，则事件发生的概率例7：取一个边长为的正方形及其内切圆（如下图），随机向正方形内丢一粒豆子，求豆子落入圆内的概率（测度为面积）分析：由于是随机丢豆子，故可认为豆子落入正方形内任一点的机会都是均等的，于是豆子落入圆中的概率应等于圆面积与正方形面积的比解：记豆子落入圆内
