1、高考真题 （2019全国 II 卷（理） ）已知数列an和bn满足 a1=1，b1=0， 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba . （1）证明：an+bn是等比数列，anbn是等差数列； （2）求an和bn的通项公式. 【解析】 （1）由题意可知 1 434 nnn aab ， 1 434 nnn bba ， 11 1ab+=， 11 1ab， 所以 11 44323442 nnnnnnnn ababbaab + =+=-+-，即 () 1 112nnnn abab + +=， 所以数列 nn ab是首项为1、公比为 1 2 的等比数列， ( ) 1 1 2 n nn a
2、b - +=， 因为 ()11 443434448 nnnnnnnn ababbaab + -=+-=-+-， 所以 11 2 nnnn abab + =-+-，数列 nn ab是首项1、公差为2的等差数列，21 nn abn-=-。 （2）由（1）可知， ( ) 1 1 2 n nn ab - +=，21 nn abn-=-， 所以 () 111 22 2n nnnnn aababn=+-=+- ， () 111 22 2n nnnnn bababn 轾 =+-=- + 臌 。 【答案】 （1）见解析； （2） 11 2 2n n an=+- ， 11 2 2n n bn=-+ 。 （201
3、9全国 I 卷（理） ）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行 动物试验试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠，随机选一只施以甲 药，另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药 治愈的白鼠多 4 只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题，约定：对于每轮 试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分，乙药得1分；若施以乙药的白鼠治 愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分，甲药得1分；若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙 两种药的治愈率分别记为和，一
4、轮试验中甲药的得分记为 X （1）求X的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分，(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时，最终认为甲 药比乙药更有效”的概率， 则 0 0p ， 8 1p ， 11iiii papbpcp (1,2,7)i ， 其中(1)aP X ， (0)bP X，(1)cP X假设0.5，0.8 （i）证明： 1 ii pp (0,1,2,7)i 为等比数列； （ii）求 4 p，并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 【解析】 （1）由题意可知X所有可能的取值为：1，0，1 11P X ；011P X；11P X 则X的分布列如下： X1
5、01 P1 111 （2）0.5，0.8 0.5 0.80.4a ，0.5 0.80.5 0.20.5b ，0.5 0.20.1c （i） 11 1,2,7 iiii papbpcpi 即 11 0.40.50.11,2,7 iiii ppppi 整理可得： 11 541,2,7 iii pppi 11 41,2,7 iiii ppppi 1ii pp 0,1,2,7i 是以 10 pp为首项，4为公比的等比数列 （ii）由（i）知： 1101 44 ii ii ppppp 7 871 4ppp， 6 761 4ppp， 0 101 4ppp 作和可得： 88 017 80111 1 441 4441 1 43 ppppp 1 8 3 41 p 44 0123 44011 84 1 441311 4444 1 434141257 ppppp 4 p表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出，在甲药治愈率为 0.5，乙药治愈率为 0.8 时，认为甲药 更有效的概率为 4 1 0.0039 257 p ，此时得出错误结论的概率非常小，说明这种实验方案合理. 【答案】 （1）见解析； （2） （i）见解析； （ii） 4 1 257 p .
