1、高考真题 (2019全国 II 卷(理) )已知数列an和bn满足 a1=1,b1=0, 1 434 nnn aab , 1 434 nnn bba . (1)证明:an+bn是等比数列,anbn是等差数列; (2)求an和bn的通项公式. 【解析】 (1)由题意可知 1 434 nnn aab , 1 434 nnn bba , 11 1ab+=, 11 1ab, 所以 11 44323442 nnnnnnnn ababbaab + =+=-+-,即 () 1 112nnnn abab + +=, 所以数列 nn ab是首项为1、公比为 1 2 的等比数列, ( ) 1 1 2 n nn a
2、b - +=, 因为 ()11 443434448 nnnnnnnn ababbaab + -=+-=-+-, 所以 11 2 nnnn abab + =-+-,数列 nn ab是首项1、公差为2的等差数列,21 nn abn-=-。 (2)由(1)可知, ( ) 1 1 2 n nn ab - +=,21 nn abn-=-, 所以 () 111 22 2n nnnnn aababn=+-=+- , () 111 22 2n nnnnn bababn 轾 =+-=- + 臌 。 【答案】 (1)见解析; (2) 11 2 2n n an=+- , 11 2 2n n bn=-+ 。 (201
3、9全国 I 卷(理) )为了治疗某种疾病,研制了甲、乙两种新药,希望知道哪种新药更有效,为此进行 动物试验试验方案如下:每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验对于两只白鼠,随机选一只施以甲 药,另一只施以乙药一轮的治疗结果得出后,再安排下一轮试验当其中一种药治愈的白鼠比另一种药 治愈的白鼠多 4 只时,就停止试验,并认为治愈只数多的药更有效为了方便描述问题,约定:对于每轮 试验,若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1 分,乙药得1分;若施以乙药的白鼠治 愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1 分,甲药得1分;若都治愈或都未治愈则两种药均得 0 分甲、乙 两种药的治愈率分别记为和,一
4、轮试验中甲药的得分记为 X (1)求X的分布列; (2)若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4 分,(0,1,8) i p i 表示“甲药的累计得分为i时,最终认为甲 药比乙药更有效”的概率, 则 0 0p , 8 1p , 11iiii papbpcp (1,2,7)i , 其中(1)aP X , (0)bP X,(1)cP X假设0.5,0.8 (i)证明: 1 ii pp (0,1,2,7)i 为等比数列; (ii)求 4 p,并根据 4 p的值解释这种试验方案的合理性 【解析】 (1)由题意可知X所有可能的取值为:1,0,1 11P X ;011P X;11P X 则X的分布列如下: X1
5、01 P1 111 (2)0.5,0.8 0.5 0.80.4a ,0.5 0.80.5 0.20.5b ,0.5 0.20.1c (i) 11 1,2,7 iiii papbpcpi 即 11 0.40.50.11,2,7 iiii ppppi 整理可得: 11 541,2,7 iii pppi 11 41,2,7 iiii ppppi 1ii pp 0,1,2,7i 是以 10 pp为首项,4为公比的等比数列 (ii)由(i)知: 1101 44 ii ii ppppp 7 871 4ppp, 6 761 4ppp, 0 101 4ppp 作和可得: 88 017 80111 1 441 4441 1 43 ppppp 1 8 3 41 p 44 0123 44011 84 1 441311 4444 1 434141257 ppppp 4 p表示最终认为甲药更有效的.由计算结果可以看出,在甲药治愈率为 0.5,乙药治愈率为 0.8 时,认为甲药 更有效的概率为 4 1 0.0039 257 p ,此时得出错误结论的概率非常小,说明这种实验方案合理. 【答案】 (1)见解析; (2) (i)见解析; (ii) 4 1 257 p .