1、第四章第四章三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第三节第三节三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 考点考点 1 三角函数的单调性三角函数的单调性 (2018江苏卷)某农场有一块农田,如图所示,它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN(P 为此圆弧的中点)和 线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米,点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大 棚,大棚内的地块形状为矩形 ABCD,大棚内的地块形状为CDP,要求 A,B 均在线段 MN 上,C,D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为. (1)用分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积,并确定 sin 的取值范
2、围; (2)若大棚内种植甲种蔬菜,大棚内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43. 求当为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【解析】 (1)如图,设 PO 的延长线交 MN 于点 H,则 PHMN, 所以 OH10. 过点 O 作 OEBC 于点 E,则 OEMN,所以COE, 故 OE40cos ,EC40sin , 则矩形 ABCD 的面积为 240cos (40sin 10) 800(4sin cos cos ) , CDP 的面积为 ? ?240cos (4040sin ) 1 600(cos sin cos ) 过点 N 作 GNMN,分别交圆弧和 OE 的
3、延长线于点 G 和 K,则 GKKN10. 令GOK0,则 sin 0? ?,0 ?t ? . 当 ?t ? 时,才能作出满足条件的矩形 ABCD, 所以 sin 的取值范围是 ? ? t? . 答矩形 ABCD 的面积为 800(4sin cos cos )平方米,CDP 的面积为 1 600(cos sin cos )平 方米,sin 的取值范围是 ? ? t? . (2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43,设甲的单位面积的年产值为 4k,乙的单位面积 的年产值为 3k(k0) , 则年总产值为 4k800(4sin cos cos )3k1 600(cos sin cos )
4、 8 000k(sin cos cos ) , ?t ? . 设 f()sin cos cos , ?t ? , 则 f()cos2sin2sin (2sin2sin 1) (2sin 1) (sin 1) 令 f()0,得 ?, 当 ?t ? 时,f()0,所以 f()为增函数; 当 ? t ? 时,f()0,所以 f()为减函数, 因此,当 ?时,f()取到最大值 答当 ?时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【答案】见解析 (2018天津卷(文) )将函数 ysin ?th ? 的图象向右平移 ?个单位长度,所得图象对应的函数( ) A在区间 ? ? t ? 上单调递增 B在区间 ? ?
5、 t? 上单调递减 C在区间 ? t ? 上单调递增 D在区间 ? t 上单调递减 【解析】将函数 ysin ?th ? 的图象向右平移 ?个单位长度,得到 ysin ? t ? ? h ? sin 2x 的图象 由 2k ?2x2k ?,kZ, 得 k ?xk ?,kZ, 所以函数 ysin 2x 的单调递增区间为 ? ? t? h ? , kZ.取 k0, 得 ysin 2x 在区间 ? ? t ? 上单调递增 故选 A 【答案】A (2018全国卷(文) )若 f(x)cos xsin x 在0,a上是减函数,则 a 的最大值是() A ? B ? C? ? D 【解析】f(x)cos xsin x ?sin t ? ? , 当 x ? ? ? t ? ,即 x ? ? t ? ? 时, ysin t ? ? 单调递增, f(x) ?sin t ? ? 单调递减, ? ? t ? ? 是 f(x)在原点附近的单调减区间, 结合条件得0,a ? ? t ? ? , a? ? ,即 amax? ? . 【答案】C