1、第四章第四章三角函数与解三角形三角函数与解三角形 第三节第三节三角函数的图像与性质三角函数的图像与性质 考点考点 1 三角函数的单调性三角函数的单调性 （2018江苏卷）某农场有一块农田，如图所示，它的边界由圆 O 的一段圆弧 MPN（P 为此圆弧的中点）和 线段 MN 构成已知圆 O 的半径为 40 米，点 P 到 MN 的距离为 50 米现规划在此农田上修建两个温室大 棚，大棚内的地块形状为矩形 ABCD，大棚内的地块形状为CDP，要求 A，B 均在线段 MN 上，C，D 均在圆弧上设 OC 与 MN 所成的角为. （1）用分别表示矩形 ABCD 和CDP 的面积，并确定 sin 的取值范
2、围； （2）若大棚内种植甲种蔬菜，大棚内种植乙种蔬菜，且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43. 求当为何值时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【解析】 （1）如图，设 PO 的延长线交 MN 于点 H，则 PHMN， 所以 OH10. 过点 O 作 OEBC 于点 E，则 OEMN，所以COE， 故 OE40cos ，EC40sin ， 则矩形 ABCD 的面积为 240cos （40sin 10） 800（4sin cos cos ） ， CDP 的面积为 ? ?240cos （4040sin ） 1 600（cos sin cos ） 过点 N 作 GNMN，分别交圆弧和 OE 的
3、延长线于点 G 和 K，则 GKKN10. 令GOK0，则 sin 0? ?，0 ?t ? . 当 ?t ? 时，才能作出满足条件的矩形 ABCD， 所以 sin 的取值范围是 ? ? t? . 答矩形 ABCD 的面积为 800（4sin cos cos ）平方米，CDP 的面积为 1 600（cos sin cos ）平 方米，sin 的取值范围是 ? ? t? . （2）因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为 43，设甲的单位面积的年产值为 4k，乙的单位面积 的年产值为 3k（k0） ， 则年总产值为 4k800（4sin cos cos ）3k1 600（cos sin cos ）
4、 8 000k（sin cos cos ） ， ?t ? . 设 f（）sin cos cos ， ?t ? ， 则 f（）cos2sin2sin （2sin2sin 1） （2sin 1） （sin 1） 令 f（）0，得 ?， 当 ?t ? 时，f（）0，所以 f（）为增函数； 当 ? t ? 时，f（）0，所以 f（）为减函数， 因此，当 ?时，f（）取到最大值 答当 ?时，能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大 【答案】见解析 （2018天津卷（文） ）将函数 ysin ?th ? 的图象向右平移 ?个单位长度，所得图象对应的函数（ ） A在区间 ? ? t ? 上单调递增 B在区间 ? ?
5、 t? 上单调递减 C在区间 ? t ? 上单调递增 D在区间 ? t 上单调递减 【解析】将函数 ysin ?th ? 的图象向右平移 ?个单位长度，得到 ysin ? t ? ? h ? sin 2x 的图象 由 2k ?2x2k ?，kZ， 得 k ?xk ?，kZ， 所以函数 ysin 2x 的单调递增区间为 ? ? t? h ? ， kZ.取 k0， 得 ysin 2x 在区间 ? ? t ? 上单调递增 故选 A 【答案】A （2018全国卷（文） ）若 f（x）cos xsin x 在0，a上是减函数，则 a 的最大值是（） A ? B ? C? ? D 【解析】f（x）cos xsin x ?sin t ? ? ， 当 x ? ? ? t ? ，即 x ? ? t ? ? 时， ysin t ? ? 单调递增， f（x） ?sin t ? ? 单调递减， ? ? t ? ? 是 f（x）在原点附近的单调减区间， 结合条件得0，a ? ? t ? ? ， a? ? ，即 amax? ? . 【答案】C
