1、课时作业课时作业 62定点、定值、探究性问题定点、定值、探究性问题 1(2021广东六校联盟联考)已知 O 为坐标原点,过点 M(1,0)的直线 l 与抛物线 C:y22px(p0)交于 A,B 两点, 且OA OB 3. (1)求抛物线 C 的方程; (2)过点 M 作直线 ll 交抛物线 C 于 P,Q 两点,记OAB,OPQ 的面积分别为 S1,S2,证明: 1 S21 1 S22为定 值 解:(1)设直线 l 的方程为 xmy1,与抛物线 C:y22px(p0)联立,消去 x 得 y22pmy2p0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1y22pm,y1y22p, 由OA
2、OB 3,得 x1x2y1y2(my11)(my21)y1y2(1m2)y1y2(y1y2)m1(1m2)(2p)2pm21 2p13,解得 p2,抛物线 C 的方程为 y24x. (2)证明:由(1)知,点 M(1,0)是抛物线 C 的焦点, 所以|AB|x1x2pmy1my22p4m24, 又原点到直线 l 的距离为 d 1 1m2, 所以 S11 2 1 1m24(m 21)2 1m2, 又直线 l过点 M,且 ll, 所以 S221 1 m 22 1m2 m2 , 所以 1 S21 1 S22 1 41m2 m2 41m2 1 4,即 1 S21 1 S22为定值 2(2021贵州毕节
3、诊断性考试)如图,已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2,过其右焦点 F 与长轴垂直的 直线与椭圆在第一象限交于点 M,且|MF|3 2. (1)求椭圆 C 的方程; (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A,B,点 P 是椭圆上的动点,且点 P 与点 A,B 不重合,直线 PA,PB 与直线 x4 分别交于点 S,T,求证:以线段 ST 为直径的圆过定点 解:(1)由|MF|3 2,得 b2 a 3 2, 因为c a 1 2,且 a 2b2c2,所以 a2,c1,b 3, 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)证明:由题意,A(2,0),B(
4、2,0), 设 P(m,n),n0,则m 2 4 n 2 3 1,得 n234m 2 4 . 设直线 PA,PB 的斜率分别为 k1,k2,则 k1 n m2,k 2 n m2,所以 k 1k2 n2 m24 3 4k 2 3 4k1, 所以直线 PA:yk1(x2),直线 PB:y 3 4k1(x2), 所以 S(4,2k1),T 4, 9 2k1. 假设以线段 ST 为直径的圆过定点 Q(x0,y0), 由SQ TQ0,得(x04,y02k1) x04,y0 9 2k10,得 x20y208x0 2k1 9 2k1y070, 令 y00,得 x01 或 x07,经检验均符合题意, 所以以线
5、段 ST 为直径的圆过定点(1,0)和(7,0) 3(2021广东茂名综合测试)已知抛物线 C:x22py(p0)的焦点为 F,点 P(x0,y0)在抛物线 C 上,且满足|PF| y01. (1)求抛物线 C 的方程 (2)过抛物线 C 上的任意一点 M 作抛物线 C 的切线, 交抛物线 C 的准线于点 N.在 y 轴上是否存在一个定点 H, 使 以 MN 为直径的圆恒过 H?若存在,求出点 H 的坐标;若不存在,则说明理由 解:(1)由抛物线定义知|PF|y0p 2,又|PF|y 01,y0p 2y 01,解得 p2,抛物线 C 的方程为 x24y. (2)存在假设在 y 轴上存在一个定点
6、 H,使以 MN 为直径的圆恒过 H. 由(1)得抛物线 C 的方程为 y1 4x 2,准线方程为 y1. 依题意切线 MN 的斜率一定存在且不为 0,设切线 MN 的方程为 ykxb,设定点 H(0,t),M(x1,y1)(x10), N(a,1) y1 2x,切线斜率 k 1 2x 1. 又 kMNy11 x1a 1 4x 2 11 x1a ,kkMN, 1 2x 1 1 4x 2 11 x1a ,解得 ax1 2 2 x1. 以 MN 为直径的圆恒过定点 H 等价于 HMHN, HM (x1,y1t) x1,1 4x 2 1t , HN x1 2 2 x1,1t, HM HN x1 x1
7、 2 2 x1 1 4x 2 1t (1t)1 4(1t)x 2 1(t2t2)0 恒成立, 1t0 且 t2t20,解得 t1. 在 y 轴上存在一个定点 H(0,1),使以 MN 为直径的圆恒过 H. 4(2021重庆联考)已知椭圆 C:x 2 a2 y2 b21(ab0)的半焦距为 c,圆 O:x 2y2c2与椭圆 C 有且仅有两个公共 点,直线 y2 与椭圆 C 只有一个公共点 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)已知动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F,且与椭圆 C 交于 P,Q 两点,试问:x 轴上是否存在定点 R,使得RP RQ 为 定值?若存在,求出该定值和点 R 的坐标;若不
8、存在,请说明理由 解:(1)依题意,得 cb2,则 a2b2c2448, 故椭圆 C 的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. (2)x 轴上存在定点 R,使得RP RQ 为定值 当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 yk(x2), 代入椭圆 C 的方程,可得(2k21)x28k2x8k280,0.设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 则 x1x2 8k2 2k21,x 1x28k 28 2k21. 设 R(m,0),则RP RQ (x1m,y1)(x2m,y2) (x1m)(x2m)y1y2 (x1m)(x2m)k2x1x22(x1x2)4 (k21)8k 28 2k21 8k
9、22k2m 2k21 4k2m2 2m 28m4k2m28 2k21 . 若2m 28m4k2m28 2k21 为定值,则 m28 2m28m4 1 2,解得 m 5 2,此时RP RQ 7 4,点 R 的坐标为 5 2,0. 当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 的方程为 x2, 代入x 2 8 y 2 4 1,得 x2, y 2, 不妨设 P(2, 2),Q(2, 2),若 R 5 2,0,则RP 1 2, 2,RQ 1 2, 2,则RP RQ 7 4,符合题意综上所述,在 x 轴上存在定点 R 5 2,0,使得RP RQ 为定值7 4. 5(2021湖北黄冈模拟)已知 F1,F2分别为椭
10、圆 E:x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点,点 P 1,3 2 在椭圆上,且过 点 F2的直线 l 交椭圆于 A,B 两点,AF1B 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程 (2)我们知道抛物线有性质:“过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦 AB 满足|AF|BF|2 p|AF|BF|.”那么对于椭 圆 E,是否存在实数,使得|AF2|BF2|AF2|BF2|成立?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由 解:(1)根据椭圆的定义,可得|AF1|AF2|2a,|BF1|BF2|2a, AF1B 的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|4a8,得 a
11、2,椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 b21. 将 P 1,3 2 的坐标代入椭圆 E 的方程可得 b23,椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)存在由(1)可知 c2a2b2431,得 F2(1,0)依题意可知,当直线 l 的斜率为 0 时,|AF2|BF2|2a4, |AF2|BF2|(ac)(ac)a2c2b23,则|AF2|BF2| |AF2|BF2| 4 3. 当直线 l 的斜率不为 0 时,可设直线 l 的方程为 xmy1,A(x1,y1),B(x2,y2)由 x2 4 y 2 3 1, xmy1 消去 x,整 理得(3m24)y26my90,0, 则 y1y2
12、 6m 3m24,y 1y2 9 3m24, 不妨设 y10,y2b0)的离心率为 3 2 ,直线 y1 与椭圆 C 的两交点间 距离为 8. (1)求椭圆 C 的方程 (2)如图,设 R(x0,y0)是椭圆 C 上的一动点,由原点 O 向圆(xx0)2(yy0)24 引两条切线,分别交椭圆 C 于点 P,Q.若直线 OP,OQ 的斜率均存在,并分别记为 k1,k2,求证:k1k2为定值 (3)在(2)的条件下,试问|OP|2|OQ|2是否为定值?若是,求出该值;若不是,请说明理由 解:(1)椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 3 2 ,则 a24b2. 由直线 y1 与椭圆 C 两交点间
13、距离为 8 可知椭圆 C 过点(4,1), 代入椭圆方程 x2 4b2 y2 b21, 解得 b 25, 则 a220, 椭圆 C 的标准方程为 x2 20 y2 5 1. (2)证明:由题意可得,直线 OP:yk1x,直线 OQ:yk2x. 直线 OP 为圆 R 的切线,|k 1x0y0| k211 2, 即(x204)k212x0y0k1(y204)0. 同理可得(x204)k222x0y0k2(y204)0, k1,k2是方程(x204)k22x0y0k(y2 04)0 的两个不相等的实根,x2040,0,则 k1k2y 2 04 x204. 由 R(x0,y0)在椭圆上得 y2051
14、4x 2 0, k1k2y 2 04 x204 11 4x 2 0 x204 1 4, k1k2为定值1 4. (3)经判断|OP|2|OQ|2为定值 设 P(x1,y1),Q(x2,y2), 联立 yk1x, x2 20 y2 5 1, 解得 x21 20 14k21, y21 20k21 14k21, |OP|2x21y21201k 2 1 14k21 . 同理可得|OQ|2x22y22201k 2 2 14k22 . 由 k1k21 4得 k 2 1 4k1,则|OP| 2|OQ|2x2 1y21x22y22201k 2 1 14k21 201k 2 2 14k22 201k21 14k21 20 1 1 16k21 1 1 4k21 201k21 14k21 20 4k211 4 4k211 25100k 2 1 14k21 25, |OP|2|OQ|2为定值,定值为 25.
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