1、课时作业课时作业 62定点、定值、探究性问题定点、定值、探究性问题 1(2021广东六校联盟联考)已知 O 为坐标原点，过点 M(1,0)的直线 l 与抛物线 C：y22px(p0)交于 A，B 两点， 且OA OB 3. (1)求抛物线 C 的方程； (2)过点 M 作直线 ll 交抛物线 C 于 P，Q 两点，记OAB，OPQ 的面积分别为 S1，S2，证明： 1 S21 1 S22为定 值 解：(1)设直线 l 的方程为 xmy1，与抛物线 C：y22px(p0)联立，消去 x 得 y22pmy2p0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 y1y22pm，y1y22p， 由OA
2、OB 3，得 x1x2y1y2(my11)(my21)y1y2(1m2)y1y2(y1y2)m1(1m2)(2p)2pm21 2p13，解得 p2，抛物线 C 的方程为 y24x. (2)证明：由(1)知，点 M(1,0)是抛物线 C 的焦点， 所以|AB|x1x2pmy1my22p4m24， 又原点到直线 l 的距离为 d 1 1m2， 所以 S11 2 1 1m24(m 21)2 1m2， 又直线 l过点 M，且 ll， 所以 S221 1 m 22 1m2 m2 ， 所以 1 S21 1 S22 1 41m2 m2 41m2 1 4，即 1 S21 1 S22为定值 2(2021贵州毕节
3、诊断性考试)如图，已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 1 2，过其右焦点 F 与长轴垂直的 直线与椭圆在第一象限交于点 M，且|MF|3 2. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 C 的左、右顶点分别为 A，B，点 P 是椭圆上的动点，且点 P 与点 A，B 不重合，直线 PA，PB 与直线 x4 分别交于点 S，T，求证：以线段 ST 为直径的圆过定点 解：(1)由|MF|3 2，得 b2 a 3 2， 因为c a 1 2，且 a 2b2c2，所以 a2，c1，b 3， 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)证明：由题意，A(2,0)，B(
4、2,0)， 设 P(m，n)，n0，则m 2 4 n 2 3 1，得 n234m 2 4 . 设直线 PA，PB 的斜率分别为 k1，k2，则 k1 n m2，k 2 n m2，所以 k 1k2 n2 m24 3 4k 2 3 4k1， 所以直线 PA：yk1(x2)，直线 PB：y 3 4k1(x2)， 所以 S(4，2k1)，T 4， 9 2k1. 假设以线段 ST 为直径的圆过定点 Q(x0，y0)， 由SQ TQ0，得(x04，y02k1) x04，y0 9 2k10，得 x20y208x0 2k1 9 2k1y070， 令 y00，得 x01 或 x07，经检验均符合题意， 所以以线
5、段 ST 为直径的圆过定点(1,0)和(7,0) 3(2021广东茂名综合测试)已知抛物线 C：x22py(p0)的焦点为 F，点 P(x0，y0)在抛物线 C 上，且满足|PF| y01. (1)求抛物线 C 的方程 (2)过抛物线 C 上的任意一点 M 作抛物线 C 的切线， 交抛物线 C 的准线于点 N.在 y 轴上是否存在一个定点 H， 使 以 MN 为直径的圆恒过 H？若存在，求出点 H 的坐标；若不存在，则说明理由 解：(1)由抛物线定义知|PF|y0p 2，又|PF|y 01，y0p 2y 01，解得 p2，抛物线 C 的方程为 x24y. (2)存在假设在 y 轴上存在一个定点
6、 H，使以 MN 为直径的圆恒过 H. 由(1)得抛物线 C 的方程为 y1 4x 2，准线方程为 y1. 依题意切线 MN 的斜率一定存在且不为 0，设切线 MN 的方程为 ykxb，设定点 H(0，t)，M(x1，y1)(x10)， N(a，1) y1 2x，切线斜率 k 1 2x 1. 又 kMNy11 x1a 1 4x 2 11 x1a ，kkMN， 1 2x 1 1 4x 2 11 x1a ，解得 ax1 2 2 x1. 以 MN 为直径的圆恒过定点 H 等价于 HMHN， HM (x1，y1t) x1，1 4x 2 1t ， HN x1 2 2 x1，1t， HM HN x1 x1
7、 2 2 x1 1 4x 2 1t (1t)1 4(1t)x 2 1(t2t2)0 恒成立， 1t0 且 t2t20，解得 t1. 在 y 轴上存在一个定点 H(0,1)，使以 MN 为直径的圆恒过 H. 4(2021重庆联考)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的半焦距为 c，圆 O：x 2y2c2与椭圆 C 有且仅有两个公共 点，直线 y2 与椭圆 C 只有一个公共点 (1)求椭圆 C 的标准方程 (2)已知动直线 l 过椭圆 C 的左焦点 F，且与椭圆 C 交于 P，Q 两点，试问：x 轴上是否存在定点 R，使得RP RQ 为 定值？若存在，求出该定值和点 R 的坐标；若不
8、存在，请说明理由 解：(1)依题意，得 cb2，则 a2b2c2448， 故椭圆 C 的标准方程为x 2 8 y 2 4 1. (2)x 轴上存在定点 R，使得RP RQ 为定值 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 yk(x2)， 代入椭圆 C 的方程，可得(2k21)x28k2x8k280，0.设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 则 x1x2 8k2 2k21，x 1x28k 28 2k21. 设 R(m,0)，则RP RQ (x1m，y1)(x2m，y2) (x1m)(x2m)y1y2 (x1m)(x2m)k2x1x22(x1x2)4 (k21)8k 28 2k21 8k
9、22k2m 2k21 4k2m2 2m 28m4k2m28 2k21 . 若2m 28m4k2m28 2k21 为定值，则 m28 2m28m4 1 2，解得 m 5 2，此时RP RQ 7 4，点 R 的坐标为 5 2，0. 当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2， 代入x 2 8 y 2 4 1，得 x2， y 2， 不妨设 P(2， 2)，Q(2， 2)，若 R 5 2，0，则RP 1 2， 2，RQ 1 2， 2，则RP RQ 7 4，符合题意综上所述，在 x 轴上存在定点 R 5 2，0，使得RP RQ 为定值7 4. 5(2021湖北黄冈模拟)已知 F1，F2分别为椭
10、圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右焦点，点 P 1，3 2 在椭圆上，且过 点 F2的直线 l 交椭圆于 A，B 两点，AF1B 的周长为 8. (1)求椭圆 E 的方程 (2)我们知道抛物线有性质：“过抛物线 y22px(p0)的焦点 F 的弦 AB 满足|AF|BF|2 p|AF|BF|.”那么对于椭 圆 E，是否存在实数，使得|AF2|BF2|AF2|BF2|成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由 解：(1)根据椭圆的定义，可得|AF1|AF2|2a，|BF1|BF2|2a， AF1B 的周长为|AF1|BF1|AB|AF1|BF1|AF2|BF2|4a8，得 a
11、2，椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 b21. 将 P 1，3 2 的坐标代入椭圆 E 的方程可得 b23，椭圆 E 的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)存在由(1)可知 c2a2b2431，得 F2(1,0)依题意可知，当直线 l 的斜率为 0 时，|AF2|BF2|2a4， |AF2|BF2|(ac)(ac)a2c2b23，则|AF2|BF2| |AF2|BF2| 4 3. 当直线 l 的斜率不为 0 时，可设直线 l 的方程为 xmy1，A(x1，y1)，B(x2，y2)由 x2 4 y 2 3 1， xmy1 消去 x，整 理得(3m24)y26my90，0， 则 y1y2
12、 6m 3m24，y 1y2 9 3m24， 不妨设 y10，y2b0)的离心率为 3 2 ，直线 y1 与椭圆 C 的两交点间 距离为 8. (1)求椭圆 C 的方程 (2)如图，设 R(x0，y0)是椭圆 C 上的一动点，由原点 O 向圆(xx0)2(yy0)24 引两条切线，分别交椭圆 C 于点 P，Q.若直线 OP，OQ 的斜率均存在，并分别记为 k1，k2，求证：k1k2为定值 (3)在(2)的条件下，试问|OP|2|OQ|2是否为定值？若是，求出该值；若不是，请说明理由 解：(1)椭圆的离心率 ec a 1b 2 a2 3 2 ，则 a24b2. 由直线 y1 与椭圆 C 两交点间
13、距离为 8 可知椭圆 C 过点(4,1)， 代入椭圆方程 x2 4b2 y2 b21， 解得 b 25， 则 a220， 椭圆 C 的标准方程为 x2 20 y2 5 1. (2)证明：由题意可得，直线 OP：yk1x，直线 OQ：yk2x. 直线 OP 为圆 R 的切线，|k 1x0y0| k211 2， 即(x204)k212x0y0k1(y204)0. 同理可得(x204)k222x0y0k2(y204)0， k1，k2是方程(x204)k22x0y0k(y2 04)0 的两个不相等的实根，x2040，0，则 k1k2y 2 04 x204. 由 R(x0，y0)在椭圆上得 y2051
14、4x 2 0， k1k2y 2 04 x204 11 4x 2 0 x204 1 4， k1k2为定值1 4. (3)经判断|OP|2|OQ|2为定值 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 联立 yk1x， x2 20 y2 5 1， 解得 x21 20 14k21， y21 20k21 14k21， |OP|2x21y21201k 2 1 14k21 . 同理可得|OQ|2x22y22201k 2 2 14k22 . 由 k1k21 4得 k 2 1 4k1，则|OP| 2|OQ|2x2 1y21x22y22201k 2 1 14k21 201k 2 2 14k22 201k21 14k21 20 1 1 16k21 1 1 4k21 201k21 14k21 20 4k211 4 4k211 25100k 2 1 14k21 25， |OP|2|OQ|2为定值，定值为 25.
