1、 球的体积和表面积 陕西省西安市铁一中学 梅颖颖 球体无处不在! 已知标准篮球的直径为24.6厘米,则制作和使用 篮球往往需要考虑: (1)制成一个篮球需要多少皮革? (2)充满一个篮球需要多少气体? 如何计算球的表面积? 如何计算球的体积? 课前探究任务 请你观察一下生活中常见的球形物体,尝试测请你观察一下生活中常见的球形物体,尝试测 出其体积,你发现了什么规律?出其体积,你发现了什么规律? 回顾:球体的定义回顾:球体的定义 回顾:球体的定义回顾:球体的定义 探究一 已知半球的半径为R,圆柱和圆锥的底面半径为R,高也为R. (1)请观察一下这三个几何体的体积之间有什么大小关系? (2)设圆柱
2、的体积为V,试猜想半球的体积为多少? 请各小组用实验的方法验证你的猜想是否正确. 祖暅原理祖暅原理 祖冲之祖冲之祖暅(祖暅(genggeng) 幂势即同 积不容异 祖暅,字景烁,是著名数学祖暅,字景烁,是著名数学 家祖冲之的儿子,也是南北朝时家祖冲之的儿子,也是南北朝时 代的伟大科学家。他于代的伟大科学家。他于5 5世纪末提世纪末提 出祖暅原理。在欧洲直到出祖暅原理。在欧洲直到1717世纪世纪 ,才有意大利数学家卡瓦列里提,才有意大利数学家卡瓦列里提 出相关结论,比西方国家的数学出相关结论,比西方国家的数学 家早一千多年。家早一千多年。 祖暅原理祖暅原理 祖暅原理:夹在两个平行平面之间的两个几
3、何体(它们的形状可以不同), 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这 两个几何体的体积一定相等。 祖冲之父子是我们中祖冲之父子是我们中 华民族的骄傲和自豪!华民族的骄傲和自豪! R 探究二探究二 用平行于半球底面且与半球底面的距离为h的平面去截两个几何体,所 截得的面积分别为S1,S2,试用R和h表示S1,S2,并说明它们有什么关系。 3 4 3 VR 球 半径为半径为R的球的体积的球的体积 O R 割之弥细,失之弥少 割之又割,以至于不可割 则与圆合体,而无所失矣 刘徽割圆术刘徽割圆术 学生活动:切橙子学生活动:切橙子 把半球分割成n个薄片 把半球分割成n
4、个薄片 把半球分割成n个薄片 分割取近似求和取极限 探究三 O i S i V i h o 球的体积V可以如何表示?试着推导出球的表面积公式. 分割越细密,即n越大,每一片的顶点 和球心的连线构成的几何体接近什么 几何体?其体积Vi可以如何近似求解? 请列式表示出来. 经线圈和纬线圈将球面分割成n片,这 n片的面积分别记为S1, S2, Sn,球的 表面积S与S1, S2, Sn有什么关系? 都是以R为自变量的函数 已知标准篮球的直径为24.6厘米,请大家计算篮 球的表面积和体积。 例题:如图,一个圆锥形的空杯子上面放着一 个半球形的冰淇淋,如果冰淇淋融化了,会溢出杯 子吗?(假设冰淇淋融化前
5、后体积不变) 12 cm 4 cm 课堂小结 通过本节课的学习,你有什么体会和收获呢? 作业布置 p 必做题必做题:课本课本 P29 习题习题1.3 B组组 第第1题题; p 思考题思考题: 1. 1. 请查阅资料,试着用微积分的方法推导球的体积公式。你还请查阅资料,试着用微积分的方法推导球的体积公式。你还 能想到别的推导球的体积和表面积的方法吗?能想到别的推导球的体积和表面积的方法吗? 2. 2. (1 1)把钢球放入一个正方体的有盖)把钢球放入一个正方体的有盖 纸盒中,已知正方体的棱长为纸盒中,已知正方体的棱长为a,a,求钢球求钢球 的最大半径为多少的最大半径为多少? ? (2 2)正方体的各个顶点都在一个球)正方体的各个顶点都在一个球 的球面上,已知正方体的棱长为的球面上,已知正方体的棱长为a a,求,求 该球的半径为多少该球的半径为多少? ? 陕西省西安市铁一中学 梅颖颖 谢谢大家