1、 球的体积和表面积 陕西省西安市铁一中学 梅颖颖 球体无处不在！ 已知标准篮球的直径为24.6厘米，则制作和使用 篮球往往需要考虑： （1）制成一个篮球需要多少皮革？ （2）充满一个篮球需要多少气体？ 如何计算球的表面积？ 如何计算球的体积？ 课前探究任务 请你观察一下生活中常见的球形物体，尝试测请你观察一下生活中常见的球形物体，尝试测 出其体积，你发现了什么规律？出其体积，你发现了什么规律？ 回顾：球体的定义回顾：球体的定义 回顾：球体的定义回顾：球体的定义 探究一 已知半球的半径为R，圆柱和圆锥的底面半径为R，高也为R. （1）请观察一下这三个几何体的体积之间有什么大小关系？ （2）设圆柱
2、的体积为V，试猜想半球的体积为多少？ 请各小组用实验的方法验证你的猜想是否正确. 祖暅原理祖暅原理 祖冲之祖冲之祖暅（祖暅（genggeng） 幂势即同 积不容异 祖暅，字景烁，是著名数学祖暅，字景烁，是著名数学 家祖冲之的儿子，也是南北朝时家祖冲之的儿子，也是南北朝时 代的伟大科学家。他于代的伟大科学家。他于5 5世纪末提世纪末提 出祖暅原理。在欧洲直到出祖暅原理。在欧洲直到1717世纪世纪 ，才有意大利数学家卡瓦列里提，才有意大利数学家卡瓦列里提 出相关结论，比西方国家的数学出相关结论，比西方国家的数学 家早一千多年。家早一千多年。 祖暅原理祖暅原理 祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几
3、何体（它们的形状可以不同）, 被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面(阴影部分)的面积都相等,那么这 两个几何体的体积一定相等。 祖冲之父子是我们中祖冲之父子是我们中 华民族的骄傲和自豪！华民族的骄傲和自豪！ R 探究二探究二 用平行于半球底面且与半球底面的距离为h的平面去截两个几何体，所 截得的面积分别为S1，S2，试用R和h表示S1，S2，并说明它们有什么关系。 3 4 3 VR 球 半径为半径为R的球的体积的球的体积 O R 割之弥细，失之弥少 割之又割，以至于不可割 则与圆合体，而无所失矣 刘徽割圆术刘徽割圆术 学生活动：切橙子学生活动：切橙子 把半球分割成n个薄片 把半球分割成n
4、个薄片 把半球分割成n个薄片 分割取近似求和取极限 探究三 O i S i V i h o 球的体积V可以如何表示？试着推导出球的表面积公式. 分割越细密，即n越大，每一片的顶点 和球心的连线构成的几何体接近什么 几何体？其体积Vi可以如何近似求解？ 请列式表示出来. 经线圈和纬线圈将球面分割成n片，这 n片的面积分别记为S1, S2, Sn，球的 表面积S与S1, S2, Sn有什么关系？ 都是以R为自变量的函数 已知标准篮球的直径为24.6厘米，请大家计算篮 球的表面积和体积。 例题：如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一 个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯 子吗？（假设冰淇淋融化前
5、后体积不变） 12 cm 4 cm 课堂小结 通过本节课的学习，你有什么体会和收获呢？ 作业布置 p 必做题必做题：课本课本 P29 习题习题1.3 B组组 第第1题题； p 思考题思考题： 1. 1. 请查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式。你还请查阅资料，试着用微积分的方法推导球的体积公式。你还 能想到别的推导球的体积和表面积的方法吗？能想到别的推导球的体积和表面积的方法吗？ 2. 2. （1 1）把钢球放入一个正方体的有盖）把钢球放入一个正方体的有盖 纸盒中，已知正方体的棱长为纸盒中，已知正方体的棱长为a,a,求钢球求钢球 的最大半径为多少的最大半径为多少? ? （2 2）正方体的各个顶点都在一个球）正方体的各个顶点都在一个球 的球面上，已知正方体的棱长为的球面上，已知正方体的棱长为a a，求，求 该球的半径为多少该球的半径为多少? ? 陕西省西安市铁一中学 梅颖颖 谢谢大家
