（步步高 高中理科数学 教学资料）9.9圆锥曲线的综合问题 第1课时.docx

1、9.9圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 最新考纲考情考向分析 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的 思想方法 2.了解圆锥曲线的简单应用 3.理解数形结合的思想. 以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置 关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、 对称、存在性问题题型主要以解答题形式 出现，属于中高档题. 1直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc 0(或 ay2byc0) (1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式，有 0直线与圆锥曲线相交； 0直线与圆锥曲线相切； 0)上，且直线 AB 过抛物线的焦点，

2、则 y1y2 p2.() 题组二教材改编 2P71 例 6过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有() A1 条B2 条 C3 条D4 条 答案C 解析过(0,1)与抛物线 y24x 相切的直线有 2 条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三 条直线与抛物线都只有一个公共点 3 P80A 组 T8已知与向量 v(1,0)平行的直线 l 与双曲线x 2 4 y21 相交于 A， B 两点， 则|AB| 的最小值为_ 答案4 解析由题意可设直线 l 的方程为 ym， 代入x 2 4 y21 得 x24(1m2)， 所以 x1 41m22 1m2， x22 1

3、m2， 所以|AB|x1x2|4 1m24， 即当 m0 时，|AB|有最小值 4. 题组三易错自纠 4过抛物线 y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于 2， 则这样的直线() A有且只有一条B有且只有两条 C有且只有三条D有且只有四条 答案B 解析设该抛物线的焦点为 F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAp 2x Bp 2x A xB132p2. 所以符合条件的直线有且只有两条 5(2017江西省南昌市三模)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 点，且F1PF2 4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值

4、为_ 答案 6已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x 22py(p0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c， 且|FA|c， 则双曲线的渐近线方程为_ 答案yx 解析抛物线的准线方程为 yp 2，焦点为 F 0，p 2 ， a2 p 2 2c2. 设抛物线的准线 yp 2交双曲线于 M x1，p 2 ，N x2，p 2 两点， yp 2， x2 a2 y2 b21， 即x 2 a2 p 2 2 b2 1，解得 xa p2 4b21， 2a p2 4b212c. 又b2c2a2， 由，得c 2 a22. b 2 a2 c2 a

5、211，解得 b a1. 双曲线的渐近线方程为 yx. 第第 1 课时课时范围、最值问题范围、最值问题 题型一题型一范围问题范围问题 典例 (2016天津)设椭圆x 2 a2 y2 3 1(a 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|，其 中 O 为原点，e 为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴 交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围 解(1)设 F(c,0)，由 1 |OF| 1 |OA| 3e |F

6、A|， 即1 c 1 a 3c aac，可得 a 2c23c2. 又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24. 所以椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线 l 的斜率为 k(k0)， 则直线 l 的方程为 yk(x2) 设 B(xB，yB)，由方程组 x2 4 y 2 3 1， ykx2 消去 y， 整理得(4k23)x216k2x16k2120. 解得 x2 或 x8k 26 4k23. 由题意得 xB8k 26 4k23，从而 y B 12k 4k23. 由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)， 有FH (1，yH)，BF 94k2 4k23， 12k 4k23

7、. 由 BFHF，得BF FH 0， 所以4k 29 4k23 12kyH 4k230，解得 y H94k 2 12k . 因此直线 MH 的方程为 y1 kx 94k2 12k . 设 M(xM，yM)，由方程组 ykx2， y1 kx 94k2 12k ， 消去 y，解得 xM 20k29 12k21. 在MAO 中，由MOAMAO，得|MA|MO|， 即(xM2)2y2Mx2My2M， 化简，得 xM1，即 20k29 12k211， 解得 k 6 4 或 k 6 4 . 所以直线 l 的斜率的取值范围为 ， 6 4 6 4 ， . 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面

8、 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围 (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取 值范围 跟踪训练 (2018开封质检)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)与双曲线 x2 3 y21 的离心率互为倒 数，且直线 xy20 经过椭圆的右顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设不过原点 O 的直

9、线与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比 数列，求OMN 面积的取值范围 解(1)双曲线的离心率为2 3 3 ， 椭圆的离心率 ec a 3 2 . 又直线 xy20 经过椭圆的右顶点， 右顶点为点(2,0)，即 a2，c 3，b1， 椭圆方程为x 2 4 y21. (2)由题意可设直线的方程为 ykxm(k0，m0)， M(x1，y1)，N(x2，y2) 联立 ykxm， x2 4 y21， 消去 y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0， 则 x1x2 8km 14k2，x 1x24m 21 14k2 ， 于是 y1y2(kx1m)(kx2m)

10、 k2x1x2km(x1x2)m2. 又直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比数列， 故y1 x1 y2 x2 k2x1x2kmx1x2m2 x1x2 k2， 则 8k2m2 14k2m 20. 由 m0 得 k21 4，解得 k 1 2. 又由64k2m216(14k2)(m21) 16(4k2m21)0，得 0m22， 显然 m21(否则 x1x20，x1，x2中至少有一个为 0，直线 OM，ON 中至少有一个斜率不存在， 与已知矛盾) 设原点 O 到直线的距离为 d， 则 SOMN1 2|MN|d 1 2 1k 2|x1x2| |m| 1k2 1 2|m| x 1x224x1x2 m2

11、121. 故由 m 的取值范围可得OMN 面积的取值范围为(0,1) 题型二题型二最值问题最值问题 命题点 1利用三角函数有界性求最值 典例 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则|AF|BF| 的最小值是() A2B. 2C4D2 2 答案C 解析设直线 AB 的倾斜角为，可得|AF| 2 1cos ，|BF| 2 1cos ，则|AF|BF| 2 1cos 2 1cos 4 sin24. 命题点 2数形结合利用几何性质求最值 典例 在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点若点 P 到直线 x y10 的距离大于

12、 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_ 答案 2 2 解析双曲线 x2y21 的渐近线为 xy0，直线 xy10 与渐近线 xy0 平行，故两 平行线的距离d |10| 1212 2 2 .由点 P到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立， 得 c 2 2 ， 故 c 的最大值为 2 2 . 命题点 3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 典例 (2017山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，焦 距为 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)如图，动直线 l：yk1x 3 2 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上

13、一点，直线 OC 的斜率 为 k2，且 k1k2 2 4 .M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|AB|23，M 的半径为|MC|， OS，OT 是M 的两条切线，切点分别为 S，T.求SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率 解(1)由题意知 ec a 2 2 ，2c2，所以 c1， 所以 a 2，b1， 所以椭圆 E 的方程为x 2 2 y21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 x2 2 y21， yk1x 3 2 ， 得(4k212)x24 3k1x10. 由题意知0， 且 x1x2 2 3k1 2k211，x 1x2 1 22k211， 所以|A

14、B| 1k21|x1x2| 2 1k2118k21 12k21 . 由题意可知，圆 M 的半径 r 为 r2 3|AB| 2 2 3 1k2118k21 2k211 ， 由题设知 k1k2 2 4 ，所以 k2 2 4k1， 因此直线 OC 的方程为 y 2 4k1x. 联立方程 x2 2 y21， y 2 4k1x， 得 x2 8k21 14k21，y 2 1 14k21， 因此|OC| x2y2 18k21 14k21. 由题意可知，sinSOT 2 r r|OC| 1 1|OC| r . 而|OC| r 18k21 14k21 2 2 3 1k2118k21 12k21 3 2 4 12

15、k21 14k211k21， 令 t12k21，则 t1，1 t(0,1)， 因此|OC| r 3 2 t 2t2t1 3 2 1 21 t 1 t2 3 2 1 1 t 1 2 29 4 1， 当且仅当1 t 1 2，即 t2 时等号成立，此时 k 1 2 2 ， 所以 sin SOT 2 1 2，因此 SOT 2 6， 所以SOT 的最大值为 3. 综上所述，SOT 的最大值为 3，取得最大值时直线 l 的斜率为 k 1 2 2 . 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何 法，即通过利用曲线的定义、几何性质

16、以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用 代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用 函数方法、不等式方法等进行求解 跟踪训练(2018邢台模拟)已知椭圆x 2 2 y21 上两个不同的点 A，B 关于 直线 ymx1 2对称 (1)求实数 m 的取值范围； (2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) 解(1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 y1 mxb.由 x2 2 y21， y1 mxb， 消去 y，得 1 2 1 m2x22b m xb210. 因为直线 y1 mxb 与椭圆 x2 2 y21 有两个不同的交点，所以2b22

17、 4 m20， 将 AB 的中点 M 2mb m22， m2b m22 代入直线方程 ymx1 2，解得 b m22 2m2 ， 由得 m 6 3 或 m 6 3 . (2)令 t1 m 6 2 ，0 0， 6 2 ，则 t2 0，3 2 . 则|AB| t21 2t42t23 2 t21 2 ， 且 O 到直线 AB 的距离为 d t21 2 t21 . 设AOB 的面积为 S(t)， 所以 S(t)1 2|AB|d 1 2 2 t21 2 22 2 2 ， 当且仅当 t21 2时，等号成立，此时满足 t 2 0，3 2 . 故AOB 面积的最大值为 2 2 . 1(2017河北武邑中学模拟

18、)已知 P(x0，y0)是椭圆 C：x 2 4 y21 上的一点，F1，F2是 C 的两 个焦点，若PF1 PF2 0，则 x0的取值范围是() A. 2 6 3 ，2 6 3B. 2 3 3 ，2 3 3 C. 3 3 ， 3 3D. 6 3 ， 6 3 答案A 解析由题意可知：F1( 3，0)，F2( 3，0)， 则PF1 PF2 (x0 3)(x0 3)y20 x20y2030， 点 P 在椭圆上，则 y201x 2 0 4 ， 故 x20 1x 2 0 4 30，解得2 6 3 x02 6 3 ， 即 x0的取值范围是 2 6 3 ，2 6 3. 2斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2

19、 4 y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为() A2B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 答案C 解析设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt， 由 x24y24， yxt， 消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x28 5t，x 1x24t 21 5 . |AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 2 8 5t 244t 21 5 4 2 5 5t2， 当 t0 时，|AB|max4 10 5 . 3过抛物线 y2x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且直线 l 的倾斜角

20、 4，点 A 在 x 轴上方，则|FA|的取值范围是() A. 1 4，1B. 1 4， C. 1 2，D. 1 4，1 2 2 答案D 解析记点 A 的横坐标是 x1，则有|AF|x11 4 1 4|AF|cos 1 4 1 2|AF|cos ， |AF|(1cos )1 2，|AF| 1 21cos . 由 4得1cos 2 2 ，2 22(1cos )4，1 40，b0)的左、右焦点，对于左支 上任意一点 P 都有|PF2|28a|PF1|(a 为实半轴长)， 则此双曲线的离心率 e 的取值范围是() A(1，)B(2,3 C(1,3D(1,2 答案C 解析由 P 是双曲线左支上任意一点

21、及双曲线的定义， 得|PF2|2a|PF1|， 所以|PF2| 2 |PF1| |PF1| 4a2 |PF1|4a8a， 所以|PF1|2a，|PF2|4a， 在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|， 即 2a4a2c，所以 ec a3. 又 e1，所以 10)上任 意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为() A. 2 2 B.2 3 C. 3 3 D1 答案A 解析由题意可得 F p 2，0，设 P y20 2p，y 0 (y00)， 则OM OF FM OF 1 3FP OF 1 3(OP OF ) 1 3OP 2 3OF y20 6p

22、 p 3， y0 3 ， 可得 k y0 3 y20 6p p 3 1 y0 2p p y0 1 2 y0 2p p y0 2 2 . 当且仅当y0 2p p y0时取得等号，故选 A. 6(2017九江模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x24y，点 P 是 C 的准线 l 上的动点，过点 P 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则AOB 面积的最小值为() A. 2B2C2 2D4 答案B 解析设 P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又 A，B 在抛物线上，所以 y1x 2 1 4 ，y2x 2 2 4 . 因为 yx 2，则过点 A，B 的切线分别为

23、 y x21 4 x1 2 (xx1)， yx 2 2 4 x2 2 (xx2)均过点 P(x0，1)， 则1x 2 1 4 x1 2 (x0 x1)，1x 2 2 4 x2 2 (x0 x2)，即 x1，x2是方程1x 2 4 x 2(x 0 x)的两根，则 x1 x22x0， x1x24， 设直线 AB 的方程为 ykxb， 联立 x24y， ykxb， 得 x24kx4b0， 则 x1x24b4， 即 b1，|AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 1k2 4x2016， O 到直线 AB 的距离 d b k21， 则 SAOB1 2|AB|d x 2 042， 即AO

24、B 的面积的最小值为 2，故选 B. 7(2017泉州质检)椭圆 C：x 2 a2y 21(a1)的离心率为 3 2 ，F1，F2是 C 的两个焦点，过 F1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，则|AF2|BF2|的最大值等于_ 答案7 解析因为椭圆 C 的离心率为 3 2 ，所以 a21 a 3 2 ，解得 a2，由椭圆定义得|AF2|BF2| |AB|4a8， 即|AF2|BF2|8|AB|， 而由焦点弦性质，知当 ABx 轴时，|AB|取最小值 2b 2 a 1，因此|AF2|BF2|的最大值等于 817. 8(2018 届贵州黔东南州联考)定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物

25、线 y2x 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，则点 P 到 y 轴距离的最小值为_ 答案 7 4 解析设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线 y2x 的焦点为 F 1 4，0，抛物线的准线为 x1 4， 所求的距离 d| x1x2 2 |x1 1 4x 21 4 2 1 4 |MF|NF| 2 1 4，所以 |MF|NF| 2 1 4 |MN| 2 1 4 7 4(两边之和大于第三边且 M，N，F 三点共线时取等号) 9(2017泉州模拟)椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆的右焦点 F2作一条直 线 l 交椭圆于 P，Q 两点，则F1PQ 的内

26、切圆面积的最大值是_ 答案 9 16 解析令直线 l：xmy1，与椭圆方程联立消去 x，得(3m24)y26my90，可设 P(x1， y1)，Q(x2，y2)，则 y1y2 6m 3m24，y 1y2 9 3m24. 可知 1 F PQ S1 2|F 1F2|y1y2| y1y224y1y212 m21 3m242， 又 m21 3m242 1 9m21 1 m216 1 16， 故 1 F PQ S3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长 l 4a8，则内切圆半径 r 1 2 8 F PQ S 3 4，其面积最大值为 9 16. 10(2018日照模拟)若点

27、 O 和点 F 分别为椭圆x 2 9 y 2 8 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的 任意一点，则OP FP 的最小值为_ 答案6 解析点 P 为椭圆x 2 9 y 2 8 1 上的任意一点， 设 P(x，y)(3x3，2 2y2 2)， 由题意得左焦点 F(1,0)， OP (x，y)，FP (x1，y)， OP FP x(x1)y2x2x728x2 9 1 9 x9 2 223 4 . 3x3，3 2x 9 2 15 2 ， 9 4 x9 2 2225 4 ， 1 4 1 9 x9 2 225 4 ， 61 9 x9 2 223 4 12， 即 6OP FP 12.故最小值为 6. 1

28、1已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的 最小值 解(1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 2 1， 所以 a24，b22，从而 c2a2b22， 因此 a2，c 2. 故椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . (2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x00. 因为 OAOB，所以OA OB 0， 即 tx02y00，解得 t2y0 x0 . 又 x202y204， 所以|AB|2(x0t)2(y02)2 x02y0 x

29、0 2(y02)2x2 0y204y 2 0 x20 4 x204x 2 0 2 24x 2 0 x20 4 x 2 0 2 8 x204(0 x 2 04) 因为x 2 0 2 8 x204(0b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2：x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点分别为 F 3，F4，离心率为 e2.已知 e1e2 3 2 ，且|F2F4| 31. (1)求 C1，C2的方程； (2)过 F1作 C1的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为弦 AB 的中点，当直线 OM 与 C2交于 P，Q 两点 时，求四边形 APBQ 面积的最小值 解(1)因为 e1e2

30、 3 2 ， 所以 a2b2 a a2b2 a 3 2 ， 即 a4b43 4a 4， 因此 a22b2， 从而 F2(b,0)， F4( 3b,0)，于是3bb|F2F4| 31，所以 b1，a22. 故 C1，C2的方程分别为x 2 2 y21，x 2 2 y21. (2)因为 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(1,0)， 故可设直线 AB 的方程为 xmy1. 由 xmy1， x2 2 y21， 得(m22)y22my10. 易知此方程的判别式大于 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1，y2是上述方程的两个实根， 所以 y1y2 2m m22，y 1y2 1 m2

31、2. 因此 x1x2m(y1y2)2 4 m22， 于是 AB 的中点为 M 2 m22， m m22 ， 故直线 PQ 的斜率为m 2，PQ 的方程为 y m 2x， 即 mx2y0. 由 ym 2x， x2 2 y21， 得(2m2)x24， 所以 2m20，且 x2 4 2m2，y 2 m2 2m2， 从而|PQ|2 x2y22 m24 2m2. 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d， 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d， 所以 2d|mx 12y1|mx22y2| m24 . 因为点 A，B 在直线 mx2y0 的异侧， 所以(mx12y1)(mx22y2)0， 于是|mx12y1

32、|mx22y2| |mx12y1mx22y2|， 从而 2dm 22|y1y2| m24 . 又因为|y1y2| y1y224y1y2 2 2 1m 2 m22 ， 所以 2d2 2 1m 2 m24 . 故四边形 APBQ 的面积 S1 2|PQ|2d 2 2 1m 2 2m2 2 21 3 2m2. 而 00，b0)的一条渐近线与抛物线 y 2x 的一个 交点的横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是() A. 1， 6 2B( 2，) C(1， 2)D. 6 2 ， 答案C 解析不妨联立 yb ax 与 y 2x，消去 y 得b2 a2x 2x，由 x01，知

33、b2 a21，即 c2a2 a2 1，故 e21，所以 1e0，b0)的右顶点为 A，与 x 轴平行的直线 交于 B，C 两点，记BAC，若的离心率为 2，则() A 0， 2B 2 C 3 4 ， D3 4 答案B 解析ec a 2，c 2a，b 2c2a2a2， 双曲线方程可变形为 x2y2a2.设 B(x0，y0)，由对称性可知 C(x0，y0)，点 B(x0，y0)在 双曲线上， x20y20a2.A(a,0)，AB (x 0a，y0)，AC (x 0a，y0)，AB AC (x0a)(x0a) y20a2x20y200，AB AC，即 2.故选 B. 16(2017郑州质检)已知椭圆 C1： x2 m2 y2 n 1 与双曲线 C2：x 2 m y2 n 1 有相同的焦点，则椭 圆 C1的离心率 e1的取值范围为_ 答案 2 2 ，1 解析椭圆 C1： x2 m2 y2 n 1， a21m2，b21n，c21m2n， e21m2n m2 1 n m2. 双曲线 C2：x 2 m y2 n 1， a22m，b22n，c22mn， 由条件知 m2nmn，则 n1， e211 1 m2. 由 m0 得 m22， 1 m2 1 2， 1 1 m2 1 2，即 e 2 11 2，而 0e 11， 2 2 e11.