1、9.9圆锥曲线的综合问题圆锥曲线的综合问题 最新考纲考情考向分析 1.掌握解决直线与椭圆、 抛物线的位置关系的 思想方法 2.了解圆锥曲线的简单应用 3.理解数形结合的思想. 以考查直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置 关系为背景，主要涉及弦长、中点、面积、 对称、存在性问题题型主要以解答题形式 出现，属于中高档题. 1直线与圆锥曲线的位置关系的判断 将直线方程与圆锥曲线方程联立，消去一个变量得到关于 x(或 y)的一元方程：ax2bxc 0(或 ay2byc0) (1)若 a0，可考虑一元二次方程的判别式，有 0直线与圆锥曲线相交； 0直线与圆锥曲线相切； 0)上，且直线 AB 过抛物线的焦点，
2、则 y1y2 p2.() 题组二教材改编 2P71 例 6过点(0,1)作直线，使它与抛物线 y24x 仅有一个公共点，这样的直线有() A1 条B2 条 C3 条D4 条 答案C 解析过(0,1)与抛物线 y24x 相切的直线有 2 条，过(0,1)与对称轴平行的直线有一条，这三 条直线与抛物线都只有一个公共点 3 P80A 组 T8已知与向量 v(1,0)平行的直线 l 与双曲线x 2 4 y21 相交于 A， B 两点， 则|AB| 的最小值为_ 答案4 解析由题意可设直线 l 的方程为 ym， 代入x 2 4 y21 得 x24(1m2)， 所以 x1 41m22 1m2， x22 1
3、m2， 所以|AB|x1x2|4 1m24， 即当 m0 时，|AB|有最小值 4. 题组三易错自纠 4过抛物线 y22x 的焦点作一条直线与抛物线交于 A，B 两点，它们的横坐标之和等于 2， 则这样的直线() A有且只有一条B有且只有两条 C有且只有三条D有且只有四条 答案B 解析设该抛物线的焦点为 F，A(xA，yA)，B(xB，yB)，则|AB|AF|FB|xAp 2x Bp 2x A xB132p2. 所以符合条件的直线有且只有两条 5(2017江西省南昌市三模)已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共 点，且F1PF2 4，则椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值
4、为_ 答案 6已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的焦距为 2c，右顶点为 A，抛物线 x 22py(p0)的焦点为 F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为 2c， 且|FA|c， 则双曲线的渐近线方程为_ 答案yx 解析抛物线的准线方程为 yp 2，焦点为 F 0，p 2 ， a2 p 2 2c2. 设抛物线的准线 yp 2交双曲线于 M x1，p 2 ，N x2，p 2 两点， yp 2， x2 a2 y2 b21， 即x 2 a2 p 2 2 b2 1，解得 xa p2 4b21， 2a p2 4b212c. 又b2c2a2， 由，得c 2 a22. b 2 a2 c2 a
5、211，解得 b a1. 双曲线的渐近线方程为 yx. 第第 1 课时课时范围、最值问题范围、最值问题 题型一题型一范围问题范围问题 典例 (2016天津)设椭圆x 2 a2 y2 3 1(a 3)的右焦点为 F，右顶点为 A.已知 1 |OF| 1 |OA| 3e |FA|，其 中 O 为原点，e 为椭圆的离心率 (1)求椭圆的方程； (2)设过点 A 的直线 l 与椭圆交于点 B(B 不在 x 轴上)，垂直于 l 的直线与 l 交于点 M，与 y 轴 交于点 H.若 BFHF，且MOAMAO，求直线 l 的斜率的取值范围 解(1)设 F(c,0)，由 1 |OF| 1 |OA| 3e |F
6、A|， 即1 c 1 a 3c aac，可得 a 2c23c2. 又 a2c2b23，所以 c21，因此 a24. 所以椭圆的方程为x 2 4 y 2 3 1. (2)设直线 l 的斜率为 k(k0)， 则直线 l 的方程为 yk(x2) 设 B(xB，yB)，由方程组 x2 4 y 2 3 1， ykx2 消去 y， 整理得(4k23)x216k2x16k2120. 解得 x2 或 x8k 26 4k23. 由题意得 xB8k 26 4k23，从而 y B 12k 4k23. 由(1)知，F(1,0)，设 H(0，yH)， 有FH (1，yH)，BF 94k2 4k23， 12k 4k23
7、. 由 BFHF，得BF FH 0， 所以4k 29 4k23 12kyH 4k230，解得 y H94k 2 12k . 因此直线 MH 的方程为 y1 kx 94k2 12k . 设 M(xM，yM)，由方程组 ykx2， y1 kx 94k2 12k ， 消去 y，解得 xM 20k29 12k21. 在MAO 中，由MOAMAO，得|MA|MO|， 即(xM2)2y2Mx2My2M， 化简，得 xM1，即 20k29 12k211， 解得 k 6 4 或 k 6 4 . 所以直线 l 的斜率的取值范围为 ， 6 4 6 4 ， . 思维升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面
8、 (1)利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围 (2)利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系 (3)利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围 (4)利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围 (5)利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取 值范围 跟踪训练 (2018开封质检)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)与双曲线 x2 3 y21 的离心率互为倒 数，且直线 xy20 经过椭圆的右顶点 (1)求椭圆 C 的标准方程； (2)设不过原点 O 的直
9、线与椭圆 C 交于 M，N 两点，且直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比 数列，求OMN 面积的取值范围 解(1)双曲线的离心率为2 3 3 ， 椭圆的离心率 ec a 3 2 . 又直线 xy20 经过椭圆的右顶点， 右顶点为点(2,0)，即 a2，c 3，b1， 椭圆方程为x 2 4 y21. (2)由题意可设直线的方程为 ykxm(k0，m0)， M(x1，y1)，N(x2，y2) 联立 ykxm， x2 4 y21， 消去 y，并整理得(14k2)x28kmx4(m21)0， 则 x1x2 8km 14k2，x 1x24m 21 14k2 ， 于是 y1y2(kx1m)(kx2m)
10、 k2x1x2km(x1x2)m2. 又直线 OM，MN，ON 的斜率依次成等比数列， 故y1 x1 y2 x2 k2x1x2kmx1x2m2 x1x2 k2， 则 8k2m2 14k2m 20. 由 m0 得 k21 4，解得 k 1 2. 又由64k2m216(14k2)(m21) 16(4k2m21)0，得 0m22， 显然 m21(否则 x1x20，x1，x2中至少有一个为 0，直线 OM，ON 中至少有一个斜率不存在， 与已知矛盾) 设原点 O 到直线的距离为 d， 则 SOMN1 2|MN|d 1 2 1k 2|x1x2| |m| 1k2 1 2|m| x 1x224x1x2 m2
11、121. 故由 m 的取值范围可得OMN 面积的取值范围为(0,1) 题型二题型二最值问题最值问题 命题点 1利用三角函数有界性求最值 典例 过抛物线 y24x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A，B 两点，点 O 是坐标原点，则|AF|BF| 的最小值是() A2B. 2C4D2 2 答案C 解析设直线 AB 的倾斜角为，可得|AF| 2 1cos ，|BF| 2 1cos ，则|AF|BF| 2 1cos 2 1cos 4 sin24. 命题点 2数形结合利用几何性质求最值 典例 在平面直角坐标系 xOy 中，P 为双曲线 x2y21 右支上的一个动点若点 P 到直线 x y10 的距离大于
12、 c 恒成立，则实数 c 的最大值为_ 答案 2 2 解析双曲线 x2y21 的渐近线为 xy0，直线 xy10 与渐近线 xy0 平行，故两 平行线的距离d |10| 1212 2 2 .由点 P到直线 xy10 的距离大于 c 恒成立， 得 c 2 2 ， 故 c 的最大值为 2 2 . 命题点 3转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 典例 (2017山东)在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率为 2 2 ，焦 距为 2. (1)求椭圆 E 的方程； (2)如图，动直线 l：yk1x 3 2 交椭圆 E 于 A，B 两点，C 是椭圆 E 上
13、一点，直线 OC 的斜率 为 k2，且 k1k2 2 4 .M 是线段 OC 延长线上一点，且|MC|AB|23，M 的半径为|MC|， OS，OT 是M 的两条切线，切点分别为 S，T.求SOT 的最大值，并求取得最大值时直线 l 的斜率 解(1)由题意知 ec a 2 2 ，2c2，所以 c1， 所以 a 2，b1， 所以椭圆 E 的方程为x 2 2 y21. (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立方程 x2 2 y21， yk1x 3 2 ， 得(4k212)x24 3k1x10. 由题意知0， 且 x1x2 2 3k1 2k211，x 1x2 1 22k211， 所以|A
14、B| 1k21|x1x2| 2 1k2118k21 12k21 . 由题意可知，圆 M 的半径 r 为 r2 3|AB| 2 2 3 1k2118k21 2k211 ， 由题设知 k1k2 2 4 ，所以 k2 2 4k1， 因此直线 OC 的方程为 y 2 4k1x. 联立方程 x2 2 y21， y 2 4k1x， 得 x2 8k21 14k21，y 2 1 14k21， 因此|OC| x2y2 18k21 14k21. 由题意可知，sinSOT 2 r r|OC| 1 1|OC| r . 而|OC| r 18k21 14k21 2 2 3 1k2118k21 12k21 3 2 4 12
15、k21 14k211k21， 令 t12k21，则 t1，1 t(0,1)， 因此|OC| r 3 2 t 2t2t1 3 2 1 21 t 1 t2 3 2 1 1 t 1 2 29 4 1， 当且仅当1 t 1 2，即 t2 时等号成立，此时 k 1 2 2 ， 所以 sin SOT 2 1 2，因此 SOT 2 6， 所以SOT 的最大值为 3. 综上所述，SOT 的最大值为 3，取得最大值时直线 l 的斜率为 k 1 2 2 . 思维升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何 法，即通过利用曲线的定义、几何性质
16、以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用 代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用 函数方法、不等式方法等进行求解 跟踪训练(2018邢台模拟)已知椭圆x 2 2 y21 上两个不同的点 A，B 关于 直线 ymx1 2对称 (1)求实数 m 的取值范围； (2)求AOB 面积的最大值(O 为坐标原点) 解(1)由题意知 m0，可设直线 AB 的方程为 y1 mxb.由 x2 2 y21， y1 mxb， 消去 y，得 1 2 1 m2x22b m xb210. 因为直线 y1 mxb 与椭圆 x2 2 y21 有两个不同的交点，所以2b22
17、 4 m20， 将 AB 的中点 M 2mb m22， m2b m22 代入直线方程 ymx1 2，解得 b m22 2m2 ， 由得 m 6 3 或 m 6 3 . (2)令 t1 m 6 2 ，0 0， 6 2 ，则 t2 0，3 2 . 则|AB| t21 2t42t23 2 t21 2 ， 且 O 到直线 AB 的距离为 d t21 2 t21 . 设AOB 的面积为 S(t)， 所以 S(t)1 2|AB|d 1 2 2 t21 2 22 2 2 ， 当且仅当 t21 2时，等号成立，此时满足 t 2 0，3 2 . 故AOB 面积的最大值为 2 2 . 1(2017河北武邑中学模拟
18、)已知 P(x0，y0)是椭圆 C：x 2 4 y21 上的一点，F1，F2是 C 的两 个焦点，若PF1 PF2 0，则 x0的取值范围是() A. 2 6 3 ，2 6 3B. 2 3 3 ，2 3 3 C. 3 3 ， 3 3D. 6 3 ， 6 3 答案A 解析由题意可知：F1( 3，0)，F2( 3，0)， 则PF1 PF2 (x0 3)(x0 3)y20 x20y2030， 点 P 在椭圆上，则 y201x 2 0 4 ， 故 x20 1x 2 0 4 30，解得2 6 3 x02 6 3 ， 即 x0的取值范围是 2 6 3 ，2 6 3. 2斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2
19、 4 y21 相交于 A，B 两点，则|AB|的最大值为() A2B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 答案C 解析设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt， 由 x24y24， yxt， 消去 y，得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x28 5t，x 1x24t 21 5 . |AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 2 8 5t 244t 21 5 4 2 5 5t2， 当 t0 时，|AB|max4 10 5 . 3过抛物线 y2x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A，B 两点，且直线 l 的倾斜角
20、 4，点 A 在 x 轴上方，则|FA|的取值范围是() A. 1 4，1B. 1 4， C. 1 2，D. 1 4，1 2 2 答案D 解析记点 A 的横坐标是 x1，则有|AF|x11 4 1 4|AF|cos 1 4 1 2|AF|cos ， |AF|(1cos )1 2，|AF| 1 21cos . 由 4得1cos 2 2 ，2 22(1cos )4，1 40，b0)的左、右焦点，对于左支 上任意一点 P 都有|PF2|28a|PF1|(a 为实半轴长)， 则此双曲线的离心率 e 的取值范围是() A(1，)B(2,3 C(1,3D(1,2 答案C 解析由 P 是双曲线左支上任意一点
21、及双曲线的定义， 得|PF2|2a|PF1|， 所以|PF2| 2 |PF1| |PF1| 4a2 |PF1|4a8a， 所以|PF1|2a，|PF2|4a， 在PF1F2中，|PF1|PF2|F1F2|， 即 2a4a2c，所以 ec a3. 又 e1，所以 10)上任 意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值为() A. 2 2 B.2 3 C. 3 3 D1 答案A 解析由题意可得 F p 2，0，设 P y20 2p，y 0 (y00)， 则OM OF FM OF 1 3FP OF 1 3(OP OF ) 1 3OP 2 3OF y20 6p
22、 p 3， y0 3 ， 可得 k y0 3 y20 6p p 3 1 y0 2p p y0 1 2 y0 2p p y0 2 2 . 当且仅当y0 2p p y0时取得等号，故选 A. 6(2017九江模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 C：x24y，点 P 是 C 的准线 l 上的动点，过点 P 作 C 的两条切线，切点分别为 A，B，则AOB 面积的最小值为() A. 2B2C2 2D4 答案B 解析设 P(x0，1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 又 A，B 在抛物线上，所以 y1x 2 1 4 ，y2x 2 2 4 . 因为 yx 2，则过点 A，B 的切线分别为
23、 y x21 4 x1 2 (xx1)， yx 2 2 4 x2 2 (xx2)均过点 P(x0，1)， 则1x 2 1 4 x1 2 (x0 x1)，1x 2 2 4 x2 2 (x0 x2)，即 x1，x2是方程1x 2 4 x 2(x 0 x)的两根，则 x1 x22x0， x1x24， 设直线 AB 的方程为 ykxb， 联立 x24y， ykxb， 得 x24kx4b0， 则 x1x24b4， 即 b1，|AB| 1k2|x1x2| 1k2 x1x224x1x2 1k2 4x2016， O 到直线 AB 的距离 d b k21， 则 SAOB1 2|AB|d x 2 042， 即AO
24、B 的面积的最小值为 2，故选 B. 7(2017泉州质检)椭圆 C：x 2 a2y 21(a1)的离心率为 3 2 ，F1，F2是 C 的两个焦点，过 F1 的直线 l 与 C 交于 A，B 两点，则|AF2|BF2|的最大值等于_ 答案7 解析因为椭圆 C 的离心率为 3 2 ，所以 a21 a 3 2 ，解得 a2，由椭圆定义得|AF2|BF2| |AB|4a8， 即|AF2|BF2|8|AB|， 而由焦点弦性质，知当 ABx 轴时，|AB|取最小值 2b 2 a 1，因此|AF2|BF2|的最大值等于 817. 8(2018 届贵州黔东南州联考)定长为 4 的线段 MN 的两端点在抛物
25、线 y2x 上移动，设点 P 为线段 MN 的中点，则点 P 到 y 轴距离的最小值为_ 答案 7 4 解析设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，抛物线 y2x 的焦点为 F 1 4，0，抛物线的准线为 x1 4， 所求的距离 d| x1x2 2 |x1 1 4x 21 4 2 1 4 |MF|NF| 2 1 4，所以 |MF|NF| 2 1 4 |MN| 2 1 4 7 4(两边之和大于第三边且 M，N，F 三点共线时取等号) 9(2017泉州模拟)椭圆x 2 4 y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，过椭圆的右焦点 F2作一条直 线 l 交椭圆于 P，Q 两点，则F1PQ 的内
26、切圆面积的最大值是_ 答案 9 16 解析令直线 l：xmy1，与椭圆方程联立消去 x，得(3m24)y26my90，可设 P(x1， y1)，Q(x2，y2)，则 y1y2 6m 3m24，y 1y2 9 3m24. 可知 1 F PQ S1 2|F 1F2|y1y2| y1y224y1y212 m21 3m242， 又 m21 3m242 1 9m21 1 m216 1 16， 故 1 F PQ S3.三角形的周长与三角形内切圆的半径的积是三角形面积的二倍，三角形的周长 l 4a8，则内切圆半径 r 1 2 8 F PQ S 3 4，其面积最大值为 9 16. 10(2018日照模拟)若点
27、 O 和点 F 分别为椭圆x 2 9 y 2 8 1 的中心和左焦点，点 P 为椭圆上的 任意一点，则OP FP 的最小值为_ 答案6 解析点 P 为椭圆x 2 9 y 2 8 1 上的任意一点， 设 P(x，y)(3x3，2 2y2 2)， 由题意得左焦点 F(1,0)， OP (x，y)，FP (x1，y)， OP FP x(x1)y2x2x728x2 9 1 9 x9 2 223 4 . 3x3，3 2x 9 2 15 2 ， 9 4 x9 2 2225 4 ， 1 4 1 9 x9 2 225 4 ， 61 9 x9 2 223 4 12， 即 6OP FP 12.故最小值为 6. 1
28、1已知椭圆 C：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为原点，若点 A 在直线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB，求线段 AB 长度的 最小值 解(1)由题意，得椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 2 1， 所以 a24，b22，从而 c2a2b22， 因此 a2，c 2. 故椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . (2)设点 A，B 的坐标分别为(t,2)，(x0，y0)，其中 x00. 因为 OAOB，所以OA OB 0， 即 tx02y00，解得 t2y0 x0 . 又 x202y204， 所以|AB|2(x0t)2(y02)2 x02y0 x
29、0 2(y02)2x2 0y204y 2 0 x20 4 x204x 2 0 2 24x 2 0 x20 4 x 2 0 2 8 x204(0 x 2 04) 因为x 2 0 2 8 x204(0b0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为 e1；双曲线 C2：x 2 a2 y2 b21 的左、右焦点分别为 F 3，F4，离心率为 e2.已知 e1e2 3 2 ，且|F2F4| 31. (1)求 C1，C2的方程； (2)过 F1作 C1的不垂直于 y 轴的弦 AB，M 为弦 AB 的中点，当直线 OM 与 C2交于 P，Q 两点 时，求四边形 APBQ 面积的最小值 解(1)因为 e1e2
30、 3 2 ， 所以 a2b2 a a2b2 a 3 2 ， 即 a4b43 4a 4， 因此 a22b2， 从而 F2(b,0)， F4( 3b,0)，于是3bb|F2F4| 31，所以 b1，a22. 故 C1，C2的方程分别为x 2 2 y21，x 2 2 y21. (2)因为 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F1(1,0)， 故可设直线 AB 的方程为 xmy1. 由 xmy1， x2 2 y21， 得(m22)y22my10. 易知此方程的判别式大于 0. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 y1，y2是上述方程的两个实根， 所以 y1y2 2m m22，y 1y2 1 m2
31、2. 因此 x1x2m(y1y2)2 4 m22， 于是 AB 的中点为 M 2 m22， m m22 ， 故直线 PQ 的斜率为m 2，PQ 的方程为 y m 2x， 即 mx2y0. 由 ym 2x， x2 2 y21， 得(2m2)x24， 所以 2m20，且 x2 4 2m2，y 2 m2 2m2， 从而|PQ|2 x2y22 m24 2m2. 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d， 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d， 所以 2d|mx 12y1|mx22y2| m24 . 因为点 A，B 在直线 mx2y0 的异侧， 所以(mx12y1)(mx22y2)0， 于是|mx12y1
32、|mx22y2| |mx12y1mx22y2|， 从而 2dm 22|y1y2| m24 . 又因为|y1y2| y1y224y1y2 2 2 1m 2 m22 ， 所以 2d2 2 1m 2 m24 . 故四边形 APBQ 的面积 S1 2|PQ|2d 2 2 1m 2 2m2 2 21 3 2m2. 而 00，b0)的一条渐近线与抛物线 y 2x 的一个 交点的横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是() A. 1， 6 2B( 2，) C(1， 2)D. 6 2 ， 答案C 解析不妨联立 yb ax 与 y 2x，消去 y 得b2 a2x 2x，由 x01，知
33、b2 a21，即 c2a2 a2 1，故 e21，所以 1e0，b0)的右顶点为 A，与 x 轴平行的直线 交于 B，C 两点，记BAC，若的离心率为 2，则() A 0， 2B 2 C 3 4 ， D3 4 答案B 解析ec a 2，c 2a，b 2c2a2a2， 双曲线方程可变形为 x2y2a2.设 B(x0，y0)，由对称性可知 C(x0，y0)，点 B(x0，y0)在 双曲线上， x20y20a2.A(a,0)，AB (x 0a，y0)，AC (x 0a，y0)，AB AC (x0a)(x0a) y20a2x20y200，AB AC，即 2.故选 B. 16(2017郑州质检)已知椭圆 C1： x2 m2 y2 n 1 与双曲线 C2：x 2 m y2 n 1 有相同的焦点，则椭 圆 C1的离心率 e1的取值范围为_ 答案 2 2 ，1 解析椭圆 C1： x2 m2 y2 n 1， a21m2，b21n，c21m2n， e21m2n m2 1 n m2. 双曲线 C2：x 2 m y2 n 1， a22m，b22n，c22mn， 由条件知 m2nmn，则 n1， e211 1 m2. 由 m0 得 m22， 1 m2 1 2， 1 1 m2 1 2，即 e 2 11 2，而 0e 11， 2 2 e11.
