1、2025 高考数学一轮复习高考数学一轮复习-第第 4 讲讲-基本不等式基本不等式-专项训练专项训练【A 级基础巩固】1若 x0，则关于 x1x，下列结论正确的是()A.有最小值，且最小值为 2B.有最大值，且最大值为 2C.有最小值，且最小值为2D.有最大值，且最大值为22已知 x2，则4x2x 的最小值是()A.2B3C.4D63下列不等式恒成立的是()A.a2b22abBa2b22abC.ab2|ab|Da2b22ab4设 f(x)ln x，0ab，若 pf(ab)，qfab2，r12f(a)f(b)，则下列关系式中正确的是()A.qrpBprpDprq5若直线xayb1(a0，b0)过点
2、(1，1)，则 ab 的最小值等于()A.2B3C.4D56(多选)设 alog23，blog243，则下列关系正确的是()A.abab2BabbaDabba7(多选)若正实数 a，b 满足 ab1，则下列说法正确的是()A.ab 有最大值14B.a b有最大值 2C.1a1b有最小值 2D.a2b2有最小值128(多选)已知 a0，b0，且 ab1，则()A.a2b212B2ab12C.log2alog2b2D a b 29函数 yx2x1(x1)的最小值为_10已知 0 x22，则 x12x2的最大值为_11已知 a，bR，且 a3b60，则 2a18b的最小值为_12某公司购买一批机器投
3、入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间 x(单位：年)的关系式为 yx218x25(xN*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润为_万元【B 级能力提升】1当 xa 时，2x8xa的最小值为 10，则 a()A.1B 2C.2 2D42已知 m0，n0，条件 p：2mnmn，条件 q：mn32 2，则 p 是 q 的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3若 log4(3a4b)log2ab，则 ab 的最小值是()A.62 3B72 3C.64 3D74 34(多选)若 a0，b0，且 ab4，则下列不等式
4、恒成立的是()A.01ab14B1a1b1C.log2alog2b2D1a2b2185(多选)已知 a0，b0，且 ab4，则下列结论一定正确的有()A.(a2b)28abB.1a1b2 abC.ab 有最大值 4D.1a4b有最小值 96(多选)下列说法正确的是()A.若 x，yR 且 xy4，则 x，y 至少有一个大于 2B.xR，x2xC.若 1a3，2b4，则22ab4D.x231x23的最小值为 27已知 a0，b0，且 ab1，则12a12b8ab的最小值为_8已知 5x2y2y41(x，yR)，则 x2y2的最小值是_9已知 a0，b0，12a1b1，则满足“ma2b”恒成立的正
5、实数 m 的一个取值范围是_(用区间表示).10在ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，ABC120，ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD1，则 4ac 的最小值为_参考参考答案答案【A 级基础巩固】1解析：因为 x0，x1x2，当且仅当 x1 时，等号成立，所以 x1x2.答案：D2解析：由 x2 知 x20，则4x2x4x2(x2)224x2(x2)26，当且仅当4x2x2，即 x4 时取“”，所以4x2x 的最小值是 6.答案：D3解析：A.显然当 a0，b0 时，不等式 a2b22ab 不成立，故 A 错误；B.(ab)20，a2b22ab0，a2b22ab，
6、故 B 正确；C.显然当 a0，b0 时，不等式 ab2|ab|不成立，故 C 错误；D.显然当 a0，b0 时，不等式 a2b22ab 不成立，故 D 错误答案：B4解析：因为 0a ab.又因为 f(x)ln x 在(0，)上单调递增，所以 fab2f(ab)，即 pq.而 r12f(a)f(b)12(ln aln b)12ln(ab)lnab，所以 rp，故 pr0，b0，ab21，ab，abbaa1，显然成立所以ab2abba.答案：BCD7解析：正实数 a，b 满足 ab1，由基本不等式可得 abab2214，当且仅当 ab12时取等号，所以 ab 有最大值14，故选项 A 正确；(
7、a b)2ab2 ab12 ab1ab2，当且仅当 ab12时取等号，所以 a b有最大值 2，故选项 B 正确；1a1babab1ab4，当且仅当 ab12时取等号，所以1a1b有最小值 4，故选项 C 错误；a2b2(ab)22ab12ab12，当且仅当 ab12时取等号，所以 a2b2有最小值12，故选项 D 正确答案：ABD8解析：因为 a0，b0，ab1，所以 ab2 ab，当且仅当 ab12时，等号成立，即有 ab14.对于 A，a2b2(ab)22ab12ab121412，故 A 正确；对于 B，2ab22a-11222a，因为 a0，所以 22a1，即 2ab12，故 B 正确
8、；对于 C，log2alog2blog2ablog2142，故 C 错误；对于 D，由(a b)2ab2 ab12 ab2，得 a b 2，故 D 正确综上可知，正确的选项为 A，B，D.答案：ABD9解析：因为 yx211x1x11x1x11x12(x1)，所以 y2 120，当且仅当 x0 时，等号成立所以 yx2x1(x1)的最小值为 0.答案：010解析：0 x22，12x20，x12x222 2x212x2222x212x2224，当且仅当 2x212x2，即 x12时等号成立答案：2411解析：a3b60，a3b6，2a18b2a2-3b22a2-3b2 2a-3b2 2-622-
9、314，当且仅当a3b，a3b60，即a3，b1时等号成立答案：1412 解析：每台机器运转 x 年的年平均利润为yx18x25x万元 由于 x0，故yx182 258，当且仅当 x5 时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为 8 万元答案：8【B 级能力提升】1解析：2x8xa2(xa)8xa2a22(xa)8xa2a82a，即 82a10，故 a1.答案：A2解析：因为 m0，n0，由 2mnmn，得1m2n1，则 mn(mn)1m2n 3nm2mn32 2，当且仅当nm2mn，2mnmn，即 m 21，n2 2时取等号，因此 pq；因为 m0，n0，由 mn32 2，
10、可取 m1，n10，则 2mn12，mn10，此时 2mnmn，因此 q/p，所以 p 是 q 的充分不必要条件答案：A3解析：由 log4(3a4b)log2ab，得12log2(3a4b)12log2(ab)，所以 3a4bab，即3b4a1，所以 ab(ab)3b4a 3ab4ba74 37，当且仅当3ab4ba，即 a2 34，b323时取等号答案：D4解析：因为 a0，b0，所以 abab22a2b22，当且仅当 ab2 时等号成立，则 ab4224 或422a2b22，当且仅当 ab2 时等号成立，则1ab14，a2b28，1a2b218，当且仅当 ab2 时等号成立，则 log2
11、alog2blog2ablog242，当且仅当 ab2 时等号成立，故 A，C 不恒成立，D 恒成立；对于 B 选项，1a1babab4ab4141，当且仅当 ab2 时等号成立，故 B 恒成立答案：BD5解析：A 选项，(a2b)2a24b24ab2a2b4ab8ab，A 正确；B 选项，找反例，当 ab2 时，1a1b 2，2 ab4，1a1b2 ab，B 不正确；C 选项，ab42 ab，ab4，当且仅当 ab2 时取“”，C 正确；D 选项，1a4b141a4b(ab)1414ba4ab 1452ba4ab 94，当且仅当 a43，b83时等号成立，D 不正确答案：AC6解析：对于 A
12、，若 x，y 均不大于 2，则 x2，y2，则 xy4，所以 xy4，则x，y 至少有一个大于 2 为真命题，故 A 正确；对于 B，xR，x2|x|x，x0，x，x0，故B 错误；对于 C，由 1a3 得 22a6，由 2b4 得4b2，所以22ab4，故 C 正确；对于 D，由于x23 3，函数 yx1x在 3，)上单调递增，故x231x23 3134 33，D 错误答案：AC7解析：因为 a0，b0，且 ab1，则12a12b8abab2ab8abab28ab2ab28ab4，当且仅当ab28ab，即 a2 3，b2 3或 a2 3，b2 3取等号答案：48解析：法一：由 5x2y2y4
13、1，可得 x21y45y2，由 x20，可得 y2(0，1，则 x2y21y45y2y214y45y2154y21y21524y21y245，当且仅当 y212，x2310时等号成立，可得 x2y2的最小值为45.法二：4(5x2y2)4y25x2y24y222254(x2y2)2，故 x2y245，当且仅当 5x2y24y22，即 y212，x2310时取得等号，可得 x2y2的最小值为45.答案：459解析：由题意可知 a2b12a1b(a2b)52baab522baab92，当且仅当 ba 32时 取 得 等 号，所 以 a 2b92恒 成 立，故 正 实 数 m 的 一 个 范 围 可 以 为(0，4)答案不唯一，是0，92 的子集即可.答案：(0，4)答案不唯一，是0，92 的子集即可10 解析：由题意可知，SABCSABDSBCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得12acsin 12012a1sin 6012c1sin 60，化简得 acac，1a1c1.因此 4ac(4ac)1a1c 5ca4ac52ca4ac9，当且仅当 c2a3 时取等号，故 4ac 的最小值为 9.答案：9
