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(步步高 高中理科数学 教学资料)第1讲 绝对值不等式.doc

1、第第 1 讲讲绝对值不等式绝对值不等式 1.设函数 f(x)|2x1|x4|. (1)解不等式 f(x)2; (2)求函数 yf(x)的最小值. 解(1)法一令 2x10,x40 分别得 x1 2,x4. 原不等式可化为: x1 2, x52 或 1 2x4, 3x32 或 x4, x52. 即 x1 2, x7 或 1 2x4, x5 3 或 x4, x3, x7 或 x5 3. 原不等式的解集为 x|x7 或 x 5 3 . 法二f(x)|2x1|x4| x5 x1 2 3x3 1 2x4 x5 (x4) 画出 f(x)的图象,如图所示. 求得 y2 与 f(x)图象的交点为(7,2),

2、5 3,2. 由图象知 f(x)2 的解集为 x|x7 或 x 5 3 . (2)由(1)的法二图象知:当 x1 2时, 知:f(x)min9 2. 2.(2017长沙一模)设,均为实数. (1)证明:|cos()|cos|sin|,|sin()|cos|cos|; (2)若0,证明:|cos|cos|cos|1. 证明(1)|cos()|coscossinsin| |coscos|sinsin|cos|sin|; |sin()|sincoscossin|sincos| |cossin|cos|cos|. (2)由(1)知,|cos()|cos|sin()|cos|cos| |cos|, 而0

3、,故|cos|cos|cos|1. 3.(2016镇江模拟)已知 a 和 b 是任意非零实数. (1)求|2ab|2ab| |a| 的最小值; (2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立,求实数 x 的取值范围. 解(1)|2ab|(2ab) |a| |2ab2ab| |a| |4a| |a| 4,|2ab|2ab| |a| 的 最小值为 4. (2)若不等式|2ab|2ab|a|(|2x|2x|)恒成立,即|2x|2 x|2ab|2ab| |a| 恒成立, 故|2x|2x| |2ab|2ab| |a| min . 由(1)可知,|2ab|2ab| |a| 的最小值为 4.

4、x 的取值范围即为不等式|2x|2x|4 的解集. 解不等式得2x2. 故实数 x 的取值范围为2,2. 4.(2017广州二测)已知函数 f(x)log2(|x1|x2|a). (1)当 a7 时,求函数 f(x)的定义域; (2)若关于 x 的不等式 f(x)3 的解集是 R,求实数 a 的最大值. 解(1)由题设知|x1|x2|7, 当 x2 时,得 x1x27,解得 x4. 当1x2 时,得 x12x7,无解. 当 x1 时,得x1x27,解得 x3. 函数 f(x)的定义域为(,3)(4,). (2)不等式 f(x)3, 即|x1|x2|a8, 当 xR 时, 恒有|x1|x2|(x

5、1)(x2)|3, 又不等式|x1|x2|a8 的解集是 R, a83,即 a5, a 的最大值为5. 5.设函数 f(x)2|x1|x1, g(x)16x28x1.记 f(x)1 的解集为 M, g(x)4 的解集为 N. (1)求 M; (2)当 x(MN)时,证明:x2f(x)xf(x)21 4. (1)解f(x) 3x3,x1,) , 1x,x(,1) 当 x1 时,由 f(x)3x31, 得 x4 3,故 1x 4 3; 当 x1 时, 由 f(x)1x1 得 x0,故 0 x1. 所以 f(x)1 的解集为 Mx|0 x4 3. (2)证明由 g(x)16x28x14 得 16 x

6、1 4 2 4,解得1 4x 3 4.因此 N x|1 4x 3 4 , 故 MN x|0 x3 4 . 当 x(MN)时,f(x)1x,于是 x2f(x)xf(x)2xf(x)xf(x)xf(x)x(1x)1 4 x1 2 2 1 4. 6.(2017郑州模拟)已知函数 f(x)|2xa|2x3|,g(x)|x1|2. (1)解不等式:|g(x)|5; (2)若对任意的 x1R,都有 x2R,使得 f(x1)g(x2)成立,求实数 a 的取值范 围. 解(1)由|x1|2|5,得5|x1|25, 所以7|x1|3, 解不等式得2x4, 所以原不等式的解集是x|2x4. (2)因为对任意的 x1R, 都有 x2R, 使得 f(x1)g(x2)成立, 所以y|yf(x)y|y g(x), 又 f(x)|2xa|2x3|2xa(2x3)|a3|,g(x)|x1|22,所以 |a3|2, 解得 a1 或 a5, 所以实数 a 的取值范围是a|a1 或 a5.

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