1、课题：1.3.1 函数的最大（小）值 教学目的： （1）理解函数的最大（小）值及其几何意义； （2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质； 教学重点：函数的最大（小）值及其几何意义 教学难点：利用函数的单调性求函数的最大（小）值 教学过程： 一、引入课题 画出下列函数的图象，并根据图象解答下列问题： 1 说出 y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性； 2 指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？ （1）32)(xxf （2）32)(xxf 2 , 1x （3）12)( 2 xxxf （4）12)( 2 xxxf 2 , 2x 二、新课教学 （一）函数最大（小）值定义
2、 1最大值 一般地，设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： （1）对于任意的 xI，都有 f(x)M； （2）存在 x0I，使得 f(x0) = M 那么，称 M 是函数 y=f(x)的最大值（Maximum Value） 思考： 仿照函数最大值的定义， 给出函数 y=f(x)的最小值（Minimum Value） 的定义 （学 生活动） 注意： 1 函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在 x0I，使得 f(x0) = M； 2 函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的 xI，都有 f(x) M（f(x)M） 2利用函数单调性的判断函数的最大（小）
3、值的方法 1 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值 2 利用图象求函数的最大（小）值 3 利用函数单调性的判断函数的最大（小）值 如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b)； 如果函数 y=f(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b)； （二）典型例题 例 1 （教材 P36例 3）利用二次函数的性质确定函数的最大（小）值 解： （略） 说明：对于具有实际背景的问题，首先要仔细审清题意，适当设出变量，建立适当的函 数模型，然后利用二次函数的性质
4、或利用图象确定函数的最大（小）值 巩固练习：如图，把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料， 如果矩形一边长为 x，面积为 y 25 试将 y 表示成 x 的函数，并画出 函数的大致图象，并判断怎样锯 才能使得截面面积最大？ 例 2 （新题讲解） 旅旅 馆馆 定定 价价 一个星级旅馆有 150 个标准房， 经过一段时间的经营， 经理得到一些定价和住房率 的数据如下： 房价（元） 住房率（%） 160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高，应如何定价？ 解：根据已知数据，可假设该客房的最高价为 160 元，并假设在各价位之间，房 价与住房率之间存在线性关系
5、 设y为旅馆一天的客房总收入，x为与房价 160 相比降低的房价，因此当房价为 )160(x元时，住房率为)%10 20 55( x ，于是得 y=150)160(x)%10 20 55( x 由于)%10 20 55( x 1，可知 0x90 因此问题转化为：当 0x90 时，求y的最大值的问题 将y的两边同除以一个常数 0.75，得y1=x 250 x17600 由于二次函数y1在x=25 时取得最大值，可知y也在x=25 时取得最大值，此时 房价定位应是 16025=135 （元） ， 相应的住房率为 67.5%， 最大住房总收入为 13668.75 （元） 所以该客房定价应为 135
6、元 （当然为了便于管理，定价 140 元也是比较合理的） 例 3 （教材 P37例 4）求函数 1 2 x y在区间2，6上的最大值和最小值 解： （略） 注意：利用函数的单调性求函数的最大（小）值的方法与格式 巩固练习： （教材 P38练习 4） 三、归纳小结，强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明画函数图象通常借助计算机， 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步： 取 值 作 差 变 形 定 号 下结论 四、作业布置 1 书面作业：课本 P45 习题 13（A 组） 第 6、7、8 题 提高作业：快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出，如下图，各沿箭头方向航行， 快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h，已知 AC=150km，经过多少时间后， 快艇和轮船之间的距离最短？ A B C D
