1、课题:1.3.1 函数的最大(小)值 教学目的: (1)理解函数的最大(小)值及其几何意义; (2)学会运用函数图象理解和研究函数的性质; 教学重点:函数的最大(小)值及其几何意义 教学难点:利用函数的单调性求函数的最大(小)值 教学过程: 一、引入课题 画出下列函数的图象,并根据图象解答下列问题: 1 说出 y=f(x)的单调区间,以及在各单调区间上的单调性; 2 指出图象的最高点或最低点,并说明它能体现函数的什么特征? (1)32)(xxf (2)32)(xxf 2 , 1x (3)12)( 2 xxxf (4)12)( 2 xxxf 2 , 2x 二、新课教学 (一)函数最大(小)值定义
2、 1最大值 一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足: (1)对于任意的 xI,都有 f(x)M; (2)存在 x0I,使得 f(x0) = M 那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值(Maximum Value) 思考: 仿照函数最大值的定义, 给出函数 y=f(x)的最小值(Minimum Value) 的定义 (学 生活动) 注意: 1 函数最大(小)首先应该是某一个函数值,即存在 x0I,使得 f(x0) = M; 2 函数最大(小)应该是所有函数值中最大(小)的,即对于任意的 xI,都有 f(x) M(f(x)M) 2利用函数单调性的判断函数的最大(小)
3、值的方法 1 利用二次函数的性质(配方法)求函数的最大(小)值 2 利用图象求函数的最大(小)值 3 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值 如果函数 y=f(x)在区间a,b上单调递增,在区间b,c上单调递减则函数 y=f(x)在 x=b 处有最大值 f(b); 如果函数 y=f(x)在区间a,b上单调递减,在区间b,c上单调递增则函数 y=f(x)在 x=b 处有最小值 f(b); (二)典型例题 例 1 (教材 P36例 3)利用二次函数的性质确定函数的最大(小)值 解: (略) 说明:对于具有实际背景的问题,首先要仔细审清题意,适当设出变量,建立适当的函 数模型,然后利用二次函数的性质
4、或利用图象确定函数的最大(小)值 巩固练习:如图,把截面半径为 25cm 的圆形木头锯成矩形木料, 如果矩形一边长为 x,面积为 y 25 试将 y 表示成 x 的函数,并画出 函数的大致图象,并判断怎样锯 才能使得截面面积最大? 例 2 (新题讲解) 旅旅 馆馆 定定 价价 一个星级旅馆有 150 个标准房, 经过一段时间的经营, 经理得到一些定价和住房率 的数据如下: 房价(元) 住房率(%) 160 55 140 65 120 75 100 85 欲使每天的的营业额最高,应如何定价? 解:根据已知数据,可假设该客房的最高价为 160 元,并假设在各价位之间,房 价与住房率之间存在线性关系
5、 设y为旅馆一天的客房总收入,x为与房价 160 相比降低的房价,因此当房价为 )160(x元时,住房率为)%10 20 55( x ,于是得 y=150)160(x)%10 20 55( x 由于)%10 20 55( x 1,可知 0x90 因此问题转化为:当 0x90 时,求y的最大值的问题 将y的两边同除以一个常数 0.75,得y1=x 250 x17600 由于二次函数y1在x=25 时取得最大值,可知y也在x=25 时取得最大值,此时 房价定位应是 16025=135 (元) , 相应的住房率为 67.5%, 最大住房总收入为 13668.75 (元) 所以该客房定价应为 135
6、元 (当然为了便于管理,定价 140 元也是比较合理的) 例 3 (教材 P37例 4)求函数 1 2 x y在区间2,6上的最大值和最小值 解: (略) 注意:利用函数的单调性求函数的最大(小)值的方法与格式 巩固练习: (教材 P38练习 4) 三、归纳小结,强化思想 函数的单调性一般是先根据图象判断,再利用定义证明画函数图象通常借助计算机, 求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域,单调性的证明一般分五步: 取 值 作 差 变 形 定 号 下结论 四、作业布置 1 书面作业:课本 P45 习题 13(A 组) 第 6、7、8 题 提高作业:快艇和轮船分别从 A 地和 C 地同时开出,如下图,各沿箭头方向航行, 快艇和轮船的速度分别是 45 km/h 和 15 km/h,已知 AC=150km,经过多少时间后, 快艇和轮船之间的距离最短? A B C D