1、L/O/G/O 必修一必修一 1.3.1 函数的单调性函数的单调性 2014年高中青年数学教师优秀课展示活动年高中青年数学教师优秀课展示活动 问题问题1 1 下图是天津市今年某天 下图是天津市今年某天 2424 小时内气温随时间变小时内气温随时间变 化的曲线图，观察图形，能得到什么信息？化的曲线图，观察图形，能得到什么信息？ t(h) T( C) 32 31 30 29 28 27 26 25 24 123456789101112131415161718192021222324 O x y 123123 1 2 3 1 2 3 O 问题问题2 2 观察观察函数函数 f xx和和 2 f xx图
2、象图象，随着随着x增大增大 图象是如何变化的？图象是如何变化的？ x y 123123 1 2 3 4 5 O x y 123123 1 2 3 4 5 O 初步认识函数单调性初步认识函数单调性 函数函数 2 ( )f xx的的定义域为定义域为R 图象图象在在y轴左侧轴左侧随着随着x的增大的增大而而 下降下降,我们就说我们就说 2 ( )f xx在在 区间区间-0，上上为减为减函数函数； 图象图象在在y轴轴右右侧侧随着随着x的增大的增大而而 上升上升,我们就说我们就说 2 ( )f xx在区间在区间0 +，上上为增为增函数函数. 探究一探究一 用数学符号语言描述用数学符号语言描述函数函数 2
3、f xx在在0 +，是增函数是增函数 x y 123123 1 2 3 4 5 O -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 x 2 ( )f xx 16 9 4 1 4 1 0 16 9 问问 题题3 3 函数函数 2 f xx的图象在的图象在y轴轴右侧右侧随着随着x的增大的增大 是上升的，如何用是上升的，如何用数学数学语言来描述这种“上升”呢？语言来描述这种“上升”呢？ 函数函数 2 f xx在区间在区间0, 上图象随上图象随x的增大的增大而而上升上升，在，在 区间区间0,上上y随随x的增大的增大 而增大而增大. 问题问题4 4 如何用数学符号语言描述如何用数学符号语言描述函数函数 2
4、f xx 在在0 +， y随随x的增大而增大？的增大而增大？ x y 123123 1 2 3 4 5 O 1 f x 2 f x 2 x 1 x 函数函数 2 ( )f xx定义域为定义域为R: 在在0,上任意的上任意的 12 ,x x的值，的值， 当当 12 xx时，时，都都有有 12 ( )()f xf x 我们就说我们就说函数函数 2 ( )f xx在区在区 间间0,上上是增函数是增函数 问题问题5 5 对于一般函数 对于一般函数( )yf x定义域为定义域为 I，在区间在区间 D 上上，我们应当我们应当如何给增函数下定义？如何给增函数下定义？ 问题问题6 6 类比增函数的定义 类比增
5、函数的定义，对于一般函数对于一般函数( )yf x 我们应当如何给我们应当如何给减减函数下定义？函数下定义？ 如果对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自 变量 12 ,x x，当 12 xx时，都有 12 ( )()f xf x这时我 们就说函数( )yf x在区间D上是减函数 练习练习1 1 判断下列说法是否正确，说明理由： （1）某地 0 点温度高于 1 点半的温度，1 点半的温度 高于 5 点的温度，则该地 0 点至 5 点温度一直在下降. （2）对于函数 yf x在其定义域0 +，内有无穷多 个值 123 ,a a a ，满足 123 f af af a， 则函数 yf x在其定义域
6、内是增函数. 下图是天津市今年某天下图是天津市今年某天 2424 小时内气温随时间变小时内气温随时间变 化的曲线图，观察图形，能得到什么信息？化的曲线图，观察图形，能得到什么信息？ t(h) T( C) 32 31 30 29 28 27 26 25 24 123456789101112131415161718192021222324 O 1.5 练习练习1 1 （2）对于函数 yf x在其定义域0 +，内有无穷 多个值 123 ,a a a ，满足 123 f af af a， 则函数 yf x在其定义域内是增函数. （3）对于区间0 +，上的任意x有( )(0)f xf， 则函数( )f
7、x在区间0 +，上单调递增 例例1 1 下图是定义在区间下图是定义在区间5,5上的函数上的函数 yf x，根据函数，根据函数 图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函图象说出函数的单调区间，以及在每一单调区间上，它是增函 数还是减函数？数还是减函数？ x y y=f(x) 1234512345 1 2 1 2 3 O 函数函数( )yf x的单调区间有的单调区间有 5, 2 ，2,1，1,3，3,5. 在区间在区间5, 2，1,3 上是减函数，上是减函数， 在区间在区间2,1，3,5 上是增函数上是增函数. 例例2 2 物理学中的玻意耳定律物理学中的玻意耳定律 k p V (k为
8、正常数为正常数)告诉我们，告诉我们，对于对于 一定量的气体，当其体积一定量的气体，当其体积V减少时，压强减少时，压强p将增大将增大试用函数的试用函数的 单调性证明之单调性证明之 探究二探究二 反比例函数反比例函数 1 y x 的单调性的单调性 猜想：反比例函数猜想：反比例函数 1 y x 在其定义域内在其定义域内是是 减减函数？函数？ 探究二探究二 反比例函数反比例函数 1 y x 的单调性的单调性 （1）画出画出反比例函数反比例函数 1 y x 的的图象图象. （2）函数的定义域）函数的定义域I是什么？是什么？ （3）定义域）定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论？上的单调性是怎样的？证明
9、你的结论？ 收获与启示收获与启示 4 1 2 3 函数单调性的定义函数单调性的定义 加以证明，是研究函数性质的常用方法加以证明，是研究函数性质的常用方法 观察图象，提出猜想，逻辑推理，观察图象，提出猜想，逻辑推理， 用定义证明函数单调性用定义证明函数单调性 t(h) T( C) 32 31 30 29 28 27 26 25 24 123456789101112131415161718192021222324 O 天津市某日温度曲线天津市某日温度曲线 某两地温度曲线对比某两地温度曲线对比 目目 标标 检检 测测 作作 业业 （1）基础达标：教材中练习的第 1、2 题； 求证：函数 2 f xx在区间,0上是减函数 （2）能力提升：研究函数 2 2 ,0 1,0 xx f x xx 的单调性 （3）思考探究：函数 yf x定义域内的某个区间 D 上任意自变量 12 ,x x，当 12 xx时，都有 12 12 0 f xf x xx ，则函数 yf x在 区间 D 上是 （填增函数还是减函数） 谢谢指导
