1、第一章第一章 空间向量与立体几何（知识梳理）空间向量与立体几何（知识梳理）一、空间向量的概念1.空间向量：_叫做空间向量.2.零向量：长度为_的向量叫做零向量，零向量的方向是_.3.单位向量：长度为_的向量叫做单位向量.4.相等向量：_且_的向量叫做相等向量.5.相反向量：_且_的向量叫做相反向量.向量? ?的相反向量记为_.6.平行向量： _叫做平行向量或共线向量.二、空间向量的运算1.空间向量的线性运算，如图（1）? ? ? ?_，? ? ? ?_；（2）? ?_.（3）当 0 时，? ?的长度为_，方向_;当 0 时，? ?的长度为_，方向_;当 ? 0 或? ? ? 0?时，? ?=_
2、.2. 空间向量的线性运算满足的运算律（其中， R）（1）交换律：? ? ? ? ?；（2）结合律： （? ? ? ?）+? ? ?=_； ? ? ? ?；（3）分配律： ? ? ? ? ?；（? ? ? ?） ? ?3.空间向量的数量积运算（1）空间向量的数量积：_叫做? ?，?的数量积，即? ? ? ?4.空间向量的数量积满足的运算律（1） （? ?） ? ?， R（数乘结合律） ；（2）? ? ? ?（交换律） ；（3） （? ? ? ?） ? ? ?=_（分配律）.5.空间向量的数量积的性质若? ?，?是非零向量，则? ?_；? ? ? ? ? ?或|? ?|=_；cos? ?，?_.
3、6.共线向量定理：对空间两个向量? ?，?（? 0） ，? ?的充要条件是存在实数，使? ? ?_点 O 为空间中任意一点，则 P.A,B 三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数 ?，?，使? ? ?t? ? ? ?且_7. 共面向量：_的向量叫做共面向量8.共面向量定理：如果两个向量? ?，?不共线，则向量? ?与向量? ?，?共面的充要条件是存在唯一的一对实数 ?，?，使? ? ? ?对空间任意一点 O 和不共线三点 A，B，C，则 P.A,B,C 四点共线的充要条件是存在唯一的有序实数组 ?，?，z，使? ? ?t? ? ? ? ?t? ?且_三、空间向量基本定理空间向量基本定理：如果三
4、个向量? ?，?，? ? ?不共面,那么对任意一个空间向量? ?，存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得? ?=_.四、空间向量的坐标运算1.若? ? ? t?，?，?，? t?，?，?，则：? ? ? ? ?； ? ? ?；? ? ? ?；? ? ?2. 空间向量的平行和垂直的充要条件设? ? ? t?，?，?，? t?，?，?，则1? ? ? ?（? 0?） ? ? ? ? ?；2? ? ? ? ? ?3. 两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式设? ? ? t?，?，?，? t?，?，?，则1? ? ? ? ? ? ? ? ?，或? ?2? ? ? ? ? ? ?.2?体?，?_=_
5、.五、空间向量的应用1.平行与垂直的向量表示设直线l、m的方向向量分别为a、b，平面 、 的法向量分别为u、v，则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量，可以归纳出以下结论：ml/ba/_，Rk ；ml ba _； /lua _； lua/_，Rk ； /vu/_，Rk ； vu _.2. 用向量法求空间距离两点间的距离：若),(111zyxA，),(222zyxB，则|AB|=_.点到直线距离：如右图， 在直线l上任取一点 A， 取直线l的一个单位方向向量u，则点 P 到l的距离为 d=_.点到平面距离：如右图，已知平面的法向量为 n,A是平面内的定点,P是平面外一点.过点
6、P 作平面的垂线 l,交平面于点 Q,则点 P 到平面的距离为d=_.求空间中两平行直线间的距离可转换为_； 求直线与平面间的距离以及两平行平面间的距离可转化_.3. 用向量法求空间角求异面直线所成的角：如右图，已知a、b两异面直线，A、C与B、D分别是a、b上的任意两点，异面直线a、b所成的角为 ，则 cos =|cos|=_.。特别提示： 对异面直线夹角问题， 先求出两条异面直线的方向向量分别为m、n，在求出m、n的夹角，设两异面直线的夹角 ，利用|,cos|cos nm 求出异面直线的夹角，但需注意：异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等，当两方向向量的夹角是钝角时，应取其补角作为两异面直
7、线所成的角。求直线和平面所成的角：如右图，设直线l的方向向量为a，平面 的法向量为u，直线l与平面 所成的角为 ，则sin =?体?，? ?_.求平面和平面所成的角(锐二面角)：如右图，若 PA于A， PB于B，平面PAB交l于E，则AEB 为二面角 l的平面角，180 APBAEB。若1n、2n分别为面 、 的法向量， 21,nnAEB或 21,nn ， 即二面角 等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角).cos ? ?cos ?=_.特别提示：对二面角 l的大小问题，先求出平面 、 的法向量1n、2n，再求出1n、2n的夹角， 在 内取一点A， 在 内取一点B， 设二面角 l大小为 ，若ABn 1与ABn 2同号，则 21,nn ，若ABn 1与ABn 2异号，则 21,nn 。
