1、第一章第一章 空间向量与立体几何(知识梳理)空间向量与立体几何(知识梳理)一、空间向量的概念1.空间向量:_叫做空间向量.2.零向量:长度为_的向量叫做零向量,零向量的方向是_.3.单位向量:长度为_的向量叫做单位向量.4.相等向量:_且_的向量叫做相等向量.5.相反向量:_且_的向量叫做相反向量.向量? ?的相反向量记为_.6.平行向量: _叫做平行向量或共线向量.二、空间向量的运算1.空间向量的线性运算,如图(1)? ? ? ?_,? ? ? ?_;(2)? ?_.(3)当 0 时,? ?的长度为_,方向_;当 0 时,? ?的长度为_,方向_;当 ? 0 或? ? ? 0?时,? ?=_
2、.2. 空间向量的线性运算满足的运算律(其中, R)(1)交换律:? ? ? ? ?;(2)结合律: (? ? ? ?)+? ? ?=_; ? ? ? ?;(3)分配律: ? ? ? ? ?;(? ? ? ?) ? ?3.空间向量的数量积运算(1)空间向量的数量积:_叫做? ?,?的数量积,即? ? ? ?4.空间向量的数量积满足的运算律(1) (? ?) ? ?, R(数乘结合律) ;(2)? ? ? ?(交换律) ;(3) (? ? ? ?) ? ? ?=_(分配律).5.空间向量的数量积的性质若? ?,?是非零向量,则? ?_;? ? ? ? ? ?或|? ?|=_;cos? ?,?_.
3、6.共线向量定理:对空间两个向量? ?,?(? 0) ,? ?的充要条件是存在实数,使? ? ?_点 O 为空间中任意一点,则 P.A,B 三点共线的充要条件是存在唯一的一对实数 ?,?,使? ? ?t? ? ? ?且_7. 共面向量:_的向量叫做共面向量8.共面向量定理:如果两个向量? ?,?不共线,则向量? ?与向量? ?,?共面的充要条件是存在唯一的一对实数 ?,?,使? ? ? ?对空间任意一点 O 和不共线三点 A,B,C,则 P.A,B,C 四点共线的充要条件是存在唯一的有序实数组 ?,?,z,使? ? ?t? ? ? ? ?t? ?且_三、空间向量基本定理空间向量基本定理:如果三
4、个向量? ?,?,? ? ?不共面,那么对任意一个空间向量? ?,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得? ?=_.四、空间向量的坐标运算1.若? ? ? t?,?,?,? t?,?,?,则:? ? ? ? ?; ? ? ?;? ? ? ?;? ? ?2. 空间向量的平行和垂直的充要条件设? ? ? t?,?,?,? t?,?,?,则1? ? ? ?(? 0?) ? ? ? ? ?;2? ? ? ? ? ?3. 两个向量的夹角与向量的长度的坐标计算公式设? ? ? t?,?,?,? t?,?,?,则1? ? ? ? ? ? ? ? ?,或? ?2? ? ? ? ? ? ?.2?体?,?_=_
5、.五、空间向量的应用1.平行与垂直的向量表示设直线l、m的方向向量分别为a、b,平面 、 的法向量分别为u、v,则由直线、平面的位置关系以及直线的方向向量和平面的法向量,可以归纳出以下结论:ml/ba/_,Rk ;ml ba _; /lua _; lua/_,Rk ; /vu/_,Rk ; vu _.2. 用向量法求空间距离两点间的距离:若),(111zyxA,),(222zyxB,则|AB|=_.点到直线距离:如右图, 在直线l上任取一点 A, 取直线l的一个单位方向向量u,则点 P 到l的距离为 d=_.点到平面距离:如右图,已知平面的法向量为 n,A是平面内的定点,P是平面外一点.过点
6、P 作平面的垂线 l,交平面于点 Q,则点 P 到平面的距离为d=_.求空间中两平行直线间的距离可转换为_; 求直线与平面间的距离以及两平行平面间的距离可转化_.3. 用向量法求空间角求异面直线所成的角:如右图,已知a、b两异面直线,A、C与B、D分别是a、b上的任意两点,异面直线a、b所成的角为 ,则 cos =|cos|=_.。特别提示: 对异面直线夹角问题, 先求出两条异面直线的方向向量分别为m、n,在求出m、n的夹角,设两异面直线的夹角 ,利用|,cos|cos nm 求出异面直线的夹角,但需注意:异面直线夹角与向量夹角二者不完全相等,当两方向向量的夹角是钝角时,应取其补角作为两异面直
7、线所成的角。求直线和平面所成的角:如右图,设直线l的方向向量为a,平面 的法向量为u,直线l与平面 所成的角为 ,则sin =?体?,? ?_.求平面和平面所成的角(锐二面角):如右图,若 PA于A, PB于B,平面PAB交l于E,则AEB 为二面角 l的平面角,180 APBAEB。若1n、2n分别为面 、 的法向量, 21,nnAEB或 21,nn , 即二面角 等于它的两个面的法向量的夹角(或夹角的补角).cos ? ?cos ?=_.特别提示:对二面角 l的大小问题,先求出平面 、 的法向量1n、2n,再求出1n、2n的夹角, 在 内取一点A, 在 内取一点B, 设二面角 l大小为 ,若ABn 1与ABn 2同号,则 21,nn ,若ABn 1与ABn 2异号,则 21,nn 。