1、抛物线方程及性质的应用（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.(2013安阳高二检测)过点(-1,0)且与抛物线y2=x有且仅有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条2.将两个顶点在抛物线y2=2px(p0)上,另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形的个数记为n,则()A.n=0B.n=1C.n=2D.n33.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为l,P为抛物线上一点,PAl,A为垂足,如果直线AF的斜率为-,那么|PF|=()A.4B.8C.8D.164.(2013长春高二检测)抛物线y=x2上一点到直线2x-y-4=0的距离最小的点的坐标是()A.(,)B.(
2、1,1)C.(,)D.(2,4)5.(2013新课标全国卷)设抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线l过F且与C交于A,B两点.若|AF|=3|BF|,则l的方程为()A.y=x-1或y=-x+1B.y=(x-1)或y=-(x-1)C.y=(x-1)或y=-(x-1)D.y=(x-1)或y=-(x-1)二、填空题(每小题8分,共24分)6.设已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点.若AB的中点为(2,2),则直线l的方程为.7.(2012北京高考)在直角坐标系xOy中,直线l过抛物线y2=4x的焦点F,且与该抛物线相交于A,B两点.其中点A在x轴上方.
3、若直线l的倾斜角为60,则OAF的面积为.8.(2013珠海高二检测)过抛物线y2=2x的焦点F作直线交抛物线于A,B两点,若|AB|=,|AF|0)相交于B,C两点,当直线l的斜率是时,=4.(1)求抛物线G的方程.(2)设线段BC的中垂线在y轴上的截距为b,求b的取值范围.答案解析1.【解析】选C.点(-1,0)在抛物线y2=x的外部,故过(-1,0)且与其有且仅有一个公共点的直线有三条,其中两条为切线,一条为x轴.【举一反三】若把本题中的点(-1,0)改为(1,1),则此时与y2=x只有一个公共点的直线有()A.1条B.2条C.3条D.4条【解析】选B.因为点(1,1)在抛物线y2=x上
4、,所以作与y2=x只有一个公共点的直线有两条,其中一条为切线,一条为平行于x轴的直线.2.【解题指南】数形结合.【解析】选C.根据抛物线的对称性,正三角形的两个顶点一定关于x轴对称,且过焦点的两条直线的倾斜角分别为30和150,如图,所以正三角形的个数n=2,所以选C.3.【解析】选B.如图所示:直线AF的斜率为-,AFK=60,PAF=60.又|PA|=|PF|,APF为等边三角形.在RtAKF中,|FK|=4,|AF|=8,|PF|=8.4.【解析】选B.设抛物线y=x2的切线l与2x-y-4=0平行.kl=2,设l方程为y=2x+b.由消去y得x2-2x-b=0.由=(-2)2-41(-
5、b)=4+4b=0得b=-1,而b=-1时,切点横坐标为1,这时切点为(1,1).5.【解题指南】设出A,B点的坐标,利用抛物线的定义表示出|AF|,|BF|,再利用|AF|=3|BF|,确立l的方程.【解析】选C.抛物线y2=4x的焦点坐标为(1,0),准线方程为x=-1.设A(x1,y1),B(x2,y2),则|AF|=x1+1,|BF|=x2+1,因为|AF|=3|BF|,所以x1+1=3(x2+1),所以x1=3x2+2.因为|y1|=3|y2|,所以x1=9x2,所以x1=3,x2=.当x1=3时,=12,此时y1=2,若y1=2,则A(3,2),B,此时kAB=,此时直线方程为y=
6、(x-1).若y1=-2,则A(3,-2),B,此时kAB=-,此时直线方程为y=-(x-1).6.【解题指南】求出抛物线方程,利用点差法.【解析】由题意知抛物线的方程为y2=4x,设A(x1,y1),B(x2,y2),则有x1x2,两式相减得,-=4(x1-x2),=1,直线l的方程为y-2=x-2,即y=x.答案:y=x7.【解题指南】写出直线l的方程,再与抛物线方程联立,解出A点坐标,再求面积.【解析】抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线l:y=(x-1).由解得A(3,2),B(,-).所以SOAF=12=.答案:【变式备选】已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,直线y=2x-4与C
7、交于A,B两点,则cosAFB=.【解题指南】联立方程求出A,B两点后转化为解三角形问题.【解析】联立消y得x2-5x+4=0,解得x=1或x=4.不妨设A在x轴上方,于是A,B的坐标分别为(4,4),(1,-2),又F(1,0),可求|AB|=3,|AF|=5,|BF|=2,利用余弦定理得cosAFB=-.答案:-8.【解析】抛物线y2=2x的焦点坐标为(,0),准线方程为x=-,设A,B的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1x2=.设|AF|=m,|BF|=n,则x1=m-,x2=n-,所以有解得m=或n=,所以|AF|=.答案:9.【解析】设抛物线方程为y2=-2px(p0)
8、,把直线方程与抛物线方程联立得消元得x2+(3+2p)x+=0,判别式=(3+2p)2-9=4p2+12p0,解得p0或p0)中,得y2=-2x.综上,所求抛物线方程为y2=-2x.10.【解题指南】(1)利用定义建立方程求得p值.(2)利用“设而不求”的思想求解.【解析】(1)由题意设抛物线方程为y2=2px(p0),其准线方程为x=-.A(4,m)到焦点的距离等于A到其准线的距离.4+=6,p=4,此抛物线的方程为y2=8x.(2)由消去y得k2x2-(4k+8)x+4=0.直线y=kx-2与抛物线相交于不同两点A,B,则有解得k-1且k0,AB中点横坐标为2,则有=2,解得k=2或k=-
9、1(舍去).所求k的值为2.【拓展提升】“中点弦”处理方法当涉及弦中点的坐标、弦所在直线斜率之间的关系时,可以“设而不求”,采用平方差法.(1)代端点.把弦的两端点坐标(x1,y1),(x2,y2)代入圆锥曲线方程.(2)“平方差”.将两方程作差,利用平方差公式.(3)得斜率.把x1+x2=2x0,y1+y2=2y0(中点坐标(x0,y0)代入可得,即直线的斜率.(4)求结论.由点斜式求直线方程或代入转化求其他.11.【解析】(1)设B(x1,y1),C(x2,y2),当直线l的斜率是时,l的方程为y=(x+4),即x=2y-4,由得2y2-(8+p)y+8=0,又=4,y2=4y1,由这三个表达式及p0得y1=1,y2=4,p=2,则抛物线的方程为x2=4y.(2)由题意可设l:y=k(x+4),BC的中点坐标为(x0,y0).由得x2-4kx-16k=0,x0=2k,y0=k(x0+4)=2k2+4k,线段BC的中垂线方程为y-2k2-4k=-(x-2k),线段BC的中垂线在y轴上的截距为:b=2k2+4k+2=2(k+1)2,由=16k2+64k0得k0或k-4.b(2,+).
