人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理精讲精练同步训练.doc

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1、人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得pxaybzc.我们把a,b,c叫做空间的一个基底,a,b,c都叫做基向量考点二空间向量的正交分解1单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都是1,那么这个基底叫做单位正交基底 ,常用i,j,k表示2向量的正交分解由空间向量基本定理可知,对空间任一向量a,均可以分解为三个向量xi,yj,zk使得axiyjzk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交

2、分解考点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a,b(b0),ab的充要条件是存在实数,使ab.(2) 如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使pxayb.考点三求夹角、证明垂直问题(1)为a,b的夹角,则cos .(2)若a,b是非零向量,则abab0.知识点三求距离(长度)问题( ) 【题型归纳】题型一:空间向量基底概念与判断1下列能使向量,成为空间的一个基底的关系式是( )ABCD2空间四个点O,A,B,C,为空间的一个基底,则下列说法正确的是( )AO,A,B,C四点不共线BO,A,B,C四点共面,但不共线CO,

3、A,B,C四点中任意三点不共线DO,A,B,C四点不共面3若为空间的一组基底,则下列各项中能构成基底的一组向量是( )ABCD题型二:空间向量基本定理的应用4空间四边形中,.点在上,且,为的中点,则等于( )A-B-C-D-5设是正三棱锥,是的重心,是上的一点,且,若,则( )ABCD6如图,在四面体中,点是棱上的点,且,点是棱的中点.若,其中为实数,则的值是( )ABCD 【双基达标】一、单选题7已知是空间的一个基底,若,则( )A是空间的一组基底B是空间的一组基底C是空间的一组基底D与中的任何一个都不能构成空间的一组基底8点是矩形所在平面外一点,且平面,分别是,上的点,且,则满足的实数的值

4、分别为( )ABCD9在下列两个命题中,真命题是( )若三个非零向量,不能构成空间的一个基底,则,共面;若,是两个不共线向量,而 (,且0),则,构成空间的一个基底A仅B仅CD都不是10如图,在长方体中,P是线段上一点,且,若,则( )ABCD1 11如图,在三棱锥中,点,分别是,的中点,点为线段上一点,且,若记,则( )ABCD12下列结论错误的是( ).A三个非零向量能构成空间的一个基底,则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这两个向量共线C若是两个不共线的向量,且(且),则构成空间的一个基底D若不能构成空间的一个基底,则四点共面13如图,已知空间四边形,其对

5、角线为分别是的中点,点在线段上,且使,用向量表示向量为( )ABCD14设:,是三个非零向量;:为空间的一个基底,则是的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件15已知空间向量,满足|=|=1,且,的夹角为,O为空间直角坐标系的原点,点A,B满足=2+,=3-,则OAB的面积为( )ABCD16已知在四棱柱中,四边形为平行四边形,若,则( )ABCD 【高分突破】一:单选题17在空间四边形中,且,则( )ABCD18在三棱锥中,N为中点,则( )ABCD19在平行六面体中,与的交点为,设,则下列向量中与相等的向量是( )ABCD 20如图,在四面体中,分别在棱,上

6、且满足,点是线段的中点,用向量,作为空间的一组基底表示向量应为( )ABCD21已知,则向量与之间的夹角为( ).ABCD以上都不对22给出下列命题:已知,则;、为空间四点,若、不构成空间的一个基底,那么、共面;已知,则、与任何向量都不构成空间的一个基底;若、共线,则、所在直线或者平行或者重合正确的结论的个数为( )A1B2C3D423已知O,A,B,C为空间不共面的四点,且向量=,向量,则不能与构成空间的一个基底的是( )ABCD或 24在棱长为1的正方体中,分别在棱,上,且满足,是平面,平面与平面的一个公共点,设,则( )ABCD 二、多选题25在以下命题中,不正确的命题有( )A是、共线

7、的充要条件B若,则存在唯一的实数,使C对空间任意一点和不共线的三点、,若,则、四点共面D若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底26关于空间向量,以下说法正确的是( )A空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面B若对空间中任意一点,有,则,四点共面C已知向量组是空间的一个基底,若,则也是空间的一个基底D若,则是钝角27已知空间四边形,其对角线为、,、分别是对边、的中点,点在线段上,且,现用基组表示向量,有,则( )ABCD 28如图,在平行六面体中,以顶点为端点的三条棱长都是,且它们彼此的夹角都是,为与的交点.若,.则下列正确的是( )ABC的长为D29下列命题中,正确的命题

8、有( )A是共线的充要条件B若则存在唯一的实数,使得C对空间中任意一点和不共线的三点若,则四点共面D若为空间的一个基底,则构成空间的另一个基底30给出下列命题,其中正确的有( )A空间任意三个向量都可以作为一组基底B已知向量,则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C,是空间四点,若,不能构成空间的一组基底,则,共面D已知是空间向量的一组基底,若,则也是空间一组基底 三、填空题31已知在正方体ABCD一中,点E为底面的中心,则=_,=_,=_32设且是空间的一组基底,给出下列向量组:; 其中可以作为空间的基底的向量组是_(填序号)33如图,已知空间四边形,其对角线为、,是边的中点,是的重心,则用

9、基向量,表示向量的表达式为_.34如图,点M为OA的中点,为空间的一个基底,则有序实数组(x,y,z)=_.35已知为不共面的三个向量,若,则,的值分别为_36下列关于空间向量的命题中,正确的有_若向量,与空间任意向量都不能构成基底,则;若非零向量,满足,则有;若,是空间的一组基底,且,则,四点共面;若向量,是空间一组基底,则,也是空间的一组基底 四、解答题37在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,设,E,F分别是AD1,BD的中点(1)用向量表示,;(2)若,求实数的值38如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BEBB1,DFDD1.求证:A,E

10、,C1,F四点共面.39如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E为A1D1的中点,F为BC1与B1C的交点.(1)用基底表示向量(2)化简,并在图中标出化简结果. 40如图,已知PA平面ABCD,四边形ABCD为正方形,G为PDC的重心,i, j, k,试用基底i,j,k表示向量,. 【答案详解】1C【详解】对于A:由,可得M,A,B,C四点共面,即共面,所以选项A无法构成基底,选项C可以构成基底;对于B:因为,由平面向量基本定理,可得共面,无法构成基底,故B错误;同理选项D中,共面,故D错误.故选:C2D【详解】由空间基底的定义,三个向量不共面,但选项A,B,C三种情形都有可能使共

11、面,只有D才能使这三个向量不共面.故选:D.【点睛】本题考查基底的概念,属于基础题.3C【详解】A:因为,所以向量是共面向量,因此这三个向量不能构成基底;B:因为,所以向量是共面向量,因此这三个向量不能构成基底;C:因为为空间的一组基底,所以这三个向量不共面.若不构成一组基底,则有,所以向量是共面向量,这与这三个向量不共面矛盾,故假设不正确,因此能构成一组基底,D:因为,所以向量是共面向量,因此不能构成一组基底.故选:C4B【详解】解:因为,所以,为的中点,则,.故选:B.5C【详解】如下图所示,连接并延长交于点,则点为的中点,为的重心,可得,而,所以,所以,因此,.故选:C.6C【详解】因为

12、,所以,故.故选:C.7C假设,即,得,这与是空间的一个基底矛盾,故是空间的一组基底,故选:C.8D取的中点,连接,则 ,又因为,由空间向量基本定理可得: 故选:D.9A【详解】解:根据空间向量基底的定义,三个非零向量,不能构成空间的一个基底,则,共面正确,故为真命题;根据平面向量基本定理,若,是两个不共线向量,且 (,且0),则与、所确定的平面共面,即,共面,所以,不能构成空间的一个基底,故为假命题.故选:A.10B【详解】长方体中,依题意,而,又不共面,于是得,所以.故选:B11A【详解】解: ,故选:A12C【详解】A选项,三个非零向量能构成空间的一个基底,则三个非零向量不共面,故A正确

13、;B选项,三个非零向量不共面,则此三个向量可以构成空间的一个基底,若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底,则这三个向量共面,则已知的两个向量共线,如图,故B正确;C选项, 满足,共面,不能构成基底,故C错误,D选项,因为共起点,若,四点不共面,则必能作为空间的一个基底,故D正确,故选C.13A【详解】.因为分别为的中点,所以所以.故选:A.14B当非零向量,共面时,不能是空间的一个基底,由得不出,若为空间的一个基底,则,一定不共面,所以,一定是非零向量,所以由可以得出,因此是的必要不充分条件,故选:B.15B【详解】|=,|=,则cosAOB=,从而有sinAOB=,OAB的面积

14、S=,故选:B16C【详解】据题意,得,所以,即.又因为为空间不共面的三个向量,所以,所以,所以.故选:C.17D 故选:D18B【详解】连接,所以,因为,所以,所以.故选:B.19D【详解】 故选:D20B【详解】连接,如图,则由向量加法的平行四边形法则可得.故选:B.21C因为,所以,两边平方得:,即,所以,因为,所以.故选:C22C对于,若,则,故,故正确;对于,若、不构成空间的一个基底,则、这个向量在同一平面内,故、共面,故正确;对于,当时,若与、不共面,则、可构成空间的一个基底,故不正确;对于,根据向量共线的定义可得其成立,故正确,故选:C.23C【详解】因为=,=,故(),所以与向

15、量共面,故,不能构成空间的一个基底.故选:.24C【详解】如图,为与交点,为中点,为与的交点.过作平行交于.如图,则为中点,所以.所以,因此,因为,所以,.故选:C25ABC【详解】对于A选项,充分性:若,则、方向相反,且,充分性成立;必要性:若、共线且方向相同,则,即必要性不成立,所以,是、共线的充分不必要条件,A选项错误;对于B选项,若,则,但不存在实数,使得,B选项错误;对于C选项,对空间任意一点和不共线的三点、,若、四点共面,可设,其中、,则,可得,由于,此时,、四点不共面,C选项错误;对于D选项,假设、共面,可设,由于为空间的一个基底,可得,该方程组无解,假设不成立,所以,构成空间的

16、另一个基底,D选项正确.故选:ABC.26ABC【详解】对于A中,根据共线向量的概念,可知空间中的三个向量,若有两个向量共线,则这三个向量一定共面,所以是正确的;对于B中,若对空间中任意一点,有,因为,根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面,所以是正确的;对于C中,由是空间中的一组基底,则向量不共面,可得向量不共面,所以也是空间的一组基底,所以是正确的;对于D中,若,又由,所以,所以不正确.故选:ABC27ABC【详解】如下图所示,为的中点,则,为的中点,则,则,则.故选:ABC.28BD【详解】由空间向量的加法法则得,B正确,A错误;由已知,C错;,D正确故选:BD29CD【

17、详解】对于当时,共线成立,但当同向共线时所以是共线的充分不必要条件,故不正确对于B,当时,不存在唯一的实数使得,故不正确对于C,由于,而,根据共面向量定理知四点共面,故正确对于D,若为空间的一个基底,则不共面,由基底的定义可知,不共面,则构成空间的另一个基底,故正确.故选:CD30BCD【详解】选项A中,根据空间基底的概念,可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底,所以A不正确;选项B中,根据空间基底的概念,可得B正确;选项C中,由不能构成空间的一个基底,可得共面,又由过相同点B,可得四点共面,所以C正确;选项D中:由是空间的一个基底,则基向量与向量一定不共面,所以可以构成空间另一个基底

18、,所以D正确故选:BCD.312 1 如图所示,所以,故答案为:2,1,32【详解】如图,平行六面体中,设, 则,因四点共面,则向量共面,而四点不共面,则向量不共面,又四点不共面,则不共面,四点不共面,则也不共面,所以可以作为空间的基底的向量组是.故答案为:33如图所示,连AG延长交BC于,故答案为:.34所以有序实数组,故答案为:.35且不共面,故答案为:36【详解】对于:若向量, 与空间任意向量都不能构成基底,只能两个向量为共线向量,即,故正确;对于:若非零向量,满足,则与不一定共线,故错误;对于:若,是空间的一组基底,且,则,即,可得到,四点共面,故正确;对于:若向量,是空间一组基底,则空间任意一个向量 ,存在唯一实数组,使得,由的唯一性,则,也是唯一的则,也是空间的一组基底,故正确故答案为:37(1),;(2)(1)如图,连接AC,EF,D1F,BD1,(2)38证明:因为,所以,共面,所以A,E,C1,F四点共面.39(1),;(2)如图,连接DA1,则即为所求.40ijk;ijk.【详解】 延长PG交CD于点N,则N为CD的中点,因为G为PDC的重心,所以ijk.ijk.

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