1、人教版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量基本定理精讲精练同步训练【考点梳理】考点一空间向量基本定理如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得pxaybzc.我们把a，b，c叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量考点二空间向量的正交分解1单位正交基底如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用i，j，k表示2向量的正交分解由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得axiyjzk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交
2、分解考点三证明平行、共线、共面问题(1) 对于空间任意两个向量a，b(b0)，ab的充要条件是存在实数，使ab.(2) 如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使pxayb.考点三求夹角、证明垂直问题(1)为a，b的夹角，则cos .(2)若a，b是非零向量，则abab0.知识点三求距离(长度)问题( ) 【题型归纳】题型一：空间向量基底概念与判断1下列能使向量，成为空间的一个基底的关系式是（ ）ABCD2空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（ ）AO，A，B，C四点不共线BO，A，B，C四点共面，但不共线CO，
3、A，B，C四点中任意三点不共线DO，A，B，C四点不共面3若为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）ABCD题型二：空间向量基本定理的应用4空间四边形中，.点在上，且，为的中点，则等于（ ）A-B-C-D-5设是正三棱锥，是的重心，是上的一点，且，若，则（ ）ABCD6如图，在四面体中，点是棱上的点，且，点是棱的中点.若，其中为实数，则的值是（ ）ABCD 【双基达标】一、单选题7已知是空间的一个基底，若，则（ ）A是空间的一组基底B是空间的一组基底C是空间的一组基底D与中的任何一个都不能构成空间的一组基底8点是矩形所在平面外一点，且平面，分别是，上的点，且，则满足的实数的值
4、分别为（ ）ABCD9在下列两个命题中，真命题是（ ）若三个非零向量，不能构成空间的一个基底，则，共面；若，是两个不共线向量，而 (，且0)，则，构成空间的一个基底A仅B仅CD都不是10如图，在长方体中，P是线段上一点，且，若，则（ ）ABCD1 11如图，在三棱锥中，点，分别是，的中点，点为线段上一点，且，若记，则（ ）ABCD12下列结论错误的是（ ）.A三个非零向量能构成空间的一个基底，则它们不共面B两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线C若是两个不共线的向量，且(且)，则构成空间的一个基底D若不能构成空间的一个基底，则四点共面13如图，已知空间四边形，其对
5、角线为分别是的中点，点在线段上，且使，用向量表示向量为（ ）ABCD14设：，是三个非零向量；：为空间的一个基底，则是的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分又不必要条件15已知空间向量，满足|=|=1，且，的夹角为，O为空间直角坐标系的原点，点A，B满足=2+，=3-，则OAB的面积为（ ）ABCD16已知在四棱柱中，四边形为平行四边形，若，则（ ）ABCD 【高分突破】一：单选题17在空间四边形中，且，则（ ）ABCD18在三棱锥中，N为中点，则（ ）ABCD19在平行六面体中，与的交点为，设，则下列向量中与相等的向量是（ ）ABCD 20如图，在四面体中，分别在棱，上
6、且满足，点是线段的中点，用向量，作为空间的一组基底表示向量应为（ ）ABCD21已知，则向量与之间的夹角为（ ）.ABCD以上都不对22给出下列命题：已知，则；、为空间四点，若、不构成空间的一个基底，那么、共面；已知，则、与任何向量都不构成空间的一个基底；若、共线，则、所在直线或者平行或者重合正确的结论的个数为（ ）A1B2C3D423已知O，A，B，C为空间不共面的四点，且向量=，向量，则不能与构成空间的一个基底的是（ ）ABCD或 24在棱长为1的正方体中，分别在棱，上，且满足，是平面，平面与平面的一个公共点，设，则（ ）ABCD 二、多选题25在以下命题中，不正确的命题有（ ）A是、共线
7、的充要条件B若，则存在唯一的实数，使C对空间任意一点和不共线的三点、，若，则、四点共面D若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底26关于空间向量，以下说法正确的是（ ）A空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B若对空间中任意一点，有，则，四点共面C已知向量组是空间的一个基底，若，则也是空间的一个基底D若，则是钝角27已知空间四边形，其对角线为、，、分别是对边、的中点，点在线段上，且，现用基组表示向量，有，则（ ）ABCD 28如图，在平行六面体中，以顶点为端点的三条棱长都是，且它们彼此的夹角都是，为与的交点.若，.则下列正确的是（ ）ABC的长为D29下列命题中，正确的命题
8、有（ ）A是共线的充要条件B若则存在唯一的实数，使得C对空间中任意一点和不共线的三点若，则四点共面D若为空间的一个基底，则构成空间的另一个基底30给出下列命题，其中正确的有（ ）A空间任意三个向量都可以作为一组基底B已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底C，是空间四点，若，不能构成空间的一组基底，则，共面D已知是空间向量的一组基底，若，则也是空间一组基底 三、填空题31已知在正方体ABCD一中，点E为底面的中心，则=_，=_，=_32设且是空间的一组基底，给出下列向量组：； 其中可以作为空间的基底的向量组是_(填序号)33如图，已知空间四边形，其对角线为、，是边的中点，是的重心，则用
9、基向量，表示向量的表达式为_.34如图，点M为OA的中点，为空间的一个基底，则有序实数组（x，y，z）=_.35已知为不共面的三个向量，若，则，的值分别为_36下列关于空间向量的命题中，正确的有_若向量，与空间任意向量都不能构成基底，则；若非零向量，满足，则有；若，是空间的一组基底，且，则，四点共面；若向量，是空间一组基底，则，也是空间的一组基底 四、解答题37在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，设，E，F分别是AD1，BD的中点（1）用向量表示，；（2）若，求实数的值38如图所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.求证：A，E
10、，C1，F四点共面.39如图，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E为A1D1的中点，F为BC1与B1C的交点.（1）用基底表示向量（2）化简，并在图中标出化简结果. 40如图，已知PA平面ABCD，四边形ABCD为正方形，G为PDC的重心，i， j， k，试用基底i，j，k表示向量，. 【答案详解】1C【详解】对于A：由，可得M，A，B，C四点共面，即共面，所以选项A无法构成基底，选项C可以构成基底；对于B：因为，由平面向量基本定理，可得共面，无法构成基底，故B错误；同理选项D中，共面，故D错误.故选：C2D【详解】由空间基底的定义，三个向量不共面，但选项A，B，C三种情形都有可能使共
11、面，只有D才能使这三个向量不共面.故选：D.【点睛】本题考查基底的概念，属于基础题.3C【详解】A：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B：因为，所以向量是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C：因为为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若不构成一组基底，则有，所以向量是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此能构成一组基底，D：因为，所以向量是共面向量，因此不能构成一组基底.故选：C4B【详解】解：因为，所以,为的中点，则，.故选：B.5C【详解】如下图所示，连接并延长交于点，则点为的中点，为的重心，可得，而，所以，所以，因此，.故选：C.6C【详解】因为
12、，所以，故.故选：C.7C假设，即，得，这与是空间的一个基底矛盾，故是空间的一组基底，故选：C.8D取的中点，连接，则 ，又因为，由空间向量基本定理可得： 故选：D.9A【详解】解：根据空间向量基底的定义，三个非零向量，不能构成空间的一个基底，则，共面正确，故为真命题；根据平面向量基本定理，若，是两个不共线向量，且 (，且0)，则与、所确定的平面共面，即，共面，所以，不能构成空间的一个基底，故为假命题.故选：A.10B【详解】长方体中，依题意，而，又不共面，于是得，所以.故选：B11A【详解】解: ,故选:A12C【详解】A选项，三个非零向量能构成空间的一个基底，则三个非零向量不共面，故A正确
13、；B选项，三个非零向量不共面，则此三个向量可以构成空间的一个基底，若两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这三个向量共面，则已知的两个向量共线，如图，故B正确；C选项， 满足，共面，不能构成基底，故C错误，D选项，因为共起点，若，四点不共面，则必能作为空间的一个基底，故D正确，故选C.13A【详解】.因为分别为的中点，所以所以.故选：A.14B当非零向量，共面时，不能是空间的一个基底，由得不出，若为空间的一个基底，则，一定不共面，所以，一定是非零向量，所以由可以得出，因此是的必要不充分条件，故选：B.15B【详解】|=，|=，则cosAOB=，从而有sinAOB=，OAB的面积
14、S=，故选：B16C【详解】据题意，得，所以，即.又因为为空间不共面的三个向量，所以，所以，所以.故选：C.17D 故选：D18B【详解】连接，所以，因为，所以，所以.故选：B.19D【详解】 故选：D20B【详解】连接，如图，则由向量加法的平行四边形法则可得.故选：B.21C因为，所以，两边平方得：，即，所以，因为，所以.故选：C22C对于，若，则，故，故正确；对于，若、不构成空间的一个基底，则、这个向量在同一平面内，故、共面，故正确；对于，当时，若与、不共面，则、可构成空间的一个基底，故不正确；对于，根据向量共线的定义可得其成立，故正确，故选：C.23C【详解】因为=，=，故()，所以与向
15、量共面，故，不能构成空间的一个基底.故选：.24C【详解】如图，为与交点，为中点，为与的交点.过作平行交于.如图,则为中点，所以.所以，因此，因为，所以,.故选：C25ABC【详解】对于A选项，充分性：若，则、方向相反，且，充分性成立；必要性：若、共线且方向相同，则，即必要性不成立，所以，是、共线的充分不必要条件，A选项错误；对于B选项，若，则，但不存在实数，使得，B选项错误；对于C选项，对空间任意一点和不共线的三点、，若、四点共面，可设，其中、，则，可得，由于，此时，、四点不共面，C选项错误；对于D选项，假设、共面，可设，由于为空间的一个基底，可得，该方程组无解，假设不成立，所以，构成空间的
16、另一个基底，D选项正确.故选：ABC.26ABC【详解】对于A中，根据共线向量的概念，可知空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面，所以是正确的;对于B中，若对空间中任意一点，有，因为，根据空间向量的基本定理,可得P,A,B,C四点一定共面，所以是正确的;对于C中，由是空间中的一组基底，则向量不共面，可得向量不共面，所以也是空间的一组基底，所以是正确的;对于D中，若，又由，所以，所以不正确.故选：ABC27ABC【详解】如下图所示，为的中点，则，为的中点，则，则，则.故选：ABC.28BD【详解】由空间向量的加法法则得，B正确，A错误；由已知，C错；，D正确故选：BD29CD【
17、详解】对于当时，共线成立，但当同向共线时所以是共线的充分不必要条件，故不正确对于B，当时，不存在唯一的实数使得，故不正确对于C，由于，而，根据共面向量定理知四点共面，故正确对于D，若为空间的一个基底，则不共面，由基底的定义可知，不共面，则构成空间的另一个基底，故正确.故选：CD30BCD【详解】选项A中，根据空间基底的概念，可得任意三个不共面的向量都可以作为一个空间基底，所以A不正确；选项B中，根据空间基底的概念，可得B正确；选项C中，由不能构成空间的一个基底，可得共面，又由过相同点B，可得四点共面，所以C正确；选项D中：由是空间的一个基底，则基向量与向量一定不共面，所以可以构成空间另一个基底
18、，所以D正确故选：BCD.312 1 如图所示，所以，故答案为：2，1，32【详解】如图，平行六面体中，设， 则，因四点共面，则向量共面，而四点不共面，则向量不共面，又四点不共面，则不共面，四点不共面，则也不共面，所以可以作为空间的基底的向量组是.故答案为：33如图所示，连AG延长交BC于，故答案为：.34所以有序实数组，故答案为：.35且不共面，故答案为：36【详解】对于：若向量， 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即，故正确；对于：若非零向量，满足，则与不一定共线，故错误；对于：若，是空间的一组基底，且，则，即，可得到，四点共面，故正确；对于：若向量，是空间一组基底，则空间任意一个向量 ，存在唯一实数组，使得，由的唯一性，则，也是唯一的则，也是空间的一组基底，故正确故答案为：37（1），；（2）（1）如图，连接AC，EF，D1F，BD1，（2）38证明:因为，所以，共面，所以A，E，C1，F四点共面.39（1），；（2）如图，连接DA1，则即为所求.40ijk；ijk.【详解】 延长PG交CD于点N，则N为CD的中点，因为G为PDC的重心，所以ijk.ijk.
