1、第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 章末测试卷章末测试卷（原卷版）（原卷版）时间：120 分钟满分：150 分一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知过点 M(2，a)，N(a，4)的直线的斜率为12，则|MN|()A10B180C6 3D6 52圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1，2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2)21C(x1)2(y3)21D(x2)2(y3)213过点 P(2，3)，且与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 12 的直线的方程是()A3x2y
2、120B3x2y120C2x3y130D2x3y1304若点 P(3，1)为圆(x2)2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是()Axy20B2xy70C2xy50Dxy405已知直线 l 过点(2，0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是()A(2 2，2 2)B(2，2)C.24，24D.18，186已知圆 C1：x2y2kxy0 和圆 C2：x2y22ky10 的公共弦所在的直线恒过定点M，且点 M 在直线 mxny2 上，则 m2n2的最小值为()A.15B.55C.2 55D.457已知 P，Q 分别为圆 M：(x6)2(y3)24
3、与圆 N：(x4)2(y2)21 上的动点，A为 x 轴上的动点，则|AP|AQ|的最小值为()A5 53B.1013C7 53D5 338 我国魏晋时期的数学家刘徽创立的“割圆术”，也就是用圆内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长先作出圆 x2y22 的一个内接正八边形，使该八边形的其中 4 个顶点在坐标轴上，则下列 4 条直线中不是该八边形的一条边所在直线的为()Ax(21)y 20B(1 2)xy 20Cx(21)y 20D(21)xy 20二、多项选择题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要
4、求的，全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分)9若直线过点(1，2)，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线的方程可能为()Axy10Bxy30C2xy0Dxy1010已知点 M(3，1)，圆 C：(x1)2(y2)24，过点 M 的圆 C 的切线方程可能为()Ax30Bx20C3x4y50D3x4y5011已知圆 C1：x2y2r2(r0)，圆 C2：(xa)2(yb)2r2交于不同的 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是()Aa(x1x2)b(y1y2)0B2ax12by1a2b2Cx1x2aDy1y22b12(2021新高考卷)已知点 P 在
5、圆(x5)2(y5)216 上，点 A(4，0)，B(0，2)，则()A点 P 到直线 AB 的距离小于 10B点 P 到直线 AB 的距离大于 2C当PBA 最小时，|PB|3 2D当PBA 最大时，|PB|3 2三、填空题(本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分把答案填在题中的横线上)13若直线(a1)x2y10 与直线(a21)xay10 平行，则 a 的值为_14已知圆 C：(x5)2y2r2(r0)和直线 l：3xy50.若圆 C 与直线 l 没有公共点，则r 的取值范围是_15已知直线 l：yk(x4)与圆(x2)2y24 相交于 A，B 两点，M 是线段 AB 的中点，
6、则点 M 的轨迹方程为_；点 M 到直线 3x4y60 的距离的最小值为_(本题第一空 2 分，第二空 3 分)16.2020 年是中国传统的农历“鼠年”，有人用 3 个圆构成“卡通鼠”的形象，如图，Q(0，3)是圆 Q 的圆心，圆 Q 过坐标原点 O，点 L，S 均在 x 轴上，圆 L 与圆 S 的半径都等于 2，圆 S、圆 L 均与圆 Q 外切已知直线 l 过点 O.若直线 l 截圆 L、圆 S、圆 Q 所得弦长均等于d，则 d_四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点(1)
7、若点 A(5，0)到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程；(2)求点 A(5，0)到直线 l 的距离的最大值18(12 分)已知经过直线 l1：x2y0 与直线 l2：2xy10 的交点；圆心在直线 2xy0 上；被 y 轴截得弦长|CD|2 2.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由问：是否存在满足条件的圆 Q，使得点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上？19(12 分)求以圆 C1：x2y212x2y130 和圆 C2：x2y212x16y250 的公共弦为直径的圆的方程20(12 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(
8、0，2)和 B(1，1)，且圆心 C 在直线 l：xy50上(1)求圆 C 的标准方程；(2)若 P(x，y)是圆 C 上的动点，求 3x4y 的最大值与最小值21(12 分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点 O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测在放归点 O 的正东方向有一观测站 C，可以对鲸的生活习性进行详细观测已知 OC15 km，观测站 C 的观测半径为 5 km.现以点 O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线 yk x(k0)(1)若测得
9、鲸的行进路线上一点 A(1，1)，求 k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：当鲸运动到何处时，开始进入观测站 C 的观测区域内？(计算结果精确到 0.1)当鲸运动到何处时，离观测站 C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到 0.1)(参考数据：416.4，11.33.4，587.6)22(12 分)已知圆 C：x2(y4)24，直线 l：(3m1)x(1m)y40.(1)求直线 l 所过定点 A 的坐标；(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时 m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点 M(3，4)，在直线 MC 上(C 为圆心)，存在一定点 N(异于点 M)，满足对于圆 C 上任一点
10、P，都有|PM|PN|为一常数，试求所有满足条件的点 N 的坐标及该常数1 已知 A(2，1)，B(1，2)，点 C 为直线 x3y0 上的动点，则|AC|BC|的最小值为()A2 2B2 3C2 5D2 72圆心在曲线 y3x(x0)上，且与直线 3x4y30 相切的面积最小的圆的方程为()A(x 3)2(y 3)29B(x3)2(y1)21652C(x1)2(y3)21852D(x2)2y32293已知直线 l 经过两条直线 l1：xy2，l2：2xy1 的交点，且直线 l 的一个方向向量(3，2)，则直线 l 的方程为()A3x2y10B3x2y10C2x3y50D2x3y104已知圆
11、C1：(xa)2(y2)21 与圆 C2：(xb)2(y2)24 外切，a，b 为正实数，则ab 的最大值为()A2 3B.94C.32D.625若过定点 M(1，0)且斜率为 k 的直线与圆 C：x24xy250 在第一象限内的部分有交点，则实数 k 的取值范围是()A(0，5)B(5，0)C(0，13)D(0，5)6已知在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点分别是 A(0，3)，B(3，3)，C(2，0)，若直线 xa 将ABC 分割成面积相等的两部分，则实数 a 的值是()A.3B122C133D2227【多选题】已知两圆方程为 x2y216 与(x4)2(y3)2r2(r0)，则下列说
12、法正确的是()A若两圆外切，则 r1B若两圆公共弦所在的直线方程为 8x6y370，则 r2C若两圆在交点处的切线互相垂直，则 r3D若两圆有三条公切线，则 r28【多选题】已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()Ax2y21Bx2y237Cx2y24Dx2y21659已知过点 P(4，1)的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线 l 的方程为_10 曲线 y1 9x2与直线 yk(x3)5 有两个交点，则实数 k 的取值范围是_11
13、在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 A(1，0)，B(5，0)若圆 M：(x4)2(ym)24上存在唯一的点 P，使得直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的值为_12已知圆 C 的圆心在直线 l：xy10 上且经过点 A(1，2)，B(1，0)(1)求圆 C 的方程；(2)若过点 D(0，3)的直线 l1被圆 C 截得的弦长为 2 3，求直线 l1的方程13如图，在平面直角坐标系 Oxy 中，过点 P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆 O：x2y24 交于点 A，B，与圆 M：(x2)2(y1)21 交于点 C，D.(1)若|AB|3 72，求 CD 的长；(2)
14、若线段 CD 的中点为 E，求ABE 面积的取值范围14已知圆 C：x2y22x4ym0 与 y 轴相切，O 为坐标原点，动点 P 在圆外，过 P 作圆 C 的切线，切点为 M.(1)求圆 C 的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|2|PO|的点 P 的轨迹方程15已知圆 M：x2(y4)24，点 P 是直线 l：x2y0 上的一动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B.(1)当切线 PA 的长度为 23时，求点 P 的坐标；(2)若PAM 的外接圆为圆 N，试问：当 P 在直线 l 上运动时，圆 N 是否过定点？若过定点，求出所有定点的坐标；若不过定点，请说明理由(3
15、)求线段 AB 长度的最小值第二章第二章 直线和圆的方程直线和圆的方程 章末测试卷章末测试卷（解析版）（解析版）时间：120 分钟满分：150 分一、单项选择题(本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1已知过点 M(2，a)，N(a，4)的直线的斜率为12，则|MN|()A10B180C6 3D6 5答案答案D解析解析kMNa42a12，解得 a10，即 M(2，10)，N(10，4)，所以|MN|（210）2（104）26 5.故选 D.2圆心在 y 轴上，半径为 1，且过点(1，2)的圆的方程为()Ax2(y2)21Bx2(y2
16、)21C(x1)2(y3)21D(x2)2(y3)21答案答案A解析解析方法一(直接法)：设圆心坐标为(0，b)，则由题意知（01）2（b2）21，解得 b2，故圆的方程为 x2(y2)21.故选 A.方法二(数形结合法)：根据点(1，2)到圆心的距离为 1，作图易知圆心为(0，2)，故圆的方程为 x2(y2)21.故选 A.方法三(验证法)：将点(1，2)代入四个选项中，可排除 B、D，又圆心在 y 轴上，所以排除 C.故选 A.3过点 P(2，3)，且与 x 轴的正半轴、y 轴的正半轴围成的三角形的面积等于 12 的直线的方程是()A3x2y120B3x2y120C2x3y130D2x3y
17、130答案答案B解析解析本题主要考查直线的截距式方程及三角形面积的计算 依题意，设直线方程为xayb1(a0，b0)，所以12ab12，2a3b1，所以a4，b6，于是所求直线的方程为x4y61，即 3x2y120.故选 B.4若点 P(3，1)为圆(x2)2y225 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程是()Axy20B2xy70C2xy50Dxy40答案答案D解析解析设圆心为 C(2，0)，所以 kPC01231，所以 kAB1，所以 lAB：xy40.故选D.5已知直线 l 过点(2，0)，当直线 l 与圆 x2y22x 有两个交点时，其斜率 k 的取值范围是()A(2 2，2 2)
18、B(2，2)C.24，24D.18，18答案答案C解析解析易知圆心坐标是(1，0)，半径是 1，直线 l 的斜率存在设直线 l 的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0，由点到直线的距离公式，得|k2k|k211，即 k218，解得24k4，点 M 在圆 C 外部 当过点 M 的直线的斜率不存在时，直线方程为 x3，即 x30.又点 C(1，2)到直线 x30的距离 d312r，直线 x30 是圆 C 的切线；当过点 M 的圆 C 的切线的斜率存在时，设切线方程为 y1k(x3)，即 kxy13k0，则圆心 C 到切线的距离 d|k213k|k2122，解得 k34，切线方程为 y134(x3
19、)，即 3x4y50.综上可得，过点 M 的圆 C 的切线方程为 x30 或 3x4y50.故选 AC.11已知圆 C1：x2y2r2(r0)，圆 C2：(xa)2(yb)2r2交于不同的 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则下列结论正确的是()Aa(x1x2)b(y1y2)0B2ax12by1a2b2Cx1x2aDy1y22b答案答案ABC解析解析因为圆 C1：x2y2r2，圆 C2：(xa)2(yb)2r2，交于不同的 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，所以得到直线 AB 的方程为 2ax2bya2b2，分别把 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点代入直线 AB 的方程可得
20、2ax12by1a2b2，2ax22by2a2b2，故 B 正确；得到 2a(x1x2)2b(y1y2)0，即 a(x1x2)b(y1y2)0，故 A 正确；由圆的性质可知，线段 AB 与线段 C1C2互相平分，所以x1x220a2，y1y220b2，即 x1x2a，y1y2b，故 C 正确，D 错误故选 ABC.12(2021新高考卷)已知点 P 在圆(x5)2(y5)216 上，点 A(4，0)，B(0，2)，则()A点 P 到直线 AB 的距离小于 10B点 P 到直线 AB 的距离大于 2C当PBA 最小时，|PB|3 2D当PBA 最大时，|PB|3 2答案答案ACD解析解析设圆(x
21、5)2(y5)216 的圆心为 M(5，5)，由题易知直线 AB 的方程为x4y21，即 x2y40，则圆心 M 到直线 AB 的距离 d|5254|51154，所以直线 AB 与圆 M相离，所以点 P 到直线 AB 的距离的最大值为 4d4115，而 41155125510，故A 正确易知点 P 到直线 AB 的距离的最小值为 d41154，而11540)和直线 l：3xy50.若圆 C 与直线 l 没有公共点，则r 的取值范围是_答案答案0r 10解析解析因为圆心 C(5，0)到直线 l：3xy50 的距离为|155|32121010 10，所以要使圆 C 与直线 l 没有公共点，则 r
22、的取值范围是 0r0，则 a23223，解得 a4，即 S(4，0)，所以 L(4，0)由题意知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 ykx(k0)，则三个圆心到该直线的距离分别为：d1|4k|1k2，d2|4k|1k2，d3|3|1k2，则 d24(4d12)4(4d22)4(9d32)，即有 44k1k2244k1k229(31k2)2，解得 k2421.则 d24416421142114425，即 d125.四、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)17(10 分)已知直线 l 经过直线 2xy50 与 x2y0 的交点(1)若点 A(5，
23、0)到直线 l 的距离为 3，求直线 l 的方程；(2)求点 A(5，0)到直线 l 的距离的最大值解析解析(1)由2xy50，x2y0得x2，y1，所以交点坐标为(2，1)当直线 l 的斜率存在时，设 l 的方程为 y1k(x2)，即 kxy12k0，则点 A 到直线 l 的距离为|5k12k|k213，解得 k43，所以 l 的方程为 4x3y50；当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 的方程为 x2，符合题意故直线 l 的方程为 4x3y50 或 x2.(2)设直线 2xy50 与 x2y0 的交点为 P，由(1)可知 P(2，1)，过点 P 任意作直线 l(如图所示)，设 d 为点 A
24、 到直线 l 的距离，则 d|PA|(当 lPA 时，等号成立)，由两点间的距离公式可知|PA|10.即所求的距离的最大值为 10.18(12 分)已知经过直线 l1：x2y0 与直线 l2：2xy10 的交点；圆心在直线 2xy0 上；被 y 轴截得弦长|CD|2 2.从上面这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的圆存在，求圆的方程；若问题中圆不存在，请说明理由问：是否存在满足条件的圆 Q，使得点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上？思路分析思路分析由点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上，可知圆心在线段 AB 的垂直平分线 x12上，设圆心坐标为12，b，半径为 r，若选，求出直
25、线 l1和 l2的交点为25，15，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选，由已知圆心12，1，再利用两点之间的距离公式求出半径，即可求得圆的方程；若选，由弦长|CD|2 2，可得半径及圆心，即可求出圆的方程解析解析因为点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上，所以圆心在线段 AB 的垂直平分线上，又线段 AB 的垂直平分线所在直线方程为 x21212，则可设圆心坐标为12，b，圆的半径为 r，若选，存在圆 Q，使得点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上由x2y0，2xy10，解得x25，y15.即直线 l1和 l2的交点为25，15，则圆 Q 过点25，15，所以 r2122
26、52b1521212(b1)2，解得 b1，则 r294.即存在圆 Q，且圆 Q 的方程为x122(y1)294.若选，存在圆 Q，使得点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上由圆心在直线 2xy0 上可得 212 b0，则 b1，所以 r21212(11)294，即存在圆 Q，且圆 Q 的方程为x122(y1)294.若选，存在圆 Q，使得点 A(2，1)，B(1，1)均在圆上若圆被 y 轴截得弦长|CD|2 2，根据圆的性质可得，r2122|CD|2294，由 r21212(b1)294，解得 b1.即存在圆 Q，且圆 Q 的方程为x122(y1)294.19(12 分)求以圆 C1：x2y
27、212x2y130 和圆 C2：x2y212x16y250 的公共弦为直径的圆的方程解析解析因为圆 C1可化为(x6)2(y1)250，所以 C1的坐标为(6，1)，半径 r15 2，同理可得 C2的坐标为(6，8)，半径 r25 5.所以 C1，C2所在的直线方程为 3x4y140.又因为公共弦所在直线的方程为 4x3y20，由3x4y140，4x3y20，得x2，y2，即所求圆的圆心为 C(2，2)，半径 r（5 2）2|C1C|25.所以圆的方程为(x2)2(y2)225.20(12 分)已知圆心为 C 的圆经过点 A(0，2)和 B(1，1)，且圆心 C 在直线 l：xy50上(1)求
28、圆 C 的标准方程；(2)若 P(x，y)是圆 C 上的动点，求 3x4y 的最大值与最小值解析解析(1)线段 AB 的中点为12，32，又 kAB1，所以线段 AB 的垂直平分线方程为 y321x12，即 xy10.由xy10，xy50解得x3，y2，所以圆心 C(3，2)圆 C 的半径 r|AC|（03）2（22）25，故圆 C 的标准方程为(x3)2(y2)225.(2)令 z3x4y，即 3x4yz0.当直线 3x4yz0 与圆 C 相切于点 P 时，z 取得最值，圆心 C(3，2)到直线 3x4yz0 的距离 d|98z|32（4）25，解得 z26 或 z24.故 3x4y 的最大
29、值为 24，最小值为26.21(12 分)为更好地了解鲸的生活习性，某动物保护组织在某头鲸身上安装了电子监测设备，从海岸线放归点 O 处把它放归大海，并沿海岸线由西到东不停地对其进行跟踪观测在放归点 O 的正东方向有一观测站 C，可以对鲸的生活习性进行详细观测已知 OC15 km，观测站 C 的观测半径为 5 km.现以点 O 为坐标原点，以由西向东的海岸线所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系，如图所示，测得鲸的行进路线近似满足曲线 yk x(k0)(1)若测得鲸的行进路线上一点 A(1，1)，求 k 的值；(2)在(1)问的条件下，则：当鲸运动到何处时，开始进入观测站 C 的观测区域内？(计
30、算结果精确到 0.1)当鲸运动到何处时，离观测站 C 最近(观测最便利)？(计算结果精确到 0.1)(参考数据：416.4，11.33.4，587.6)解析解析(1)将 A(1，1)代入 yk x，可得 k1.(2)以 C 为圆心，5 为半径的圆的方程为(x15)2y225，由y x，（x15）2y225，得 x229x2000，x29 412，x111.3，x217.7，当鲸运动到点(11.3，11.3)即(11.3，3.4)处时，开始进入观测站 C 的观测区域内鲸与点 C 的距离为：d（x15）2y2（x15）2x x229x225x29222252922，当 x292时 d 最小故当鲸运
31、动到点292，582即(14.5，3.8)处时，鲸离观测站 C 最近22(12 分)已知圆 C：x2(y4)24，直线 l：(3m1)x(1m)y40.(1)求直线 l 所过定点 A 的坐标；(2)求直线 l 被圆 C 所截得的弦长最短时 m 的值及最短弦长；(3)如图，已知点 M(3，4)，在直线 MC 上(C 为圆心)，存在一定点 N(异于点 M)，满足对于圆 C 上任一点 P，都有|PM|PN|为一常数，试求所有满足条件的点 N 的坐标及该常数解析解析(1)依题意，得 m(3xy)(xy4)0，令3xy0，xy40，解得x1，y3，直线 l 过定点 A(1，3)(2)当 ACl 时，所截
32、得的弦长最短由题知 C(0，4)，圆 C 的半径 r2，kAC43011，kl1，3m1m11，m1.圆心 C 到直线 l 的距离为 d|AC|2，最短弦长为 2 r2d22 2.(3)由题意知直线 MC 的方程为 y4.设定点 N(t，4)(t3)，P(x，y)，|PM|PN|(0)，则|PM|22|PN|2，(x3)2(y4)22(xt)22(y4)2，(x3)24x22(xt)22(4x2)，整理得(62t2)x(2t24213)0，此式对任意的 x2，2恒成立，62t20，2t242130，t43，32或t43，32(舍去)或t3，1(舍去)综上，满足条件的点 N 的坐标为43，4，且
33、|PM|PN|为常数32.1 已知 A(2，1)，B(1，2)，点 C 为直线 x3y0 上的动点，则|AC|BC|的最小值为()A2 2B2 3C2 5D2 7答案答案C解析解析设点 A(2，1)关于直线 x3y0 的对称点为 D(a，b)，则b1a23，a223b120，解得a1，b2，所以 D(1，2)，所以|AC|BC|DC|BC|，当 B，D，C 共线时，|AC|BC|取最小值，最小值为|DB|（11）2（22）22 5.2圆心在曲线 y3x(x0)上，且与直线 3x4y30 相切的面积最小的圆的方程为()A(x 3)2(y 3)29B(x3)2(y1)21652C(x1)2(y3)
34、21852D(x2)2y3229答案答案D解析解析设圆心为(a，b)，半径为 r，则满足条件的圆面积最小即 r 最小，r|3a4b3|3242|3a4b3|52 3a4b35，因为圆心(a，b)在 y3x(x0)上，所以 b3a，即 ab3，所以 rmin2 123353，当且仅当 3a4b，即 a2，b32时取等号，所以此时圆的方程为(x2)2y3229.3已知直线 l 经过两条直线 l1：xy2，l2：2xy1 的交点，且直线 l 的一个方向向量(3，2)，则直线 l 的方程为()A3x2y10B3x2y10C2x3y50D2x3y10答案答案C解析解析方法一：由xy2，2xy1，得x1，
35、y1，由题意，知直线 l 的斜率 k23，所以直线 l 的方程为 y123(x1)，即 2x3y50.故选 C.方法二：由题意设直线 l：xy2(2xy1)0(R)，即(12)x(1)y20，又直线 l 的一个方向向量(3，2)，所以 3(12)2(1)，解得18，所以直线 l的方程为 2x3y50.故选 C.4已知圆 C1：(xa)2(y2)21 与圆 C2：(xb)2(y2)24 外切，a，b 为正实数，则ab 的最大值为()A2 3B.94C.32D.62答案答案B解析解析因为圆 C1：(xa)2(y2)21 的圆心为 C1(a，2)，半径 r11，圆 C2：(xb)2(y2)24 的圆
36、心为 C2(b，2)，半径 r22，所以|C1C2|（ab）2（22）2|ab|12，所以 a2b22ab9，所以(ab)24ab9，所以 ab94（ab）2494，即当 ab时，ab 取得最大值，最大值为94.5若过定点 M(1，0)且斜率为 k 的直线与圆 C：x24xy250 在第一象限内的部分有交点，则实数 k 的取值范围是()A(0，5)B(5，0)C(0，13)D(0，5)答案答案A解析解析圆C的方程x24xy250可化为(x2)2y29，则圆C与x轴正半轴交于点A(1，0)，与 y 轴正半轴交于点 B(0，5)，如图所示，因为过定点 M(1，0)且斜率为 k 的直线与圆 C：x2
37、4xy250 在第一象限内的部分有交点，所以 kMAkkMB，所以 0k0)，则下列说法正确的是()A若两圆外切，则 r1B若两圆公共弦所在的直线方程为 8x6y370，则 r2C若两圆在交点处的切线互相垂直，则 r3D若两圆有三条公切线，则 r2答案答案ABC解析解析由圆的方程可知，两圆圆心分别为(0，0)，(4，3)，半径分别为 4，r，所以圆心距为 5，若两圆外切，则 4r5，即 r1，故 A 正确；此时两圆有三条公切线，故 D 错误；当两圆相交时，两圆公共弦所在的直线方程可由两圆方程相减得到，所以公共弦所在的直线方程为 8x6y41r20，所以41r237，解得 r2，故 B 正确；因
38、为两圆在交点处的切线互相垂直，则一个圆的切线必过另一个圆的圆心，所以两圆圆心距与两圆半径必构成一个直角三角形，故 5242r2，解得 r3，故 C 正确8【多选题】已知ABC 的三个顶点坐标分别为 A(2，3)，B(2，1)，C(6，1)，以原点为圆心的圆与此三角形有唯一的公共点，则该圆的方程为()Ax2y21Bx2y237Cx2y24Dx2y2165答案答案AB解析解析过点 A，C 的直线方程为y131x626，化为一般式为 x2y40，过点 A，B 的直线方程为 x2，过点 B，C 的直线方程为 y1，所以原点 O 到直线 x2y40 的距离 dAC4 55，原点 O 到直线 x2 的距离
39、 dAB2，原点 O 到直线 y1 的距离 dBC1，所以 dABdACdBC，又|OA|（2）232 13，|OB|（2）2（1）2 5，且|OC|62（1）2 37.结合图形可知，若以原点为圆心的圆与ABC 有唯一公共点，则公共点为(0，1)或(6，1)，所以圆的半径为 1 或 37.故选 AB.9已知过点 P(4，1)的直线 l 与 x 轴、y 轴的正半轴分别交于 A，B 两点，O 为坐标原点，当AOB 的面积最小时，直线 l 的方程为_答案答案x4y80解析解析设直线 l：xayb1(a0，b0)，因为直线 l 过点 P(4，1)，所以4a1b124a1b4ab，所以 ab16，当且仅
40、当 a8，b2 时等号成立所以当 a8，b2 时，AOB 的面积 S12ab 取得最小值，此时直线 l 的方程为x8y21，即 x4y80.10 曲线 y1 9x2与直线 yk(x3)5 有两个交点，则实数 k 的取值范围是_答案答案724，23解析解析由题可知，y1 9x2，即 x2(y1)29(y1)，其图象如图所示：又直线 yk(x3)5 即 kxy3k50 过定点 A(3，5)当直线与半圆相切时，则|13k5|k213，解得 k724.当直线过点 B(3，1)时，k513（3）23.所以 k724，23.11在平面直角坐标系 Oxy 中，已知点 A(1，0)，B(5，0)若圆 M：(x
41、4)2(ym)24上存在唯一的点 P，使得直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则实数 m 的值为_答案答案 21解析解析根据题意，设点 P 的坐标为(a，b)，则直线 PA 的方程为 yba1(x1)，其在 y 轴上的截距为ba1，直线 PB 的方程为 yba5(x5)，其在 y 轴上的截距为5ba5.若点 P 满足使直线 PA，PB 在 y 轴上的截距之积为 5，则有ba15ba5 5，变形可得 b2(a2)29，则点 P 在圆(x2)2y29 上若圆 M：(x4)2(ym)24 上存在唯一的点 P 满足题意，则圆 M 与圆(x2)2y29 有且只有一个公共点，即两圆内切或外切又
42、两圆的圆心距为（42）2m22，所以两圆外切，所以 4m225，解得 m 21.12已知圆 C 的圆心在直线 l：xy10 上且经过点 A(1，2)，B(1，0)(1)求圆 C 的方程；(2)若过点 D(0，3)的直线 l1被圆 C 截得的弦长为 2 3，求直线 l1的方程解析解析(1)由题意得，圆心 C 一定在线段 AB 的垂直平分线上，kAB021（1）1，线段 AB 中点为(0，1)，所以直线 AB 的垂直平分线为 xy10.所以直线 l：xy10 与 xy10 的交点即为圆心 C，即 C 的坐标为(1，0)，半径 r|CA|2.所以圆 C 的方程为(x1)2y24.(2)当直线 l1斜
43、率不存在时，方程为 x0，此时圆心到 l1距离为 1，截得的弦长为 2 3，满足题意；当直线 l1斜率存在时，设为 k，则 l1：kxy30，圆心(1，0)到 l1的距离 d|k3|k2142 3221，所以 k43，则直线 l1的方程为 4x3y90.综上，直线 l1的方程为 x0 或 4x3y90.13如图，在平面直角坐标系 Oxy 中，过点 P(0，1)且互相垂直的两条直线分别与圆 O：x2y24 交于点 A，B，与圆 M：(x2)2(y1)21 交于点 C，D.(1)若|AB|3 72，求 CD 的长；(2)若线段 CD 的中点为 E，求ABE 面积的取值范围解析解析(1)直线 AB
44、的斜率显然存在，设为 k，则直线 AB 的方程为 ykx1.因为|AB|221k2124，所以|AB|24k23k21，由 24k23k213 72，得 k215，因为直线 CD 的方程为 y1kx1，所以|CD|2212k1111k22，所以|CD|214k21214151 3.(2)当直线 AB 的斜率不存在时，ABE 的面积 S12424；当直线 AB 的斜率存在时，设其斜率为 k，则直线 AB 的方程为 ykx1，显然 k0，则直线 CD 的方程为 y1kx1，由1k2111k213，因为|AB|221k2124，所以|AB|24k23k21，易知 E 到直线 AB 的距离即 M 到
45、AB 的距离，设为 d，则 d|2k11|k21|2k|k21，所以ABE 的面积 S12|AB|d2（4k23）k2（k21）2，令 k21t4，则 S2（4t1）（t1）t221t25t421t52294，易知1t0，14，所以 S3 52，4.综上，ABE 面积的取值范围为3 52，4.14已知圆 C：x2y22x4ym0 与 y 轴相切，O 为坐标原点，动点 P 在圆外，过 P 作圆 C 的切线，切点为 M.(1)求圆 C 的圆心坐标及半径；(2)求满足|PM|2|PO|的点 P 的轨迹方程解析解析(1)圆 C：x2y22x4ym0 可化为(x1)2(y2)25m，所以圆 C 的圆心坐
46、标为(1，2)又圆 C 与 y 轴相切，所以 5m1，即 m4，故圆 C 的半径为 1.(2)设 P(x，y)，则|PM|2|PC|2|MC|2(x1)2(y2)21，|PO|2x2y2.由于|PM|2|PO|，则(x1)2(y2)214(x2y2)，整理得点 P 的轨迹方程为x132y232179.15已知圆 M：x2(y4)24，点 P 是直线 l：x2y0 上的一动点，过点 P 作圆 M 的切线 PA，PB，切点分别为 A，B.(1)当切线 PA 的长度为 23时，求点 P 的坐标；(2)若PAM 的外接圆为圆 N，试问：当 P 在直线 l 上运动时，圆 N 是否过定点？若过定点，求出所
47、有定点的坐标；若不过定点，请说明理由(3)求线段 AB 长度的最小值解析解析由题意知，圆 M 的半径 r2，M(0，4)，设 P(2b，b)(1)PA 是圆 M 的一条切线，MAP90，|MP|（02b）2（4b）2|AM|2|AP|2 22（2 3）24，解得 b0 或85，点 P 的坐标为(0，0)或165，85.(2)圆 N 过定点(0，4)，85，45.理由如下：MAP90，经过 A，P，M 三点的圆 N 以MP 为直径，其方程为(xb)2yb4224b2（b4）24，即(2xy4)b(x2y24y)0.由2xy40，x2y24y0，解得x0，y4或x85，y45.圆 N 过定点(0，4)，85，45.(3)由(2)得圆 N 的方程为(xb)2yb4224b2（b4）24，即 x2y22bx(b4)y4b0，又圆 M：x2(y4)24，即 x2y28y120，得圆 M 与圆 N 的相交弦 AB 所在直线的方程为 2bx(b4)y124b0，点 M 到直线 AB 的距离 d45b28b16，|AB|2 4d24145b28b164145b452645，当 b45时，|AB|有最小值，为 11.
