1、1、解关于 x 的不等式 x2(1a)xa0.解 方程 x2(1a)xa0 的解为 x11，x2a，函数yx2(1a)xa 的图象开口向上，则当 a1 时，原不等式解集为x|ax1； 当 a1 时，原不等式解集为 ?； 当 a1 时，原不等式解集为 x|1xa 一、含参一元二次不等式解法一、含参一元二次不等式解法12解关于 x 的不等式：ax2(a1)x10(aR)解：解：原不等式可化为：原不等式可化为： (ax1)(x1)0，当 a0 时，x1，当 a0 时时?x1a(x 1)0 1ax1.当当 a1 时，x1， 2当1a0 时，?x1a(x1)0，x1a或 x1. 当 a1 时，1a1，x
2、1 或 x1a， 综上原不等式的解集是： 当 a0 时，x|x1；当 a0 时，?x|1ax1 ； 当 a1 时，x|x1；当1a0 时，?x|x1或x1a. 当 a1 时，?x|x1a或x1 ， 3类题通法 解含参数的一元二次不等式时： (1)若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0 与小于 0 进行讨论； (2)若求对应一元二次方程的根需用公式，则应对判别式进行讨论； (3)若求出的根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论 43、已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为x|1x2，求关于 x 的不等式 bx2ax10 的解集解解 x2axb0 的解集为x|1x2， 1,2 是 x2
3、axb0 的两根 由韦达定理有? a12，b12， 5得? ? ? ? ? ? a3，b2， 代入所求不等式，得 2x23x10. 由 2x23x10? (2x1)(x1)0? x12或 x1. bx2ax10 的解集为? ? ? ? ? ? ?，12(1，) 6类题通法类题通法 1一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2bxc0 的根，也是函数 yax2bxc 与 x轴交点的横坐标 2二次函数 yax2bxc 的图象在 x 轴上方的部分，是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的；图象在 x 轴下方的部分，是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的，
4、三者之间相互依存、相互转化 74 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax2 bx c 0 的 解 集 是x|x2 或 x12 ，求 ax2bxc0 的解集81、关于 x 的不等式(1m)x2mxmx21 对 xR 恒成立，求实数m 的取值范围解 原不等式等价于 mx2mxm10，对 xR 恒成立，当 m0 时，0 x20 x10 对 xR 恒成立当 m0 时，由题意，得? m0，m24m?m1?0? m0，3m24m0? m0，m0，或m43?m0.综上，m 的取值范围为 m0. 二、不等式恒成立9类题通法类题通法 不等式对任意实数 x 恒成立，就是不等式的解集为 R，对于一元 二 次
5、不 等 式 ax2 bx c 0， 它 的 解 集 为 R 的 条件 为? a0，b24ac0；一元二次不等式 ax2bxc0， 它的解集为 R的条件为? a0，b24ac0；一元二次不等式 ax2bxc0 的解集为?的条件为? a0，0. 102若关于 x 的不等式ax22x20 在R 上恒成立，求实数a 的取值范围解：当当 a0 时，原不等式可化为时，原不等式可化为 2x20，其解集不为，其解集不为 R，故a0 不满足题意，舍去；当不满足题意，舍去；当a0 时，要使原不等式的解集为时，要使原不等式的解集为 R，只需需? a0，2242a0，解得 a12.综上，所求实数 a 的取值范围为的取
6、值范围为?12， . 112、已知 f(x)x22(a2)x4，如果对一切 xR，f(x)0 恒成立，求实数 a 的取值范围；解解 由题意可知，只有当二次函数 f(x)x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点时，才满足题意， 则其相应方程 x22(a2)40 此时应满足 0，即 4(a2)2160，解得 0a4.故 a 的取值范围是a|0a4 12解 若对任意，x3,1，f(x)0恒成立，则满足题意的函数f(x)x22(a2)x4的图象如图所示由图象可知，此时 a应该满足? f?3?0，f?1?0，32a1， 变式1、是否存在实数a，使得对任意x3,1，f(x)0恒成立若存在求出
7、a的取值范围；若不存在说明理由13即? ? ? ? ? ? 256a0，12a0，1a5，解得? ? ? ? ? ? ? ? a256，a12，1a5. 这样的实数a是不存在的，所以不存在实数 a满足：对任意x 3,1，f(x)0恒成立 14变式 2、已知函数 yx22(a2)x4，对任意 a3,1，y0 恒成立，试求 x 的取值范围解：解：原函数可化为g(a)2xax24x4，是关于，是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1，y0恒成立，只需满足? g?1?0，g?3?0，即? x22x40，x210 x40. 因为x22x40的解集是空集，所以不存在实数 x，使函数yx22(a2)x4，对任意a3,1，y0恒成立 15
