含参一元二次不等式解法及简单恒成立分析课件.ppt

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1、1、解关于 x 的不等式 x2(1a)xa0.解 方程 x2(1a)xa0 的解为 x11,x2a,函数yx2(1a)xa 的图象开口向上,则当 a1 时,原不等式解集为x|ax1; 当 a1 时,原不等式解集为 ?; 当 a1 时,原不等式解集为 x|1xa 一、含参一元二次不等式解法一、含参一元二次不等式解法12解关于 x 的不等式:ax2(a1)x10(aR)解:解:原不等式可化为:原不等式可化为: (ax1)(x1)0,当 a0 时,x1,当 a0 时时?x1a(x 1)0 1ax1.当当 a1 时,x1, 2当1a0 时,?x1a(x1)0,x1a或 x1. 当 a1 时,1a1,x

2、1 或 x1a, 综上原不等式的解集是: 当 a0 时,x|x1;当 a0 时,?x|1ax1 ; 当 a1 时,x|x1;当1a0 时,?x|x1或x1a. 当 a1 时,?x|x1a或x1 , 3类题通法 解含参数的一元二次不等式时: (1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0 与小于 0 进行讨论; (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式进行讨论; (3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论 43、已知关于 x 的不等式 x2axb0 的解集为x|1x2,求关于 x 的不等式 bx2ax10 的解集解解 x2axb0 的解集为x|1x2, 1,2 是 x2

3、axb0 的两根 由韦达定理有? a12,b12, 5得? ? ? ? ? ? a3,b2, 代入所求不等式,得 2x23x10. 由 2x23x10? (2x1)(x1)0? x12或 x1. bx2ax10 的解集为? ? ? ? ? ? ?,12(1,) 6类题通法类题通法 1一元二次不等式 ax2bxc0(a0)的解集的端点值是一元二次方程 ax2bxc0 的根,也是函数 yax2bxc 与 x轴交点的横坐标 2二次函数 yax2bxc 的图象在 x 轴上方的部分,是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的;图象在 x 轴下方的部分,是由不等式 ax2bxc0 的 x 的值构成的,

4、三者之间相互依存、相互转化 74 、 已 知 关 于 x 的 不 等 式 ax2 bx c 0 的 解 集 是x|x2 或 x12 ,求 ax2bxc0 的解集81、关于 x 的不等式(1m)x2mxmx21 对 xR 恒成立,求实数m 的取值范围解 原不等式等价于 mx2mxm10,对 xR 恒成立,当 m0 时,0 x20 x10 对 xR 恒成立当 m0 时,由题意,得? m0,m24m?m1?0? m0,3m24m0? m0,m0,或m43?m0.综上,m 的取值范围为 m0. 二、不等式恒成立9类题通法类题通法 不等式对任意实数 x 恒成立,就是不等式的解集为 R,对于一元 二 次

5、不 等 式 ax2 bx c 0, 它 的 解 集 为 R 的 条件 为? a0,b24ac0;一元二次不等式 ax2bxc0, 它的解集为 R的条件为? a0,b24ac0;一元二次不等式 ax2bxc0 的解集为?的条件为? a0,0. 102若关于 x 的不等式ax22x20 在R 上恒成立,求实数a 的取值范围解:当当 a0 时,原不等式可化为时,原不等式可化为 2x20,其解集不为,其解集不为 R,故a0 不满足题意,舍去;当不满足题意,舍去;当a0 时,要使原不等式的解集为时,要使原不等式的解集为 R,只需需? a0,2242a0,解得 a12.综上,所求实数 a 的取值范围为的取

6、值范围为?12, . 112、已知 f(x)x22(a2)x4,如果对一切 xR,f(x)0 恒成立,求实数 a 的取值范围;解解 由题意可知,只有当二次函数 f(x)x22(a2)x4的图象与直角坐标系中的 x 轴无交点时,才满足题意, 则其相应方程 x22(a2)40 此时应满足 0,即 4(a2)2160,解得 0a4.故 a 的取值范围是a|0a4 12解 若对任意,x3,1,f(x)0恒成立,则满足题意的函数f(x)x22(a2)x4的图象如图所示由图象可知,此时 a应该满足? f?3?0,f?1?0,32a1, 变式1、是否存在实数a,使得对任意x3,1,f(x)0恒成立若存在求出

7、a的取值范围;若不存在说明理由13即? ? ? ? ? ? 256a0,12a0,1a5,解得? ? ? ? ? ? ? ? a256,a12,1a5. 这样的实数a是不存在的,所以不存在实数 a满足:对任意x 3,1,f(x)0恒成立 14变式 2、已知函数 yx22(a2)x4,对任意 a3,1,y0 恒成立,试求 x 的取值范围解:解:原函数可化为g(a)2xax24x4,是关于,是关于a的一元一次函数要使对任意a3,1,y0恒成立,只需满足? g?1?0,g?3?0,即? x22x40,x210 x40. 因为x22x40的解集是空集,所以不存在实数 x,使函数yx22(a2)x4,对任意a3,1,y0恒成立 15

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