1、 巧用极化恒等式，妙解高考向量题 想一想想一想 在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别在处理向量的问题中，一个强有力的工具，特别在求向量数量积最值的时候，甚至是在求向量数量积最值的时候，甚至是“秒杀秒杀”某些高某些高考向量题，那就是向量的极化恒等式。考向量题，那就是向量的极化恒等式。22)()(4bababa4)()(22bababaM 在 中，M为BC的中点，易推导得到以下恒等式：ABC222241)2(BMAMBCAMACAB)(21)3(22ACABCBAM2,cos|) 1 (222acbcbAACABACAB即余弦定理的向量形式：ABCM)(22222BMAMACAB结论：中线长
2、公式： 例例1 116 例例2 2DABCP0P CACBABCEABDPDPPDBCDPCPBPBCPDPCPBBCD002200022|4141的中点，则是设 的最小值是，则相交于点与为弧上的动点，中，的扇形如图，在半径为BPOPPOCABCAOBAOB60121,16123,43| |,|41)2(41)()(4122222故取值范围是而易知：，于，作的中点取ADDEPDPDBOPDPBPOPBPOPBPOBPOPEABDEDOB161 ._OO2. 2的取值范围是则上的一个动点，是圆，点的圆内接于半径为（自编）已知正三角形例PBPAPABC 的取值范围。，求为半径的圆上任意一点为圆心，
3、是以，设的长为的斜边已知PBPACPABABCRT14314|4)2()2(22222解：PMPMABPMPBPAPBPAPBPA5 , 3PBPA 的取值范围为，则且内，点在平面，中，在|96108PAPCPBABCPACBCABABC中点为点解：BCDBCPDPCPB,|41|224| PD9 , 1 |DPDAPA 的取值范围是则，为直径的圆弧以，动点的边长为设正方形PDPCAPBABPABCD4160,52 , 2|, 4|4122222，故得内使用极化恒等式，在，联结的中点取PDPCPEPECDPEEDPEPDPCPDCPEECD 的最小值是，则的面积为若上，在直线的中点，点，分别是
4、线段，中，点在22BCPBPCABCEFPACABFEABC时等号成立。，当且仅当从而原式从而的高为的高因为内使用恒等式得：，在的中点取42222222234|32|43|4|43|,|2|,|2,|4,|41|BCBCPDBCBCBCPDBCPDBCPBCBChABCBCPDBDPDPBPCPBCDBC 的最大值为则滑动，含原点轴轴分别在顶点正方形例：如图，边长为OCOByxDAABCD)(,12:81)211 (41|4)()(42222OCOBOEOCOBOCOBOCOB因而有解：)sincos,(sin),cos,sin(cos，法二：建系，令OCOBOAD 13 演练提升160，32
5、 ，则中，例：在|0)2()2(ABCBCACBCACBCAABC3|, 0)2()(2302)2()2(2)2()2()2()2(2222ABCBCACBCACBCACBCACBCACBCACBCACBCACBCA 的最大值为，则若，满足及实数已知向量tbabtatba2, 3|,3|494|49)()(412222btabtabtabtabtabtat当且仅当 为半径的圆为起点，以以的轨迹是的中点，即点为设从而解：22,)2()2(, 0)()2()()(42222DCABDbOBaOAbabacbacbacbca ACDB1A1B1C1D.P例例4 4数量积有关数量积有关的范围问题的范围
6、问题.M121， 121,23, 1 |2|4|44222，故而PMPMACPMPCPA 的取值范围。，求为长方体表面上的动点，于两点的直线与长方体表面交的中点，过为对角线，中，长方体年浙江五校二模PNPMPNMOACOAAADABDCBAABCD1442)2014(11111222241)2()2(MNPOPNPMPNPMPNPM,6 , 2|MN3 , 1 |PO8 , 8PNPM 23|, 4|4)2(|44. 1,222故最大值为而球半径为设球心为POPORPOPNPMRO的最大值为则最大时，当弦为正方体表面上的动点是它内切球的一条弦，例：正方体的棱长为PNPMMNPMN, 2 例例3 3B0C 的最小值。上的动点，求为直线点经过原点，上，且线段在椭圆，已知MBMAyxMAByxBA015431422222241)2()2(ABMOMBMAMBMAMBMA3515|minMO5322a最小值为 课堂小结课堂小结（1）一个等式：极化恒等式）一个等式：极化恒等式2241bababa平行四边形模型平行四边形模型 三角形模型三角形模型向量数量积向量数量积（2）两大思想：数形结合）两大思想：数形结合 等价转化等价转化
