高中数学《极化恒等式》PPT教学课件.ppt

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1、 巧用极化恒等式,妙解高考向量题 想一想想一想 在处理向量的问题中,一个强有力的工具,特别在处理向量的问题中,一个强有力的工具,特别在求向量数量积最值的时候,甚至是在求向量数量积最值的时候,甚至是“秒杀秒杀”某些高某些高考向量题,那就是向量的极化恒等式。考向量题,那就是向量的极化恒等式。22)()(4bababa4)()(22bababaM 在 中,M为BC的中点,易推导得到以下恒等式:ABC222241)2(BMAMBCAMACAB)(21)3(22ACABCBAM2,cos|) 1 (222acbcbAACABACAB即余弦定理的向量形式:ABCM)(22222BMAMACAB结论:中线长

2、公式: 例例1 116 例例2 2DABCP0P CACBABCEABDPDPPDBCDPCPBPBCPDPCPBBCD002200022|4141的中点,则是设 的最小值是,则相交于点与为弧上的动点,中,的扇形如图,在半径为BPOPPOCABCAOBAOB60121,16123,43| |,|41)2(41)()(4122222故取值范围是而易知:,于,作的中点取ADDEPDPDBOPDPBPOPBPOPBPOBPOPEABDEDOB161 ._OO2. 2的取值范围是则上的一个动点,是圆,点的圆内接于半径为(自编)已知正三角形例PBPAPABC 的取值范围。,求为半径的圆上任意一点为圆心,

3、是以,设的长为的斜边已知PBPACPABABCRT14314|4)2()2(22222解:PMPMABPMPBPAPBPAPBPA5 , 3PBPA 的取值范围为,则且内,点在平面,中,在|96108PAPCPBABCPACBCABABC中点为点解:BCDBCPDPCPB,|41|224| PD9 , 1 |DPDAPA 的取值范围是则,为直径的圆弧以,动点的边长为设正方形PDPCAPBABPABCD4160,52 , 2|, 4|4122222,故得内使用极化恒等式,在,联结的中点取PDPCPEPECDPEEDPEPDPCPDCPEECD 的最小值是,则的面积为若上,在直线的中点,点,分别是

4、线段,中,点在22BCPBPCABCEFPACABFEABC时等号成立。,当且仅当从而原式从而的高为的高因为内使用恒等式得:,在的中点取42222222234|32|43|4|43|,|2|,|2,|4,|41|BCBCPDBCBCBCPDBCPDBCPBCBChABCBCPDBDPDPBPCPBCDBC 的最大值为则滑动,含原点轴轴分别在顶点正方形例:如图,边长为OCOByxDAABCD)(,12:81)211 (41|4)()(42222OCOBOEOCOBOCOBOCOB因而有解:)sincos,(sin),cos,sin(cos,法二:建系,令OCOBOAD 13 演练提升160,32

5、 ,则中,例:在|0)2()2(ABCBCACBCACBCAABC3|, 0)2()(2302)2()2(2)2()2()2()2(2222ABCBCACBCACBCACBCACBCACBCACBCACBCACBCA 的最大值为,则若,满足及实数已知向量tbabtatba2, 3|,3|494|49)()(412222btabtabtabtabtabtat当且仅当 为半径的圆为起点,以以的轨迹是的中点,即点为设从而解:22,)2()2(, 0)()2()()(42222DCABDbOBaOAbabacbacbacbca ACDB1A1B1C1D.P例例4 4数量积有关数量积有关的范围问题的范围

6、问题.M121, 121,23, 1 |2|4|44222,故而PMPMACPMPCPA 的取值范围。,求为长方体表面上的动点,于两点的直线与长方体表面交的中点,过为对角线,中,长方体年浙江五校二模PNPMPNMOACOAAADABDCBAABCD1442)2014(11111222241)2()2(MNPOPNPMPNPMPNPM,6 , 2|MN3 , 1 |PO8 , 8PNPM 23|, 4|4)2(|44. 1,222故最大值为而球半径为设球心为POPORPOPNPMRO的最大值为则最大时,当弦为正方体表面上的动点是它内切球的一条弦,例:正方体的棱长为PNPMMNPMN, 2 例例3 3B0C 的最小值。上的动点,求为直线点经过原点,上,且线段在椭圆,已知MBMAyxMAByxBA015431422222241)2()2(ABMOMBMAMBMAMBMA3515|minMO5322a最小值为 课堂小结课堂小结(1)一个等式:极化恒等式)一个等式:极化恒等式2241bababa平行四边形模型平行四边形模型 三角形模型三角形模型向量数量积向量数量积(2)两大思想:数形结合)两大思想:数形结合 等价转化等价转化

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