1、 第一节 绝对值不等式 主干知识梳理 一、绝对值三角不等式 1定理1：如果a，b是实数，则|ab| ，当且仅当时，等号成立 2定理2：如果a，b，c是实数，那么|ac|，当且仅当 时，等号成立|a|b|ab0|ab|bc|(ab)(bc)0 二、绝对值不等式的解法 1不等式|x|a的解集：不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa，或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法：(1)|axb|c；(2)|axb|c(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法：方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；caxbcaxbc或axbc 方法二：利用“零
2、点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想3|x|22|x|150的解集是_解析|x|22|x|150，|x|5或|x|3(舍去)，x5.答案(，5)(5，)4若存在实数x满足不等式|x4|x3|a，则实数a的取值范围是_解析由绝对值不等式的几何性质知，|x4|x3|(x4)(x3)|1，所以函数y|x4|x3|的最小值为1，又因为原不等式有实数解，所以a的取值范围是(1，)答案(1，) 关键要点点拨 1不等式|xa|xb|c的解就是数轴上到A(a)，B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数，只要在数轴上确定出具有上述特点的点
3、的位置，就可以得出不等式的解 2不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|；不等式|a|b|ab|a|b|，右侧“”成立的条件是ab0，左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|. 绝对值不等式的解法 规律方法 形如|xa|xb|c不等式的常用解法： (1)零点分段讨论法，其步骤为： 求零点；划分区间、去绝对值号；分别解去掉绝对值的不等式；取每个结果的并集，特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值 (2)用|xa|xb|的几何意义求解 (3)数形结合，作出y|xa|xb|的图象，直观求解 其图象如图所示由图象可知，当且仅当x(0,2)时，y0.
4、所以原不等式的解集是x|0 x2绝对值三角不等式的应用 绝对值不等式的证明 规律方法 含绝对值不等式的证明题主要分两类：一类是比较简单的不等式，往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题，或利用绝对值三角不等式定理：|a|b|ab|a|b|，通过适当的添、拆项证明；另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式，往往可考虑利用一般情况成立，则特殊情况也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 【高手支招】 解含有参数的绝对值不等式时，以下几点在备考时要高度关注： (1)要准确、熟练地利用绝对值的定义或公式法、平方法、几何意义法、零点分段讨论法等去掉绝对值 (2)去掉绝对值的几种方法应用时各有利弊，在解只含有一个绝对值的不等式时，用公式法较为简便；但若不等式含有多个绝对值时，则应采用分段讨论法；应用平方法时，要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行因此，我们在去绝对值符号时，用何种方法需视具体情况而定 (3)将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，这是命题的新动向，解题时强化函数；数形结合与转化化归思想方法的灵活应用
