1、 第一节 绝对值不等式 主干知识梳理 一、绝对值三角不等式 1定理1:如果a,b是实数,则|ab| ,当且仅当时,等号成立 2定理2:如果a,b,c是实数,那么|ac|,当且仅当 时,等号成立|a|b|ab0|ab|bc|(ab)(bc)0 二、绝对值不等式的解法 1不等式|x|a的解集:不等式a0a0a0|x|ax|axax|xa,或x0)和|axb|c(c0)型不等式的解法:(1)|axb|c;(2)|axb|c(3)|xa|xb|c(c0)和|xa|xb|c(c0)型不等式的解法:方法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想;caxbcaxbc或axbc 方法二:利用“零
2、点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 方法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想3|x|22|x|150的解集是_解析|x|22|x|150,|x|5或|x|3(舍去),x5.答案(,5)(5,)4若存在实数x满足不等式|x4|x3|a,则实数a的取值范围是_解析由绝对值不等式的几何性质知,|x4|x3|(x4)(x3)|1,所以函数y|x4|x3|的最小值为1,又因为原不等式有实数解,所以a的取值范围是(1,)答案(1,) 关键要点点拨 1不等式|xa|xb|c的解就是数轴上到A(a),B(b)两点的距离之和不小于c的点所对应的实数,只要在数轴上确定出具有上述特点的点
3、的位置,就可以得出不等式的解 2不等式|a|b|ab|a|b|,右侧“”成立的条件是ab0,左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|;不等式|a|b|ab|a|b|,右侧“”成立的条件是ab0,左侧“”成立的条件是ab0且|a|b|. 绝对值不等式的解法 规律方法 形如|xa|xb|c不等式的常用解法: (1)零点分段讨论法,其步骤为: 求零点;划分区间、去绝对值号;分别解去掉绝对值的不等式;取每个结果的并集,特别注意在分段时不要漏掉区间的端点值 (2)用|xa|xb|的几何意义求解 (3)数形结合,作出y|xa|xb|的图象,直观求解 其图象如图所示由图象可知,当且仅当x(0,2)时,y0.
4、所以原不等式的解集是x|0 x2绝对值三角不等式的应用 绝对值不等式的证明 规律方法 含绝对值不等式的证明题主要分两类:一类是比较简单的不等式,往往可通过平方法、换元法去掉绝对值符号转化为常见的不等式证明题,或利用绝对值三角不等式定理:|a|b|ab|a|b|,通过适当的添、拆项证明;另一类是综合性较强的函数型含绝对值的不等式,往往可考虑利用一般情况成立,则特殊情况也成立的思想,或利用一元二次方程的根的分布等方法来证明 【高手支招】 解含有参数的绝对值不等式时,以下几点在备考时要高度关注: (1)要准确、熟练地利用绝对值的定义或公式法、平方法、几何意义法、零点分段讨论法等去掉绝对值 (2)去掉绝对值的几种方法应用时各有利弊,在解只含有一个绝对值的不等式时,用公式法较为简便;但若不等式含有多个绝对值时,则应采用分段讨论法;应用平方法时,要注意只有在不等式两边均为正的情况下才能施行因此,我们在去绝对值符号时,用何种方法需视具体情况而定 (3)将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透,这是命题的新动向,解题时强化函数;数形结合与转化化归思想方法的灵活应用