2021年全国统一高考乙卷数学试卷（文科）（新课标ⅰ）（原卷版及答案解析版）.doc

1、 2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文）一选择题1.已知全集，集合，则（ )A. B.C. D.2.设，则（ ）A. B.C. D.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B.C. D.4.函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A.和 B.和C.和 D.和5.若满足约束条件则的最小值为（ ）A. B.C. D.6.（ ）A. B.C. D.7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（ ）A. B.C. D.8.下列函数中最小值为的是（ ）A. B.C. D.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B.C. D.10.在正方体中，为的中点，则直线与

2、所成的角为A. B.C. D.11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为A. B.C. D.12.设，若为函数的极大值点，则A. B.C. D.二、填空题13.已知向量，若，则 .14.双曲线的右焦点到直线的距离为 .15.记的内角，的对边分别为，面积为， ,，则 .16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010

3、.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.（1）证明：平面平面（2）若，求四棱锥的体积.19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记，和分别为和的前项和.证明：.20.已知抛物

4、线：的焦点到准线的距离为.（1）求的方程，（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文）一选择题1.已知全集，集合，则（ )A.B.C.D.2.设，则（ ）A.B.C.D.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题

5、的是（ ）A.B.C.D.答案：A解析：根据正弦函数的值域，故，为真命题，而函数为偶函数，且时，故，恒成立.则也为真命题，所以为真，选A.4.函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A.和B.和C.和D.和答案：C解析：，.故选C.5.若满足约束条件则的最小值为（ ）A.B.C.D.答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，的最小值，即，轴截距最小值.根据图像可知过点时满足题意，即.6.（ ）A.B.C.D.答案：D解析：选D.7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（ ）A.B.C.D.答案：B解析：在区间随机取个数，可知总长度，取到的数小于，可知取到的长度范围，根据几何概型公式，选B.8.下

6、列函数中最小值为的是（ ）A.B.C.D.答案：C解析：对于A，.不符合，对于B，令，根据对勾函数不符合，对于C，令，当且仅当时取等，符合，对于D，令，.根据对勾函数，不符合.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A.B.C.D.答案：B解析：，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.所以选B.10.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为A.B.C.D.答案：D解析：做出图形，所以为异面直线所成角，设棱长为.，.，即，故选D.11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为A.B.C.D.答案：A解析：方法一：由，则的参数方程：.，故选A.方法二：设，则，.因此将式代入式化简得：，

7、当且仅当时的最大值为，故选A.12.设，若为函数的极大值点，则A.B.C.D.答案：D解析：当时，原函数先增再减后增.原函数在的较小零点时取得极大值.即，即，.当时，原函数先减再增后减.原函数在的较大零点时取得极大值.即，故选D.二、填空题13.已知向量，若，则 .答案：解析：由已知可得.14.双曲线的右焦点到直线的距离为 .答案：解析：的右焦点为，到直线的距离.15.记的内角，的对边分别为，面积为， ,，则 .答案：解析：由面积公式，且，解得，又由余弦定理，且解得.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求

8、的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1），平面平面，俯视图为.俯视图为，如图（2），平面，俯视图为.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显

9、著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：；.（2）.则，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.（1）证明：平面平面（2）若，求四棱锥的体积.答案：见解析解析：19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记，和分别为和的前项和.证明：.答案：见解析解析：设的公比为，则，因为，成等差数列，所以，解得，故，.又，则，两边同乘，则，两式相减，得，即，整理得，故.20.已知抛物线：的焦点到准线的距离为.（1

10、）求的方程，（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为，则.抛物线的方程：.（2）设点，.则.直线斜率的最大值为.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）（i）当，即时，恒成立，即在在上单调递增.（ii）当，即时，解得，.在，单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减.（2）设可原点切线的切点为，切线斜率.又，可得.化简得，即.切点为，斜率，切线方程为，将，联立可得，化简得，解得，.过原点的切线与公共点坐标为，.22.在直角坐标系中，的圆心

11、为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）的参数方程为（为参数）（2）的方程为当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，此时圆心到直线的距离为，化简得，两边平方有，所以代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.答案：见解析解析：当时，当时，不等式，解得；当时，不等式，解得；当时，不等式，解得.综上，原不等式的解集为.（2）若，即，因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.