1、 2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文）一选择题1.已知全集，集合，则（ )A. B.C. D.2.设，则（ ）A. B.C. D.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题的是（ ）A. B.C. D.4.函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A.和 B.和C.和 D.和5.若满足约束条件则的最小值为（ ）A. B.C. D.6.（ ）A. B.C. D.7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（ ）A. B.C. D.8.下列函数中最小值为的是（ ）A. B.C. D.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A. B.C. D.10.在正方体中，为的中点，则直线与
2、所成的角为A. B.C. D.11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为A. B.C. D.12.设，若为函数的极大值点，则A. B.C. D.二、填空题13.已知向量，若，则 .14.双曲线的右焦点到直线的距离为 .15.记的内角，的对边分别为，面积为， ,，则 .16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求的一组答案即可）.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010
3、.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.（1）证明：平面平面（2）若，求四棱锥的体积.19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记，和分别为和的前项和.证明：.20.已知抛物
4、线：的焦点到准线的距离为.（1）求的方程，（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.22.在直角坐标系中，的圆心为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.2021年普通高等学校招生全国统一考试（全国乙卷） 数学（文）一选择题1.已知全集，集合，则（ )A.B.C.D.2.设，则（ ）A.B.C.D.3.已知命题；命题，则下列命题中为真命题
5、的是（ ）A.B.C.D.答案：A解析：根据正弦函数的值域，故，为真命题，而函数为偶函数，且时，故，恒成立.则也为真命题，所以为真，选A.4.函数的最小正周期和最大值分别是（ ）A.和B.和C.和D.和答案：C解析：，.故选C.5.若满足约束条件则的最小值为（ ）A.B.C.D.答案：C解析：根据约束条件可得图像如下，的最小值，即，轴截距最小值.根据图像可知过点时满足题意，即.6.（ ）A.B.C.D.答案：D解析：选D.7.在区间随机取个数，则取到的数小于的概率为（ ）A.B.C.D.答案：B解析：在区间随机取个数，可知总长度，取到的数小于，可知取到的长度范围，根据几何概型公式，选B.8.下
6、列函数中最小值为的是（ ）A.B.C.D.答案：C解析：对于A，.不符合，对于B，令，根据对勾函数不符合，对于C，令，当且仅当时取等，符合，对于D，令，.根据对勾函数，不符合.9.设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）A.B.C.D.答案：B解析：，向右平移一个单位，向上平移一个单位得到为奇函数.所以选B.10.在正方体中，为的中点，则直线与所成的角为A.B.C.D.答案：D解析：做出图形，所以为异面直线所成角，设棱长为.，.，即，故选D.11.设是椭圆:的上顶点，点在上，则的最大值为A.B.C.D.答案：A解析：方法一：由，则的参数方程：.，故选A.方法二：设，则，.因此将式代入式化简得：，
7、当且仅当时的最大值为，故选A.12.设，若为函数的极大值点，则A.B.C.D.答案：D解析：当时，原函数先增再减后增.原函数在的较小零点时取得极大值.即，即，.当时，原函数先减再增后减.原函数在的较大零点时取得极大值.即，故选D.二、填空题13.已知向量，若，则 .答案：解析：由已知可得.14.双曲线的右焦点到直线的距离为 .答案：解析：的右焦点为，到直线的距离.15.记的内角，的对边分别为，面积为， ,，则 .答案：解析：由面积公式，且，解得，又由余弦定理，且解得.16.以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为 （写出符合要求
8、的一组答案即可）.答案：或解析：由高度可知，侧视图只能为或.侧视图为，如图（1），平面平面，俯视图为.俯视图为，如图（2），平面，俯视图为.17.某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5 旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为和，样本方差分别记为和.（1）求，；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显
9、著提高（如果，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高）.答案：见解析解析：；.（2）.则，所以可判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高；没有显著提高.18.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且.（1）证明：平面平面（2）若，求四棱锥的体积.答案：见解析解析：19.设是首项为的等比数列，数列满足.已知，成等差数列.（1）求和的通项公式；（2）记，和分别为和的前项和.证明：.答案：见解析解析：设的公比为，则，因为，成等差数列，所以，解得，故，.又，则，两边同乘，则，两式相减，得，即，整理得，故.20.已知抛物线：的焦点到准线的距离为.（1
10、）求的方程，（2）已知为坐标原点，点在上，点满足，求直线斜率的最大值.答案：见解析解析：（1）由焦点到准线的距离为，则.抛物线的方程：.（2）设点，.则.直线斜率的最大值为.21.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标.答案：见解析解析：（1）（i）当，即时，恒成立，即在在上单调递增.（ii）当，即时，解得，.在，单调递增，在单调递减，综上所述：当时，在上单调递增；当时，在单调递减.（2）设可原点切线的切点为，切线斜率.又，可得.化简得，即.切点为，斜率，切线方程为，将，联立可得，化简得，解得，.过原点的切线与公共点坐标为，.22.在直角坐标系中，的圆心
11、为，半径为.（1）写出的一个参数方程;（2）过点作的两条切线.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立坐标系，求这两条切线的极坐标方程.答案：见解析解析：（1）的参数方程为（为参数）（2）的方程为当直线斜率不存在时，直线方程为，此时圆心到直线距离为，舍去；当直线斜率存在时，设直线方程为，化简为，此时圆心到直线的距离为，化简得，两边平方有，所以代入直线方程并化简得或化为极坐标方程为或.23.已知函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围.答案：见解析解析：当时，当时，不等式，解得；当时，不等式，解得；当时，不等式，解得.综上，原不等式的解集为.（2）若，即，因为（当且仅当时，等号成立），所以，所以，即或，解得.
