1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.3 平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题 . 1向 量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b，作 OA a， OB b，则 AOB
2、 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是 0， 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a， b 的夹角为 ，则 |a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积，记作 a b 射影 |a|cos 叫作向量 a 在 b 方向上的射影， |b|cos 叫作向量 b 在 a 方向上的射影 几何意义 a b 的数量积等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的射影 |b|cos 的乘积 3.平面向 量数量积的性质 设 a， b 都是非零向量， e 是单位向量， 为 a 与 b(或 e)的夹角则 (1)e a a e |a|cos . (2)a b?a b 0. =【 ;精品教育资源文库
3、】 = (3)当 a 与 b 同向时， a b |a|b|； 当 a 与 b 反向时， a b |a|b|. 特别地， a a |a|2或 |a| a a. (4)cos a b|a|b|. (5)|a b| |a|b|. 4平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ba ； (2)( a) b (ab ) a( b)( 为实数 )； (3)(a b) c ac bc . 5平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 ab x1x2 y1y2，由此得到 (1)若 a (x， y)，则 |a|2 x2 y2或 |a| x2 y2. (2)设 A(x1
4、， y1)， B(x2， y2)，则 A， B 两点间的距离 |AB| |AB | ?x2 x1?2 ?y2 y1?2. (3)设两个非零向量 a， b， a (x1， y1)， b (x2， y2)，则 a b?x1x2 y1y2 0. (4)若 a， b 都是非零向量， 是 a 与 b 的夹角，则 cos a b|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x22 y22. 知识拓展 1两个向量 a， b 的夹角为锐角 ?ab 0 且 a， b 不共线； 两个向量 a， b 的夹角为钝角 ?ab 0，则 a 和 b 的夹角为锐角；若 ab b，所以 AB，则 B 4 ， 由余弦定理得 (4
5、 2)2 52 c2 25 c ? ? 35 ， 解得 c 1. 故向量 BA 在 BC 方向上的射影为 |BA |cos B ccos B 1 22 22 . 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 跟踪训练 在平面直角坐标系 xOy 中，已知向量 m ? ?22 ， 22 ， n (sin x， cos x)，x ? ?0， 2 . (1)若 m n，求 tan x 的值； (2)若 m 与 n 的夹角为 3 ，求 x 的值 解 (1)因为 m ? ?22 ， 22 ， n (sin x， cos x)， m n. 所以 m n 0，即 22 sin x 22 cos x 0， 所以 sin x cos x，所以 tan x 1. (2)因为 |m| |n| 1，所以 m n cos 3 12， =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 22 sin x 22 cos x 12，所以 sin? ?x 4 12， 因为 0|b| 答案 A
