1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 5.3 平面向量的数量积 最新考纲 考情考向分析 1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义 2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系 3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的运算 4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系 . 主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、投影、求模与夹角等问题,考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系一般以选择题、填空题的形式考查,偶尔会在解答题中出现,属于中档题 . 1向 量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作 OA a, OB b,则 AOB
2、 就是向量 a 与 b 的夹角,向量夹角的范围是 0, 2平面向量的数量积 定义 设两个非零向量 a, b 的夹角为 ,则 |a|b|cos 叫作 a 与 b 的数量积,记作 a b 射影 |a|cos 叫作向量 a 在 b 方向上的射影, |b|cos 叫作向量 b 在 a 方向上的射影 几何意义 a b 的数量积等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的射影 |b|cos 的乘积 3.平面向 量数量积的性质 设 a, b 都是非零向量, e 是单位向量, 为 a 与 b(或 e)的夹角则 (1)e a a e |a|cos . (2)a b?a b 0. =【 ;精品教育资源文库
3、】 = (3)当 a 与 b 同向时, a b |a|b|; 当 a 与 b 反向时, a b |a|b|. 特别地, a a |a|2或 |a| a a. (4)cos a b|a|b|. (5)|a b| |a|b|. 4平面向量数量积满足的运算律 (1)ab ba ; (2)( a) b (ab ) a( b)( 为实数 ); (3)(a b) c ac bc . 5平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a (x1, y1), b (x2, y2),则 ab x1x2 y1y2,由此得到 (1)若 a (x, y),则 |a|2 x2 y2或 |a| x2 y2. (2)设 A(x1
4、, y1), B(x2, y2),则 A, B 两点间的距离 |AB| |AB | ?x2 x1?2 ?y2 y1?2. (3)设两个非零向量 a, b, a (x1, y1), b (x2, y2),则 a b?x1x2 y1y2 0. (4)若 a, b 都是非零向量, 是 a 与 b 的夹角,则 cos a b|a|b| x1x2 y1y2x21 y21 x22 y22. 知识拓展 1两个向量 a, b 的夹角为锐角 ?ab 0 且 a, b 不共线; 两个向量 a, b 的夹角为钝角 ?ab 0,则 a 和 b 的夹角为锐角;若 ab b,所以 AB,则 B 4 , 由余弦定理得 (4
5、 2)2 52 c2 25 c ? ? 35 , 解得 c 1. 故向量 BA 在 BC 方向上的射影为 |BA |cos B ccos B 1 22 22 . 思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式,运用向量共线或垂直或等式成立等,得到三角函数的关系式,然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标,要求的是向量的模或者其他向量的表达形式,解题思路是经过向量的运算,利用三角函数在定义域内的有界性,求得值域等 跟踪训练 在平面直角坐标系 xOy 中,已知向量 m ? ?22 , 22 , n (sin x, cos x),x ? ?0, 2 . (1)若 m n,求 tan x 的值; (2)若 m 与 n 的夹角为 3 ,求 x 的值 解 (1)因为 m ? ?22 , 22 , n (sin x, cos x), m n. 所以 m n 0,即 22 sin x 22 cos x 0, 所以 sin x cos x,所以 tan x 1. (2)因为 |m| |n| 1,所以 m n cos 3 12, =【 ;精品教育资源文库 】 = 即 22 sin x 22 cos x 12,所以 sin? ?x 4 12, 因为 0|b| 答案 A