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2019届高考数学大一轮复习第三章导数及其应用3.2第2课时导数与函数的极值最值学案(文科)北师大版.doc

1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数求解函数极值问题 命题点 1 根据函数图像判断极值 典例 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f( x),且函数 y (1 x)f( x)的图像如图所示,则下列结论中一定成立的是 ( ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由题图可知,当 x0; 当 22 时, f( x)0. 由此可以得到函数 f(x

2、)在 x 2 处取得极大值, 在 x 2 处取得极小值 命题点 2 求函数的极值 典例 (2017 泉州质检 )已知函数 f(x) x 1 aex(a R, e 为自然对数的底数 ) (1)若曲线 y f(x)在点 (1, f(1)处的切线平行于 x 轴,求 a 的值; (2)求函数 f(x)的极值 解 (1)由 f(x) x 1 aex,得 f( x) 1 aex. 又曲线 y f(x)在点 (1, f(1)处的切线平行于 x 轴, 得 f(1) 0,即 1 ae 0,解得 a e. (2)f( x) 1 aex, =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0 时, f( x)0, f(x)在

3、 ( , ) 上是增加的,所以函数 f(x)无极值 当 a0 时,令 f( x) 0,得 ex a,即 x ln a, 当 x( , ln a)时, f( x)0, 所以 f(x)在 ( , ln a)上是减少的, 在 (ln a, ) 上是增加的, 故 f(x)在 x ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a) ln a,无极大值 综上,当 a0 时,函数 f(x)无极值; 当 a0 时, f(x)在 x ln a 处取得极小值 ln a,无极大值 命题点 3 根据极值求参数 典例 (1)(2017 沧州模拟 )若函数 f(x) x3 2cx2 x 有极值点,则实数 c 的取值范围为_

4、 答案 ? ? , 32 ? ?32 , 解析 f( x) 3x2 4cx 1, 由 f( x) 0 有两个不同的根, 可得 ( 4c)2 120, c 32 或 c2.由 f( x) 0 在 ? ?12, 3 内有根,得 a x 1x在 ? ?12, 3 内有解, 又 x 1x ? ?2, 103 ,所以 2 a0, 当 01 时, f( x)0, x 0,1, 1 都是 f(x)的极值点 (2)函数 y 2x 1x2的极大值是 _ 答案 3 解析 y 2 2x3,令 y 0,得 x 1. 当 x0 时, y0 ;当 10,由 ke,则 x 1k0,得 1e xa,则实数 a的取值范围是 _

5、 答案 ? ? , 72 解析 由题意知, f( x) 3x2 x 2, 令 f( x) 0,得 3x2 x 2 0, 解得 x 1 或 x 23, 又 f(1) 72, f? ? 23 15727 , f( 1) 112 , f(2) 7, 故 f(x)min 72, a0)的导函数 y f( x)的两个零点为 3和 0. (1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为 e3,求 f(x)在区间 5, ) 上的最大值 解 (1)f( x) ?2ax b?ex ?ax2 bx c?ex?ex?2 ax2 ?2a b?x b cex . 令 g(x) ax2 (2a b)x b c

6、, 因为 ex0,所以 y f( x)的零点就是 g(x) ax2 (2a b)x b c的零点且 f( x)与 g(x)符号相同 又因为 a0,所以当 30,即 f( x)0, 当 x0 时, g(x)5 f(0), 所以函数 f(x)在区间 5, ) 上的最大值是 5e5. 思维升华 (1)求极值、最值时,要求步骤规范,含参数时,要讨论参数的大小 (2)求函数在无穷区间 (或开区间 )上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图像,然后借助图像观察得到函数的最值 跟踪训练 若函数 f(x) 13x3 x2 23在区间 (a, a 5)上存在最小

7、值,则实数 a的取值范围是 ( ) A 5,0) B ( 5,0) C 3,0) D ( 3,0) 答案 C 解析 由题意,得 f( x) x2 2x x(x 2), 故 f(x)在 ( , 2), (0, ) 上是增加的, 在 ( 2,0)上是减少的,作出其图像如图所示, 令 13x3 x2 23 23,得 x 0 或 x 3,则结合图像可知, ? 3 a 0,a 50, 解得 a 3,0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用导数求函数 的最值 典例 (12 分 )已知函数 f(x) ln x ax(a R) (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a0 时,求函数 f(x)在 1

8、,2上的最小值 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f( x)0, f( x)0), 当 a0 时, f( x) 1x a0,即函数 f(x)的递增区间为 (0, ) 2 分 当 a0 时,令 f( x) 1x a 0,可得 x 1a, 当 00; 当 x1a时, f( x) 1 axx 0 时,函数 f(x)的递增区间为 ? ?0, 1a ,递减区间为 ? ?1a, .5 分 (2) 当 1a1 ,即 a1 时,函数 f(x)在区间 1,2上是减少的,所以 f(x)的最小值是 f(2) ln 2 2a.6 分 当 1a2 ,即 00,即 a2 3a 180. a6 或 a0. 令 f( x)0,得 x1. 令 f( x)0,得 x2, 由 f( x)0,得 bx2, 函数 f(x)的极小值为 f(2) 2b 43. 7 (2017 肇庆模拟 )已知函数 f(x) x3 ax2 3x 9,若 x 3 是函数 f(x)的一个极值点,则实数 a _.

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