1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第 2 课时 导数与函数的极值、最值 题型一 用导数求解函数极值问题 命题点 1 根据函数图像判断极值 典例 设函数 f(x)在 R 上可导，其导函数为 f( x)，且函数 y (1 x)f( x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是 ( ) A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f( 2) D函数 f(x)有极大值 f( 2)和极小值 f(2) 答案 D 解析 由题图可知，当 x0； 当 22 时， f( x)0. 由此可以得到函数 f(x
2、)在 x 2 处取得极大值， 在 x 2 处取得极小值 命题点 2 求函数的极值 典例 (2017 泉州质检 )已知函数 f(x) x 1 aex(a R， e 为自然对数的底数 ) (1)若曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线平行于 x 轴，求 a 的值； (2)求函数 f(x)的极值 解 (1)由 f(x) x 1 aex，得 f( x) 1 aex. 又曲线 y f(x)在点 (1， f(1)处的切线平行于 x 轴， 得 f(1) 0，即 1 ae 0，解得 a e. (2)f( x) 1 aex， =【 ;精品教育资源文库 】 = 当 a0 时， f( x)0， f(x)在
3、 ( ， ) 上是增加的，所以函数 f(x)无极值 当 a0 时，令 f( x) 0，得 ex a，即 x ln a， 当 x( ， ln a)时， f( x)0， 所以 f(x)在 ( ， ln a)上是减少的， 在 (ln a， ) 上是增加的， 故 f(x)在 x ln a 处取得极小值且极小值为 f(ln a) ln a，无极大值 综上，当 a0 时，函数 f(x)无极值； 当 a0 时， f(x)在 x ln a 处取得极小值 ln a，无极大值 命题点 3 根据极值求参数 典例 (1)(2017 沧州模拟 )若函数 f(x) x3 2cx2 x 有极值点，则实数 c 的取值范围为_
4、 答案 ? ? ， 32 ? ?32 ， 解析 f( x) 3x2 4cx 1， 由 f( x) 0 有两个不同的根， 可得 ( 4c)2 120， c 32 或 c2.由 f( x) 0 在 ? ?12， 3 内有根，得 a x 1x在 ? ?12， 3 内有解， 又 x 1x ? ?2， 103 ，所以 2 a0， 当 01 时， f( x)0， x 0,1， 1 都是 f(x)的极值点 (2)函数 y 2x 1x2的极大值是 _ 答案 3 解析 y 2 2x3，令 y 0，得 x 1. 当 x0 时， y0 ；当 10，由 ke，则 x 1k0，得 1e xa，则实数 a的取值范围是 _
5、 答案 ? ? ， 72 解析 由题意知， f( x) 3x2 x 2， 令 f( x) 0，得 3x2 x 2 0， 解得 x 1 或 x 23， 又 f(1) 72， f? ? 23 15727 ， f( 1) 112 ， f(2) 7， 故 f(x)min 72， a0)的导函数 y f( x)的两个零点为 3和 0. (1)求 f(x)的单调区间； (2)若 f(x)的极小值为 e3，求 f(x)在区间 5， ) 上的最大值 解 (1)f( x) ?2ax b?ex ?ax2 bx c?ex?ex?2 ax2 ?2a b?x b cex . 令 g(x) ax2 (2a b)x b c
6、， 因为 ex0，所以 y f( x)的零点就是 g(x) ax2 (2a b)x b c的零点且 f( x)与 g(x)符号相同 又因为 a0，所以当 30，即 f( x)0， 当 x0 时， g(x)5 f(0)， 所以函数 f(x)在区间 5， ) 上的最大值是 5e5. 思维升华 (1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小 (2)求函数在无穷区间 (或开区间 )上的最值，不仅要研究其极值情况，还要研究其单调性，并通过单调性和极值情况，画出函数的大致图像，然后借助图像观察得到函数的最值 跟踪训练 若函数 f(x) 13x3 x2 23在区间 (a， a 5)上存在最小
7、值，则实数 a的取值范围是 ( ) A 5,0) B ( 5,0) C 3,0) D ( 3,0) 答案 C 解析 由题意，得 f( x) x2 2x x(x 2)， 故 f(x)在 ( ， 2)， (0， ) 上是增加的， 在 ( 2,0)上是减少的，作出其图像如图所示， 令 13x3 x2 23 23，得 x 0 或 x 3，则结合图像可知， ? 3 a 0，a 50， 解得 a 3,0) =【 ;精品教育资源文库 】 = 利用导数求函数 的最值 典例 (12 分 )已知函数 f(x) ln x ax(a R) (1)求函数 f(x)的单调区间； (2)当 a0 时，求函数 f(x)在 1
8、,2上的最小值 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间，实质上是求 f( x)0， f( x)0)， 当 a0 时， f( x) 1x a0，即函数 f(x)的递增区间为 (0， ) 2 分 当 a0 时，令 f( x) 1x a 0，可得 x 1a， 当 00； 当 x1a时， f( x) 1 axx 0 时，函数 f(x)的递增区间为 ? ?0， 1a ，递减区间为 ? ?1a， .5 分 (2) 当 1a1 ，即 a1 时，函数 f(x)在区间 1,2上是减少的，所以 f(x)的最小值是 f(2) ln 2 2a.6 分 当 1a2 ，即 00，即 a2 3a 180. a6 或 a0. 令 f( x)0，得 x1. 令 f( x)0，得 x2， 由 f( x)0，得 bx2， 函数 f(x)的极小值为 f(2) 2b 43. 7 (2017 肇庆模拟 )已知函数 f(x) x3 ax2 3x 9，若 x 3 是函数 f(x)的一个极值点，则实数 a _.
