2025届高考数学一轮复习：第十章第4讲 排列与组合（ppt课件+ 讲义+练习）.zip

限时跟踪检测(六十三)排列与组合一、单项选择题1(2024吉林长春质检)树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4 名男生，2 名女生，现从中选出 4 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有()A8 种 B9 种 C12 种 D14 种2若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A20 B19 C10 D93甲、乙两人要在一排 8 个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A10 种 B16 种C20 种 D24 种4若将标号为 1,2,3,4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为 1,2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A15 B20 C30 D425(2024安徽合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 3 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A8 种 B14 种C20 种 D116 种6(2024北京市第十二中学期末)4 位同学排成一排准备照相时，又来了 2 位同学要加入，如果保持原来 4 位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为()A10 B20 C24 D307(2024山东济宁模拟)为了办好第 19 届亚运会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与 某高校 3 位男同学和 2 位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求 2 位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为()A144 B150C168 D1928数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 2 门，从大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有()A18 种 B36 种C54 种 D78 种二、多项选择题9(2024山东潍坊期末)中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是()A某学生从中选 3 门学习，共有 20 种选法B“礼”和“射”不相邻，共有 400 种排法C“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 504 种排法D“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 108 种排法10有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是()A分给甲、乙、丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法B分给甲、乙、丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法C分给甲、乙每人各 2 本，分给丙、丁每人各 1 本，有 180 种分法D分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2 160 种分法三、填空题与解答题11甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛 若每个同学可以自由选择，则不同的选择种类是_，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是_(用数字作答)12(2024吉林长春模拟)将 A，B，C，D，E 这 5 名学生从左至右排成一排，则满足“A与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名学生”的不同排列方法有_种13某中学将要举行校园歌手大赛，现有 4 男 3 女参加，需要安排他们的出场顺序(结果用数字作答)(1)如果 3 名女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？(3)如果 3 名女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？14将 6 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子中，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子高分推荐题15将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到 A，B，C，D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到 A 班，丁不能分配到 B 班，则分配方案的种数为()A10 B12C14 D24解析版一、单项选择题1(2024吉林长春质检)树立劳动观念对人的健康成长至关重要，某实践小组共有 4 名男生，2 名女生，现从中选出 4 人参加校园植树活动，其中至少有一名女生的选法共有()A8 种 B9 种 C12 种 D14 种解析：任意选有 C4 615(种)选法，都是男生有 1 种选法，则至少有一名女生有 14 种选法故选 D答案：D2若把英语单词“error”中字母的拼写顺序写错了，则可能出现错误的种数是()A20 B19 C10 D9解析：“error”由 5 个字母组成，其中 3 个相同，这相当于 5 个人站队，只要给 e，o 选定位置，其余三个相同的字母 r 的位置就固定，即所有的拼写方式为 A2 5，error 拼写错误的种数为 A2 5119.答案：B3甲、乙两人要在一排 8 个空座上就座，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则不同的坐法有()A10 种 B16 种C20 种 D24 种解析：一排共有 8 个座位，现有两人就座，故有 6 个空座 要求每人的两旁均有空座，在 6 个空座的中间 5 个空中插入 2 个座位让两人就座，即有 A2 520(种)坐法故选 C答案：C4若将标号为 1,2,3,4 的四个篮球分给三位小朋友，每位小朋友至少分到一个篮球，且标号为 1,2 的两个篮球不能分给同一个小朋友，则不同的分法种数为()A15 B20 C30 D42解析：四个篮球分成三组有 C2 4种分法，三组篮球进行全排列有 A3 3种分法，标号为 1,2的两个篮球分给同一个小朋友有 A3 3种分法，所以有 C2 4A3 3A3 336630(种)分法答案：C5(2024安徽合肥模拟)中国空间站的主体结构包括天和核心舱、问天实验舱和梦天实验舱假设中国空间站要安排甲、乙、丙、丁、戊 5 名航天员开展实验，其中天和核心舱安排 3 人，问天实验舱与梦天实验舱各安排 1 人若甲、乙两人不能同时在一个舱内做实验，则不同的安排方案共有()A8 种 B14 种C20 种 D116 种解析：可按照甲是否在天和核心舱划分：若甲在天和核心舱，天和核心舱需要从除了甲、乙之外的三人中选取两人，剩下两人去剩下两个舱位，则有 C2 3A2 2326(种)可能；若甲不在天和核心舱，需要从问天实验舱和梦天实验舱中挑选一个，剩下四人中选取三人进入天和核心舱即可，则有 C1 2C3 4248(种)可能 根据分类加法计数原理，共有 6814(种)可能答案：B6(2024北京市第十二中学期末)4 位同学排成一排准备照相时，又来了 2 位同学要加入，如果保持原来 4 位同学的相对顺序不变，则不同的加入方法种数为()A10 B20 C24 D30解析：方法一：不考虑限制条件，将 6 位同学排成一排准备照相，共有 A6 6种排法，如果保持原来 4 位同学的相对顺序不变，则有A6 6A4 430(种)排法，故选 D方法二：插入 2 位同学后变成 6 位同学 6 个位置，原 4 位同学占 4 个位置，但相对顺序没变，因而有 C4 6种排法，再排新插入的 2 位同学有 A2 2种排法，从而共有 C4 6A2 230(种)排法，故选 D方法三：6 个位置可以先排后加入的 2 位同学，有 A2 630(种)排法，剩下 4 个位置原 4位同学按原顺序排入即可，只有 1 种方法，因而共有 30 种排法，故选 D答案：D7(2024山东济宁模拟)为了办好第 19 届亚运会，杭州亚运会组委会决定进行赛前志愿者招募，此举得到在杭大学生的积极参与 某高校 3 位男同学和 2 位女同学通过筛选加入志愿者服务，通过培训，拟安排在游泳、篮球、射击、体操四个项目进行志愿者服务，这四个项目都有人参加，要求 2 位女同学不安排在一起，且男同学小王、女同学大雅由于专业需要必须分开，则不同的安排方法种数为()A144 B150C168 D192解析：由题可得，参与志愿者服务的项目人数为 2,1,1,1，若没有限制则共有 C2 5A4 4240(种)安排方法；当两个女同学在一起时有 A4 424(种)安排方法；当男同学小王、女同学大雅在一起时有 A4 424(种)方法，所以按题设要求不同的安排方法种数为 2402424192.答案：D8数学对于一个国家的发展至关重要，发达国家常常把保持数学领先地位作为他们的战略需求现某大学为提高数学系学生的数学素养，特开设了“古今数学思想”“世界数学通史”“几何原本”“什么是数学”四门选修课程，要求数学系每位同学每学年至多选 2 门，从大一到大三三学年必须将四门选修课程选完，则每位同学的不同选修方式有()A18 种 B36 种C54 种 D78 种解析：由题意，三年修完四门选修课程，每学年至多选 2 门，则每位同学每年所修课程数为 1,1,2 或 0,2,2.若每年所修课程数为 1,1,2，则先将 4 门课程按 1,1,2 分为三组，有C1 4C1 3C2 2A2 26(种)不同的方式，再分配到三个学年，有 A3 36(种)不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有 36 种；若每年所修课程数为 0,2,2，则先将 4 门课程按 0,2,2 分为三组，有C2 4C2 2A2 23(种)不同的方式，再分配到三个学年，有 A3 36(种)不同的方式，由分步乘法计数原理，知不同的选修方式共有 18 种综上，每位同学的不同选修方式有 361854(种)，故选 C答案：C二、多项选择题9(2024山东潍坊期末)中国古代中“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”“礼”主要指德育；“乐”主要指美育；“射”和“御”就是体育和劳动；“书”指各种历史文化知识；“数”指数学某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节课，则下列说法正确的是()A某学生从中选 3 门学习，共有 20 种选法B“礼”和“射”不相邻，共有 400 种排法C“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 504 种排法D“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 108 种排法解析：对于 A，某学生从中选 3 门学习，共有 C3 620(种)选法，故 A 正确对于 B，“礼”和“射”不相邻，则有 A4 4A2 5480(种)排法，故 B 错误对于 C，若“数”排在第一节，则排法有 A5 5120(种)；若“数”不排在第一节，也不排在最后一节，则排法有 C1 4C1 4A4 4384(种)所以“乐”不能排在第一节，且“数”不能排在最后，共有 120384504(种)排法，故 C 正确对于 D，若“书”排在第一节，且“射”和“御”相邻，则有 4A2 2A3 348(种)排法；若“书”排在第二节，且“射”和“御”相邻，则有 3A2 2A3 336(种)排法；若“书”排在第三节，且“射”和“御”相邻，则有 3A2 2A3 336(种)排法所以“书”必须排在前三节，且“射”和“御”相邻，共有 483636120(种)排法，故 D 错误故选 AC答案：AC10有 6 本不同的书，按下列方式进行分配，其中分配种数正确的是()A分给甲、乙、丙三人，每人各 2 本，有 90 种分法B分给甲、乙、丙三人中，一人 4 本，另两人各 1 本，有 90 种分法C分给甲、乙每人各 2 本，分给丙、丁每人各 1 本，有 180 种分法D分给甲、乙、丙、丁四人，有两人各 2 本，另两人各 1 本，有 2 160 种分法解析：对于 A，先从 6 本书中分给甲 2 本，有 C2 6种方法；再从其余的 4 本书中分给乙 2本，有 C2 4种方法；最后的 2 本书给丙，有 C2 2种方法所以不同的分配方法有 C2 6C2 4C2 290(种)，A 正确对于 B，先把 6 本书分成 3 堆：4 本、1 本、1 本，有 C4 6种方法；再分给甲、乙、丙三人所以不同的分配方法有 C4 6A3 390(种)，B 正确对于 C,6 本不同的书先分给甲、乙每人各 2 本，有 C2 6C2 4种方法；其余 2 本分给丙、丁，有 A2 2种方法所以不同的分配方法有 C2 6C2 4A2 2180(种)，C 正确对于 D，先把 6 本不同的书分成 4 堆：2 本、2 本、1 本、1 本，有C2 6C2 4A2 2C1 2C1 1A2 2种方法；再分给甲、乙、丙、丁四人所以不同的分配方法有C2 6C2 4A2 2C1 2C1 1A2 2A4 41 080(种)，D 错误答案：ABC三、填空题与解答题11甲、乙、丙、丁、戊五人去参加数学、物理、化学三科竞赛，每个同学只能参加一科竞赛 若每个同学可以自由选择，则不同的选择种类是_，若甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，且这三科都有人参加，则不同的选择种数是_(用数字作答)解析：若每个同学可以自由选择，由分步乘法计数原理可得，不同的选择种数是 35243.因为甲和乙不参加同一科，甲和丙必须参加同一科，所以有 2,2,1 和 3,1,1 两种分配方案当分配方案为 2,2,1 时，共有 C2 3A3 318(种)；当分配方案为 3,1,1 时，共有 C1 2A3 312(种)所以不同的选择种数是 181230.答案：2433012(2024吉林长春模拟)将 A，B，C，D，E 这 5 名学生从左至右排成一排，则满足“A与 B 相邻且 A 与 C 之间恰好有 1 名学生”的不同排列方法有_种解析：根据题意，分 2 种情况讨论：当 A，C 之间为 B 时，排列方法为 A2 2A3 312(种)；当 A，C 之间为 D 或 E 时，排列方法为 C1 2A2 2A2 28(种)综上，所有排列方法为 12820(种)答案：2013某中学将要举行校园歌手大赛，现有 4 男 3 女参加，需要安排他们的出场顺序(结果用数字作答)(1)如果 3 名女生都不相邻，那么有多少种不同的出场顺序？(2)如果女生甲在女生乙的前面(可以不相邻)，那么有多少种不同的出场顺序？(3)如果 3 名女生都相邻，且女生甲不在第一个出场，那么有多少种不同的出场顺序？解：(1)根据题意，分 2 步进行分析：先将 4 名男生排成一排，有 A4 4种情况；男生排好后有 5 个空位，在 5 个空位中任选 3 个，安排 3 名女生，有 A3 5种情况则有 A4 4A3 51 440(种)不同的出场顺序(2)根据题意，将 7 人排成一排，有 A7 7种情况，其中女生甲在女生乙的前面和女生甲在女生乙的后面的排法是一样的，则女生甲在女生乙的前面的排法有12A7 72 520(种)，所以有 2 520 种不同的出场顺序(3)根据题意，分 3 步进行分析：先将 3 名女生看成一个整体，考虑三人之间的顺序，有 A3 3种情况；将 3 名女生的整体和 4 名男生全排列，有 A5 5种情况；女生甲不在第一个出场，减去其第一个出场的情况即可则有 A3 3A5 5A2 2A4 4672(种)不同的出场顺序14将 6 个相同的小球放入编号为 1,2,3,4 的 4 个盒子中，求下列方法的种数(1)每个盒子都不空；(2)恰有一个空盒子；(3)恰有两个空盒子解：(1)先把 6 个相同的小球排成一行，在首尾两球外侧各放置一块隔板，然后在小球之间的 5 个空隙中任选 3 个空隙各插一块隔板，有 C3 510(种)方法(2)恰有一个空盒子，分两步进行，先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 2 个空隙各插一块隔板，如“|”(其中“|”表示隔板，“”表示小球)，有 C2 5种插法，然后将剩下的一块隔板与已放置的隔板中任意一块并放形成空盒，如“|”，有 C1 4种插法，故共有 C2 5C1 440(种)方法(3)恰有两个空盒子，分两步进行，先在首尾两球外侧各放置一块隔板，并在 5 个空隙中任选 1 个空隙插一块隔板，有 C1 5种插法，如“|”，然后将剩下的两块隔板插入形成空盒这两块板与前面三块板形成不相邻的两个盒子如“|”，有 C2 3种插法；将两块板与前面三块板之一并放，如“|”，有 C1 3种插法故共有 C1 5(C2 3C1 3)30(种)方法高分推荐题15将甲、乙、丙、丁四位辅导老师分配到 A，B，C，D 四个班级，每个班级一位老师，且甲不能分配到 A 班，丁不能分配到 B 班，则分配方案的种数为()A10 B12C14 D24解析：方法一：将分配方案分为甲分配到 B 班和甲不分配到 B 班两种情况：甲分配到 B 班，则乙、丙、丁三位辅导老师安排在剩下的三个班，有 A3 36(种)分配方案；甲不分配到 B 班，甲有 C，D 两个班可以选择，有 A1 2种分配方案，丁有两个班可以选择，有 A1 2种分配方案，乙、丙两位辅导老师安排在剩下的两个班，有 A2 2种分配方案，所以共有 A1 2A1 2A2 28(种)分配方案由分类加法计数原理可得，共有 6814(种)分配方案故选 C方法二：甲、乙、丙、丁四位辅导老师全排列，有 A4 4种排法，其中甲分配到 A 班有 A3 3种排法，丁分配到 B 班有 A3 3种排法，而甲分配到 A 班的同时丁分配到 B 班有 A2 2种排法，所以甲不能分配到 A 班，丁不能分配到 B 班的分配方案有 A4 42A3 3A2 214(种)故选C答案：C第 4 讲排列与组合复习要点1.理解排列、组合的概念.2.能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式.3.能解决简单的实际问题一排列与排列数1排列从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列2排列数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 Am n.二组合与组合数1组合从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素作为一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合2组合数从 n 个不同元素中取出 m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的组合数，记作 Cm n.三排列数、组合数的公式及性质排列数组合数公式Am nn(n1)(n2)(nm1)n！nm！Cm nAm nAm mnn1n2nm1m！n！m！nm！性质(1)An nn！；(2)0！1(1)C0 n1；(2)Cm nCnmn；(3)Cm nCm1nCmn1备注n，mN*且 mn常/用/结/论(1)特殊元素优先安排(2)合理分类与准确分步(3)排列、组合混合问题要先选后排(4)相邻问题捆绑处理(5)不相邻问题插空处理(6)定序问题倍缩法处理(7)分排问题直排处理(8)“小集团”排列问题先整体后局部(9)构造模型(10)正难则反，等价转化1判断下列结论是否正确(1)所有元素完全相同的两个排列为相同的排列()(2)选择两人去参加同一项活动时无先后顺序()(3)若组合数公式 Cx nCm n，则 xm 成立()(4)kCk nnCk1n1.()26 把椅子摆成一排，3 人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为()A144 B120 C72 D24解析：“插空法”，先排 3 个空位，形成 4 个空隙供 3 人选择就座，因此任何两人不相邻的坐法种数为 A3 443224.答案：D3 令站成一排的4个人重新排序，若恰有1个在自己原来的位置，则不同的站法共有()A4 种 B8 种C12 种 D24 种解析：将 4 个人重排，恰有 1 个人站在自己原来的位置，有 C1 4种站法，剩下 3 人不站原来位置有 2 种站法，所以共有 C1 428(种)站法，故选 B答案：B4(2023新高考全国卷)某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样法作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取 60 名学生，已知该校初中部和高中部分别有 400 名和 200 名学生，则不同的抽样结果共有()AC45400C15200种 BC20400C40200种CC30400C30200种 DC40400C20200种解析：根据分层随机抽样的定义知初中部共抽取 6040060040(人)，高中部共抽取 6020060020(人)，根据组合公式和分步乘法计数原理，不同的抽样结果共有 C40400C20200种故选 D答案：D题型排列应用题典例 1 有 3 名男生、4 名女生，在下列不同条件下，求不同的排列方法总数(1)选其中 5 人排成一排；(2)排成前后两排，前排 3 人，后排 4 人；可直接直排处理：A7 7.(3)全体排成一排，甲不站排头也不站排尾；特殊元素(位置)(4)全体排成一排，女生必须站在一起；捆绑法(5)全体排成一排，男生互不相邻；插空法：先排女生：A4 4，再让男生插空：A3 5.思考：若“男生不相邻，且女生不相邻”呢？方法一：先排女生，再让男生插空(不能占两头的空)：A4 4A3 3；方法二：先排男生(少)，再让女生插空：A3 3A4 4.(6)全体排成一排，甲、乙两人中间恰好有 3 人；小集团，捆绑处理(7)全体排成一排，甲必须排在乙前面(不一定相邻)；7 人全排列数甲、乙全排列数.(8)全部排成一排，甲不排在排头，乙不排在排尾解：(1)从 7 个人中选 5 个人来排列，有 A5 7765432 520(种)排法(2)分两步完成，先选 3 人排在前排，有 A3 7种排法，余下 4 人排在后排，有 A4 4种排法，故共有 A3 7A4 45 040(种)排法(事实上，本小题即为 7 人排成一排的全排列，无任何限制条件)(3)方法一(优先法)：甲为特殊元素，先排甲，有 5 种方法；其余 6 人有 A6 6种方法，故共有 5A6 63 600(种)排法方法二：排头与排尾为特殊位置，排头与排尾从非甲的 6 个人中选 2 个排列，有 A2 6种方法，中间 5 个位置由余下的 4 人和甲进行全排列，有 A5 5种方法，故共有 A2 6A5 53 600(种)排法(4)(捆绑法)将女生看成一个整体，与 3 名男生一起进行全排列，有 A4 4种方法，再将 4名女生进行全排列，也有 A4 4种方法，故共有 A4 4A4 4576(种)排法(5)(插空法)男生不相邻，而女生不作要求，所以应先排女生，有 A4 4种排法，再在女生之间及首尾共 5 个空位中任选 3 个空位排男生，有 A3 5种排法，故共有 A4 4A3 51 440(种)排法(6)(捆绑法)把甲、乙及中间 3 人看作一个整体，第一步先排甲、乙两人，有 A2 2种排法；第二步从余下 5 人中选 3 人排在甲、乙中间，有 A3 5种排法；第三步把这个整体与余下 2 人进行全排列，有 A3 3种排法，故共有 A2 2A3 5A3 3720(种)排法(7)(消序法)共有A7 722 520(种)排法(8)(间接法)共有 A7 72A6 6A5 53 720(种)排法【另解】直接法分两类Error!求解有限制条件的排列问题的主要方法分类法选定一个适当的分类标准，将要完成的事件分成几个类型，分别计算每个类型中的排列数，再由分类加法计数原理得出总数直接法分步法选定一个适当的标准，将事件分成几个步骤来完成，分别计算出各步骤的排列数，再由分步乘法计数原理得出总数捆绑法相邻问题捆绑处理，即可以把相邻元素看作一个整体与其他元素进行排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法不相邻问题插空处理，即先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列后的空中定序法对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以已定元素的全排列间接法对于分类过多的问题，一般利用正难则反、等价转化的方法对点练 1(1)(2024湖北武汉模拟)源于探索外太空的渴望，中国的航天事业在 21 世纪获得了长足的发展 太空中的环境为某些科学实验提供了有利条件，宇航员常常在太空旅行中进行科学实验在某次太空旅行中，宇航员们负责的科学实验要经过 5 道程序，其中 A，B两道程序既不能放在最前，也不能放在最后，则该实验不同程序的顺序安排共有()A18 种 B36 种C72 种 D108 种(2)(2024黑龙江哈九中模拟)某中学在研究性学习成果报告会上，有 A，B，C，D，E，F 共 6 项成果要汇报，如果 B 成果不能最先汇报，而 A，C，D 按先后顺序汇报(不一定相邻)，那么不同的汇报安排种数为()A100 C300 B120 D600(3)用 0,1,2,3,4,5 这六个数字可以组成_个无重复数字的六位奇数解析：(1)先排 A，B 两道程序，其既不能放在最前，也不能放在最后，则在第 2,3,4 道程序选两个放 A，B，共有 A2 3种放法；再排剩余的 3 道程序，共有 A3 3种放法则共有 A2 3A3 336(种)放法(2)先排 B，除了第一个不能选之外其余 5 个都可以，有 C1 55(种)方法A，C，D3 个成果，从剩余 5 个选 3 个，按照 A，C，D 的顺序汇报有 C3 510(种)方法剩余 E，F 进行排列汇报，有 A2 22(种)方法则不同的汇报安排共有 5102100(种)故选 A(3)方法一：从特殊位置入手(直接法)分三步完成，第一步先填个位，有 A1 3种填法，第二步再填十万位，有 A1 4种填法，第三步填其他位，有 A4 4种填法，故无重复数字的六位奇数共有 A1 3A1 4A4 4288(个)方法二：从特殊元素入手(直接法)0 不在两端有 A1 4种排法，从 1,3,5 中任选一个排在个位有 A1 3种排法，其他各位上用剩下的元素作全排列有 A4 4种排法，故无重复数字的六位奇数共有 A1 4A1 3A4 4288(个)方法三：(间接法)6 个数字的全排列有 A6 6种排法，0,2,4 在个位上的排列数为 3A5 5，1,3,5 在个位上，0 在十万位上的排列数为 3A4 4，故无重复数字的六位奇数有 A6 63A5 53A4 4288(个)答案：(1)B(2)A(3)288题型组合应用题典例 2 某课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女各有一名队长现从中选 5 人主持某个活动，依下列条件各有多少种选择？(1)只有一名女生当选；(2)两队长当选；(3)至少有一名队长当选；(4)男生甲和女生乙当选；(5)最多有两名女生当选直接法，分 3 类Error!也可用间接法解：(1)只有一名女生当选即为有一名女生和四名男生当选，故选法共有 C1 5C4 8350(种)(2)两队长当选，选法共有 C2 2C3 11165(种)(3)至少有一名队长当选含有两类：只有一名队长当选和有两名队长当选故选法共有 C1 2C4 11C2 2C3 11825(种)，或采用间接法：选法共有 C5 13C5 11825(种)(4)男生甲和女生乙当选，则需从剩余 11 人中选 3 人，故选法共有 C3 11165(种)(5)最多有两名女生当选含有三类；有两名女生当选、只有一名女生当选和没有女生当选故选法共有 C2 5C3 8C1 5C4 8C5 8966(种)组合问题常有以下两类题型(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义谨防重复与遗漏，用直接法和间接法都可以求解，通常用直接法，分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处理.对点练 2(1)(2023全国乙卷，理)甲、乙两位同学从 6 种课外读物中各自选读 2 种，则这两人选读的课外读物中恰有 1 种相同的选法共有()A30 种 B60 种C120 种 D240 种(2)(2023新高考全国卷)某学校开设了 4 门体育类选修课和 4 门艺术类选修课，学生需从这 8 门课中选修 2 门或 3 门课，并且每类选修课至少选修 1 门，则不同的选课方案共有_种(用数字作答)解析：(1)首先确定相同的读物，共有 C1 6种选法，然后两人各自的另外一种读物相当于在剩余的 5 种读物里，选出 2 种进行排列，共有 A2 5种选法，根据分步乘法计数原理，则共有 C1 6A2 5120(种)选法故选 C(2).当从 8 门课中选修 2 门，则不同的选课方案共有 C1 4C1 416(种).当从 8 门课中选修 3 门，若体育类选修课选 1 门，则不同的选课方案共有 C1 4C2 424(种)；若体育类选修课选 2 门，则不同的选课方案共有 C2 4C1 424(种)综上所述，不同的选课方案共有 16242464(种)答案：(1)C(2)64题型排列、组合综合题典例 3(1)(2023全国甲卷，理)现有 5 名志愿者报名参加公益活动，在某一星期的星期六、星期日两天，每天从这 5 人中安排 2 人参加公益活动，则恰有 1 人在这两天都参加先选 1 人：C1 5，再选 2 人每人一天：A2 4.的不同安排方式共有()A120 种 B60 种C30 种 D20 种(2)(2024湖南衡阳创新实验班测试)2023 年春节，在北京工作的五个家庭开车搭伴一起回老家过年，若五辆车分别为 A，B，C，D，E，五辆车随机排成一列，则 A 车与 B 车相邻，A 车与 C 车不相邻的排法有()A36 种 B42 种C48 种 D60 种(3)(2024浙江名校协作体检测)某校银杏大道上共有 20 盏路灯排成一列，为了节约用电，学校打算关掉 3 盏路灯，头尾 2 盏路灯不能关闭，关掉的相邻 2 盏路灯之间至少有 2 盏亮的路灯，则不同的方案种数是()A324 B364C560 D680解析：(1)先从 5 名志愿者中选出 1 名志愿者参加星期六、星期日两天的公益活动，再从剩下的 4 名志愿者中选出 2 名志愿者分别参加星期六、星期日的公益活动，共有 C1 5A2 460(种)不同的安排方式，故选 B(2)将 A 车与 B 车捆在一起当成一个元素使用，【解题有法】相邻元素用“捆绑法”，注意“定元”，确定要求相邻的元素，不要忽视捆在一起的两元素的排序的种数有 A2 2种不同的捆法将其与除 C 车外的 2 个元素全排列，有 A3 3种排法将 C 车插入，不与 A 车相邻，有 A1 3种插法【扫清障碍】不相邻元素用“插空法”，先把无位置要求的几个元素全排列，再把要求不相邻的元素插到产生的空位中，注意个别位置由于限制条件的原因是不能插入的故共有 A2 2A3 3A1 336(种)排法故选 A(3)将 20 盏路灯分成 2 盏、15 盏、3 盏共 3 组，先将 15 盏亮的路灯排成一列，把 3 盏关掉的路灯插空，而头尾 2 盏路灯不能关闭，所以是在除头、尾之外的 14 个空位中插入 3 盏关掉的路灯，共 C3 14364(种)方法在每 2 盏关掉的路灯之间再各放入 1 盏亮的路灯，且路灯无差异，【指点迷津】此时每 2盏关掉的路灯之间已经至少有 1 盏亮的路灯，此时将剩下的 2 盏亮的路灯分别插入 3 盏关掉的路灯之间的 2 个空位中即可满足要求保证关掉的相邻 2 盏路灯之间至少有 2 盏亮的路灯，只有 1 种方法综上，共有 3641364(种)方案故选 B解决特殊元素、特殊位置问题的原则与方法(1)原则：解“在”与“不在”的有限制条件的排列问题时，可以从元素入手也可以从位置入手，原则是谁特殊谁优先(2)方法：从元素入手时，先给特殊元素安排位置，再把其他元素安排在其他位置上；从位置入手时，先安排特殊位置，再安排其他位置 对点练 3(1)(2024广东部分学校大联考)A，B，C，D，E，F 六人站成一排，C 站第三位，A 不站在两端，D 和 E 相邻，则不同的排列方式共有()A16 种 B20 种C24 种 D28 种(2)(多选)3 个人坐在一排 5 个座位上，则下列说法正确的是()A共有 60 种不同的坐法B空位不相邻的坐法有 72 种C空位相邻的坐法有 24 种D两端不是空位的坐法有 18 种解析：(1)符合要求的排法可分为三类，第一类为 A 站在第二位的排法，符合要求的排法可分为三步完成，即先排 A，C，有 1 种排法，再排 D，E，有 2A2 2种排法，最后排其余两人有 A2 2种排法，由分步乘法计数原理可得第一类共有 1428(种)排法；第二类为 A 站在第四位的排法，符合要求的排法可分为三步完成，即先排 A，C，有 1 种排法，再排 D，E，有 2A2 2种排法，最后排其余两人有 A2 2种排法，由分步乘法计数原理可得第二类共有 1428(种)排法；第三类为 A 站在第五位的排法，符合要求的排法可分为三步完成，即先排 A，C，有 1 种排法，再排 D，E，有 A2 2种排法，最后排其余两人有 A2 2种排法，由分步乘法计数原理可得第三类共有 1224(种)排法 由分类加法计数原理可得符合要求的排法共有 88420(种)故选 B(2)A 选项，共有 A3 554360(种)不同的坐法，故 A 正确；B 选项，相当于先排好这 3 个人有 A3 3种排法，然后把 2 个空位插在 3 个人形成的 4 个空隙中，有 C2 4种插法，故共有 A3 3C2 436(种)坐法，故 B 错误；C选项，相当于把2个空位先捆绑好，再插到3人形成的4个空隙中，故共有A3 3C1 424(种)坐法，故 C 正确；D 选项，相当于先从 3 人中抽取 2 人排好后放在两端，第三个人在中间的 3 个空位中任取一个，故有 A2 3C1 318(种)坐法，故 D 正确答案：(1)B(2)ACD题型分组分配问题的多维研讨维度 1不同元素的分组分配问题典例 4 按下列要求分配 6 本不同的书，各有多少种不同的分配方式？(1)分成三份，1 份 1 本，1 份 2 本，1 份 3 本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得 1 本，一人得 2 本，一人得 3 本；(3)平均分成三份，每份 2 本；均分 n 组，要除以 An n，为什么呢？如本题：6 本书编号，C2 6C2 4C2 2如下：即分组为，的按 236(种)计算，即 3 组的全排列数(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人 2 本；(5)分成三份，1 份 4 本，另外两份每份 1 本；部分均分(6)甲、乙、丙三人中，一人得 4 本，另外两人每人得 1 本；(7)甲得 1 本，乙得 1 本，丙得 4 本解：(1)无序不均匀分组问题先选 1 本有 C1 6种选法；再从余下的 5 本中选 2 本有 C2 5种选法；最后余下的 3 本全选有 C3 3种选法故共有 C1 6C2 5C3 360(种)分配方式(2)有序不均匀分组问题由于甲、乙、丙是不同的三人，在第(1)题基础上，还应考虑再分配，共有 C1 6C2 5C3 3A3 3360(种)分配方式(3)无序均匀分组问题有C2 6 C2 4 C2 2A3 315(种)(4)有序均匀分组问题在第(3)题基础上再分配给 3 个人，分配方式共有C2 6 C2 4 C2 2A3 3A3 3C2 6C2 4C2 290(种)【另解】分步乘法：C2 6(甲拿)C2 4(乙拿)C2 2(丙拿)(5)无序部分均匀分组问题，共有C4 6 C1 2 C1 1A2 215(种)分组方式(6)有序部分均匀分组问题 在第(5)题基础上再分配给 3 个人，分配方式共有C4 6 C1 2 C1 1A2 2A3 390(种)(7)直接分配问题 甲选 1 本有 C1 6种方法，乙从余下 5 本中选 1 本有 C1 5种方法，余下 4本留给丙有 C4 4种方法，共有 C1 6C1 5C4 430(种)分配方式解决不同元素分