1、数学必修二 限时快练 立体几何内接球外接球问题一、单选题1在三棱锥中，则三棱锥外接球的体积为（）ABCD2已知直三棱柱，设该直三棱柱的外接球的表面积为，该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为，则（）ABCD3在四棱锥中，底面为等腰梯形，底面.若，则这个四棱锥的外接球表面积为（）ABCD二、填空题4三棱锥SABC的四个顶点都在球O的表面上，线段SC是球的直径，三棱锥SABC的体积为，则球O的表面积为_5已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面为等腰直角三角形且，若该三棱锥体积的最大值为，则其外接球的表面积为_.6已知四棱锥SABCD中，底面ABCD为正方形，侧面SAB为等边三角形，AB3，则当四
2、棱锥的体积取得最大值时，其外接球的表面积为_7在九章算术中，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图，三棱锥为一个鳖臑，其中平面，M为垂足，则三棱锥的外接球的表面积为_8如图，DE是边长为的正三角形ABC的一条中位线，将ADE沿DE翻折至，当三棱锥的体积最大时，四棱锥外接球O的表面积为_；过EC的中点M作球O的截面，则所得截面圆面积的最小值是_9如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交分别于，则三棱锥外接球的表面积为_；当三棱锥体积最大时，_.四、解答题10如图，正四棱锥P-ABCD底面正方形的边长为2，侧棱长为.(1)求该正四棱锥的表面积；(2)求该正四棱锥外接
3、球的体积.参考答案：1D【详解】因为，所以.又，所以平面SAC.在中，所以.又，则外接圆的半径为，取BC，AC的中点D，E，的外心为F，过D作平面ABC的垂线l，过F作平面SAC的垂线交l于点O，即为球心，连接DE，EF，FA，OA，则四边形DEFO为矩形，则，所以，即三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的体积为.故选：D2D【详解】易知的外接圆直径为，所以半径长为，设外接球半径为则，设的内切圆半径为，则，故该直三棱柱内半径最大的球的半径为，.故选：D3C【详解】取BC中点E，连接EA、ED，取PC中点H，连接EH、BH，等腰梯形中，则有，则四边形为平行四边形，则，又，则为等边三角形，则，则
4、为等边三角形则，故点E为等腰梯形的外接圆圆心，中，则又底面，则底面，又，即，故点H为四棱锥的外接球球心，球半径则四棱锥外接球表面积为故选：C420【详解】，, 设的外接圆圆心为，连接，则平面的外接圆直径，即又，解得 该三棱锥的外接球的半径 该三棱锥的外接球的表面积为 故答案为：5【详解】如图所示：设球心为所在圆面的圆心为，则平面因为为等腰直角三角形且，所以是中点；所以当三棱锥体积最大时，为射线与球的交点，所以；因为，设球的半径为，所以，所以，解得：，所以球的表面积为.故答案为：6【详解】依题意可知，当侧面底面ABCD时，四棱锥SABCD的体积最大设球心为O，半径为R，正方形ABCD和外接圆的圆
5、心分别为，正方形ABCD外接圆半径为，则平面ABCD，平面SAB因为和正方形ABCD的边长均为3，设AB的中点为E，所以，由勾股定理得，所以球O的表面积故答案为：7【详解】解：取AC的中点O，连接MO、BO，则，所以，则，又，所以，所以点O就是三棱锥的外接球的球心，所以三棱锥的外接球的球半径为，所以三棱锥的外接球的表面积为，故答案为：8 #【详解】第一空：设到平面的距离为，易得，为定值，要使三棱锥的体积最大，即最大，显然当平面平面时，最大，取中点，连接交于，则为中点，连接，易得，又平面平面，则平面，即最大为，易得，则为四边形的外心，设的外心为，过作直线平面，易得，则共面，过作直线垂直于平面交直
6、线于，易得即为外接球球心，连接，即为外接球半径，易得四边形为矩形，则，则，故外接球O的表面积为；第二空：要使截面圆面积最小，显然当垂直于截面圆时，截面圆半径最小，面积最小，又都在球面上，M为EC中点，显然为截面圆的直径，又，则截面圆的面积最小为.故答案为：；.9 【详解】平面，平面，；，为中点，；为圆的直径，；平面，平面，；又，平面，平面，又平面，又平面，平面，又平面，的外接圆半径为，三棱锥的外接球半径，三棱锥的外接球表面积.，（当且仅当时取等号），当时，面积取得最大值，又平面，当时，三棱锥体积最大；，又，.故答案为：；.10(1)(2)【详解】(1)取AB中点E，连接PE，则，从而，该正四棱锥的表面积；(2)连接AC，BD，设，连接，在上取一点O，使，在中，又在中，即，解得，从而该正四棱锥外接球的体积：.
