1、数学必修二 限时快练 立体几何内接球外接球问题一、单选题1在三棱锥中,则三棱锥外接球的体积为()ABCD2已知直三棱柱,设该直三棱柱的外接球的表面积为,该直三棱柱内部半径最大的球的表面积为,则()ABCD3在四棱锥中,底面为等腰梯形,底面.若,则这个四棱锥的外接球表面积为()ABCD二、填空题4三棱锥SABC的四个顶点都在球O的表面上,线段SC是球的直径,三棱锥SABC的体积为,则球O的表面积为_5已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上,底面为等腰直角三角形且,若该三棱锥体积的最大值为,则其外接球的表面积为_.6已知四棱锥SABCD中,底面ABCD为正方形,侧面SAB为等边三角形,AB3,则当四
2、棱锥的体积取得最大值时,其外接球的表面积为_7在九章算术中,将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑如图,三棱锥为一个鳖臑,其中平面,M为垂足,则三棱锥的外接球的表面积为_8如图,DE是边长为的正三角形ABC的一条中位线,将ADE沿DE翻折至,当三棱锥的体积最大时,四棱锥外接球O的表面积为_;过EC的中点M作球O的截面,则所得截面圆面积的最小值是_9如图,已知为圆的直径,为圆上一动点,圆所在平面,且,过点作平面,交分别于,则三棱锥外接球的表面积为_;当三棱锥体积最大时,_.四、解答题10如图,正四棱锥P-ABCD底面正方形的边长为2,侧棱长为.(1)求该正四棱锥的表面积;(2)求该正四棱锥外接
3、球的体积.参考答案:1D【详解】因为,所以.又,所以平面SAC.在中,所以.又,则外接圆的半径为,取BC,AC的中点D,E,的外心为F,过D作平面ABC的垂线l,过F作平面SAC的垂线交l于点O,即为球心,连接DE,EF,FA,OA,则四边形DEFO为矩形,则,所以,即三棱锥外接球的半径为,所以三棱锥外接球的体积为.故选:D2D【详解】易知的外接圆直径为,所以半径长为,设外接球半径为则,设的内切圆半径为,则,故该直三棱柱内半径最大的球的半径为,.故选:D3C【详解】取BC中点E,连接EA、ED,取PC中点H,连接EH、BH,等腰梯形中,则有,则四边形为平行四边形,则,又,则为等边三角形,则,则
4、为等边三角形则,故点E为等腰梯形的外接圆圆心,中,则又底面,则底面,又,即,故点H为四棱锥的外接球球心,球半径则四棱锥外接球表面积为故选:C420【详解】,, 设的外接圆圆心为,连接,则平面的外接圆直径,即又,解得 该三棱锥的外接球的半径 该三棱锥的外接球的表面积为 故答案为:5【详解】如图所示:设球心为所在圆面的圆心为,则平面因为为等腰直角三角形且,所以是中点;所以当三棱锥体积最大时,为射线与球的交点,所以;因为,设球的半径为,所以,所以,解得:,所以球的表面积为.故答案为:6【详解】依题意可知,当侧面底面ABCD时,四棱锥SABCD的体积最大设球心为O,半径为R,正方形ABCD和外接圆的圆
5、心分别为,正方形ABCD外接圆半径为,则平面ABCD,平面SAB因为和正方形ABCD的边长均为3,设AB的中点为E,所以,由勾股定理得,所以球O的表面积故答案为:7【详解】解:取AC的中点O,连接MO、BO,则,所以,则,又,所以,所以点O就是三棱锥的外接球的球心,所以三棱锥的外接球的球半径为,所以三棱锥的外接球的表面积为,故答案为:8 #【详解】第一空:设到平面的距离为,易得,为定值,要使三棱锥的体积最大,即最大,显然当平面平面时,最大,取中点,连接交于,则为中点,连接,易得,又平面平面,则平面,即最大为,易得,则为四边形的外心,设的外心为,过作直线平面,易得,则共面,过作直线垂直于平面交直
6、线于,易得即为外接球球心,连接,即为外接球半径,易得四边形为矩形,则,则,故外接球O的表面积为;第二空:要使截面圆面积最小,显然当垂直于截面圆时,截面圆半径最小,面积最小,又都在球面上,M为EC中点,显然为截面圆的直径,又,则截面圆的面积最小为.故答案为:;.9 【详解】平面,平面,;,为中点,;为圆的直径,;平面,平面,;又,平面,平面,又平面,又平面,平面,又平面,的外接圆半径为,三棱锥的外接球半径,三棱锥的外接球表面积.,(当且仅当时取等号),当时,面积取得最大值,又平面,当时,三棱锥体积最大;,又,.故答案为:;.10(1)(2)【详解】(1)取AB中点E,连接PE,则,从而,该正四棱锥的表面积;(2)连接AC,BD,设,连接,在上取一点O,使,在中,又在中,即,解得,从而该正四棱锥外接球的体积:.