1、人教A版（2019）高中数学必修第二册：公式和结论 检测填空题一.平面向量1.向量的有关概念：（1）向量：既有_又有_的量叫做向量，(2)向量的模：向量的_称为向量的长度(或称模)，记作：_ (3)零向量:长度为_的向量叫做零向量,记作0.(4)单位向量:长度为_的向量叫做单位向量(5)相等向量: _且_的向量叫做相等向量(6)相反向量：_且_的向量叫做相反向量(7)平行向量(共线向量):_的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.记法:向量a平行于b,记作：_ 规定:零向量与任意向量_2.向量的线性运算：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：；
2、 结合律：()()减法求与的相反向量的和的运算_3.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量和，作，则AOB就是与的_设是与的夹角，则范围：_=_或=_ _4.平面向量基本定理：（1）定理：如果e1,e2是同一平面内的两个_向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，存在实数1,2，使a=_。（2）基底：_的两向量，叫做基底。5、平面向量的坐标运算（1）设,则_； AB=_（2）设 ，a=_， _， _ab=_=_夹角公式; cos=_ =_.平行： a/b _a0 _垂直： ab _ _若向量_若向量_6.投影与投影向量（1）：_ = _（2） _ =_.7. 三点共线定理对于平面上的任一
3、点O，不共线，满足mn(x，yR)，则P，A，B共线 mn_8.常用公式：(1) = _ (2) |a+b| =_ (3) (a+b)(ab) =_ （4）(a+b)2=_二.解三角形1.正余弦定理定理正弦定理余弦定理内容_(R为ABC外接圆半径)a2_b2_c2_变形形式a_，b_，c_；abc_，_，_cos A_cos B_cos C_2三角形常用面积公式 : (1) （，分别为边上的高）(2) S_；（3）SABC_ ；(r是切圆的半径)（4）若，则= _（5）S= _ （ 秦九韶公式）3, 三角形常见结论：（1）A+B+C=_sin(A+B)= _ COS(A+B) _ tan(A+
4、B) _, _ _(2)若ab A_B sinA_SinB _（3）若，则_ 或_4平面向量与三角形的四心：0点O为ABC的 ( 交点)；点O是ABC的 ( 交点) 为的 ( 交点)5.三角形四心与推论：（1）是的重心 SBOC:SCOA:SA0B=_（2）是的内心 SB0C:SCOA:SAOB=_（3）是的外心：（4）是的垂心：6.重心的性质：（1）重心是中线的靠近中点的_等分点； （2）GA+GB+GC = _ （3）若、，则G点坐标为(_,_)7、直角三角形中的结论：（1）角所对直角边等于斜边的_，（2）斜边上的中线等于斜边的_。 8.射影定理a=bcosC+ccosB， b=_， c=
5、_9.中线长定理为的中线,则中线定理: _ 10.角平分线定理（1）在中，为的角平分线，则有ABBD=_（2）（3）（4）（库斯顿定理）11.爪子定理已知在线段上，且，则 AD=_AB+_AC12.奔驰定理是内的一点，的面积分别为， ，则SA_+SB_+SC_=013.张角定理sinAB+sinAC=_14.倍角定理在中,三个内角的对边分别为,(1)如果(2)如果_ (3)如果_三.复数1. 数集的分类其中正整数的符号为：或2. 虚数单位规定i2=_3. 虚数单位的周期 T=_4. 复数的代数形式Z=，其中，_叫实部，_叫虚部5. 复数的分类z=a+bi实数：b=0：a=0b=0虚数：b0纯虚
6、数：b0a=06. 复数相等若_7. 共轭复数z=a,bR, 则z=_推广：zz=_8. 复数的几何意义复数复平面内的点Z_9. 复数的模 z=|a+bi|=_； 推广：=_ 10.复数的四则运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2_(2)减法：z1z2_(3)乘法：z1z2_(4)除法：_设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律：(1)交换律：z1z2_；(2)结合律：(z1z2)z3_四.立体几何1.常用结论平面图形的直观图与原图形面积的关系：S直=_S原； S原=_S直.边长为a的等边三角形面积：_棱长为a的正四面体的高：_, 体积：_ r外接球=_
7、 r内切球= _ 长,宽,高分别为a,b,c的长方体的体对角线长：_2圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式侧面展开图侧面积公式表面积体积圆 柱S 圆柱侧_棱柱圆柱S 表_V_圆 锥S 圆锥侧 _圆锥S 表_V=_圆 台棱台V=_S 圆台侧 _圆台S 表_棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面 积-不外乎三角形面积，平行四边形面积球S_V=_3.平行 图形符号应用线面平行的判定线线平行线面平行线面平行的性质线面平行线线平行面面平行的判定线面平行面面平行面面平行的性质面面平行线线平行面面平行线面平行4 .垂直图形符号应用线面垂直的判定线线垂直线面平行线面垂直的性质线面垂直线线平行面面垂直的判
8、定线面垂直面面垂直面面垂直的性质面面垂直线面垂直线面垂直线线垂直5. 外接球8大模型秒杀公式(1)墙角模型使用范围：3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合秒杀公式：R2=_(a、b、c为长方体的长宽高）（2）汉堡模型使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体秒杀公式：R2=_（3）斗笠模型使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上秒杀公式：R=_（4）切瓜模型使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥秒杀公式：_（5）折叠模型使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠秒杀公式：R2=_（6）麻花模型使用范围：对棱相等的三棱锥秒杀公式：R2=_(7)矩形模型使用范
9、围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边秒杀公式：R2=_（8）鳄鱼模型使用范围：适用所有的棱锥秒杀公式：R2=_五. 统计1. 频率分布直方图横轴表示_，纵轴表示_. 小长方形的面积_2. 总体集中趋势的估计众数一组数据中_的数中位数一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取_平均数百分位数从小到大排列，若是整数，取_；若不是整数，取_3.平均数和方差（1）离散型随机变量的平均数和方差平均数：x=_方差：s2=_ 标准差：s=_（2）分层抽样中求平均数和方差 如果层数分为2层，第1层和第2层包含个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，平均数分别为和，则样本的平
10、均数：=_=_设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差：s2=_（3）频率分布直方图中求平均数和方差组距：_的差值概率：概率=_中位数：取，前半图形面积为_众数：图形中_的中值.平均数：_方差：S2=_六.概率1.事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件） 互斥事件： _，事件A与B_ 对立事件：_，事件A与B_2，事件的运算 (1)并事件(和事件)：_或_ ； (2)交事件(积事件)：_或_3.概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有_。性质2：必然事件的概率为_，不可能事件的概率为_，即
11、P（）_，P（）_性质3：A与B互斥 _性质4： A与B对立_，_。性质5：A与B相互独立 PAB=_ P（B）=_P（A）=_ P（）=_ 性质6：如果AB，_性质7：设A，B是一个随机试验中的两个事件，PAB=_人教A版（2019）高中数学必修第一册：公式和结论 检测填空题教师版一.平面向量1.向量的有关概念：（1）向量：既有大小又有方向的量叫做向量，(2)向量的模：向量的大小称为向量的长度(或称模)，记作：|.(3)零向量:长度为0的向量叫做零向量,记作0.(4)单位向量:长度为1的向量叫做单位向量(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量叫做相等向量(6)相反向量：长度相等且方向相反的向
12、量叫做相反向量(7)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量叫做平行向量,也叫共线向量.记法:向量a平行于b,记作： 规定:零向量与任意向量平行2.向量的线性运算：向量运算定义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则交换律：；结合律：()()减法求与的相反向量的和的运算()3.向量的夹角定义图示范围共线与垂直已知两个非零向量和，作，则AOB就是与的夹角设是与的夹角，则0180 904.平面向量基本定理：（1）定理：如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量 ，存在实数1,2，使a=1e1+e2。（2）基底：不平行（不共线）的两向
13、量，叫做基底。5、平面向量的坐标运算（1）设,则(x2x1，y2y1)； （2）设 ，a=x12+y12， (x1，y1) (x1x2，y1y2)， (x1x2，y1y2)ab=abcos=x1x2+y1y2夹角公式; cos=abab = x1x2+y1y2x12+y12x22+y22.平行： a/b b=aa0 x1y2=x2y1垂直： ab ab=0 x1x2+y1y2=0若向量ab0且a与b不平行若向量abb AB sinASinB （3）若，则2A=2B或2A+2B=4、平面向量与三角形的心：0点O为ABC的重心 (中线交点)；点O是ABC的垂心 (高线交点) 为的内心 (角平分线交
14、点)5.三角形四心与推论：（1）是的重心 SBOC:SCOA:SA0B=1:1:1（2）是的内心 SB0C:SCOA:SAOB=a:b:c（3）是的外心：（4）是的垂心：6.重心的性质：（1）重心是中线的靠近中点的三等分点； （2）GA+GB+GC = 0 （3）若、，则G点坐标为(x1+x2+x33, y1+y2+y33)7、直角三角形中的结论：A（1）角所对直角边等于斜边的一半，（2）斜边上的中线等于斜边的一半。 8.射影定理，9.中线长定理为的中线,则中线定理:10.角平分线定理（1）在中，为的角平分线，则有（2）（3）（4）（库斯顿定理）11.爪子定理已知在线段上，且，则 12.奔驰定
15、理是内的一点，的面积分别为， ，则13.张角定理14.倍角定理在中,三个内角的对边分别为,(1)如果(2)如果(3)如果三.复数10. 数集的分类其中正整数的符号为：或11. 虚数单位，规定12. 虚数单位的周期13. 复数的代数形式Z=，叫实部，叫虚部14. 复数的分类z=a+bi实数：b=00：a=0b=0虚数：b0纯虚数：b0a=015. 复数相等若16. 共轭复数若z=a+bi, 则 z=abia,bR，推广：zz=a2+b217. 复数的几何意义复数复平面内的点18. 复数的模； 推广：=z1z210.复数的四则运算设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)，则(1)加法：z1z2
16、(ac)(bd)i；(2)减法：z1z2(ac)(bd)i；(3)乘法：z1z2(acbd)(adbc)i；(4)除法：i (cdi0)设z1，z2，z3C，则复数加法满足以下运算律：(1)交换律：z1z2z2z1；(2)结合律：(z1z2)z3z1(z2z3)四.立体几何1.常用结论平面图形的直观图与原图形面积的关系：边长为a的等边三角形面积：34a2棱长为a的正四面体的高：63a, 体积：212a3 r外接球=64a r内切球= 612a 长,宽,高分别为a,b,c的长方体的体对角线长：a2+b2+c22圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式侧面展开图侧面积公式表面积体积圆 柱S 圆柱侧
17、2rl棱柱圆柱S 表S 侧2S底VSh圆 锥S 圆锥侧 rl圆锥S 表S 侧S 底圆 台棱台S 圆台侧 (r1r2)l圆台S 表S 侧S 上S 下棱柱、棱锥、棱台求表面积需要求各个面的面 积-不外乎三角形面积，平行四边形面积球S4R23.平行 图形符号应用线面平行的判定线线平行线面平行线面平行的性质线面平行线线平行面面平行的判定线面平行面面平行面面平行的性质面面平行线线平行面面平行线面平行4 .垂直图形符号应用线面垂直的判定线线垂直线面垂直线面垂直的性质线面垂直线线平行面面垂直的判定线面垂直面面垂直面面垂直的性质面面垂直线面垂直a，bab线面垂直线线垂直5. 外接球8大模型秒杀公式(1)墙角模
18、型使用范围：3条棱两两垂直；或可在长方体中画出该图且各顶点与长方体的顶点重合秒杀公式：R2=a2+b2+c24(a、b、c为长方体的长宽高）（2）汉堡模型使用范围：有一条侧棱垂直与底面的柱体或椎体秒杀公式：（3）斗笠模型使用范围：正棱锥或顶点的投影在底面的外心上秒杀公式：（4）切瓜模型使用范围：有两个平面互相垂直的棱锥秒杀公式：（5）折叠模型使用范围：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折叠秒杀公式：（6）麻花模型使用范围：对棱相等的三棱锥秒杀公式：(7)矩形模型使用范围：棱锥有两个平面为直角三角形且斜边为同一边秒杀公式：（8）鳄鱼模型使用范围：适用所有的棱锥秒杀公式：五. 统计1. 频
19、率分布直方图横轴表示样本数据，纵轴表示. 小长方形的面积组距频率3. 总体集中趋势的估计众数一组数据中出现次数最多的数中位数一组数据按大小顺序排列后，处于中间位置的数.如果个数是偶数，则取中间两个数据的平均数平均数百分位数从小到大排列，若是整数，取；若不是整数，取下一个数据.3.平均数和方差（1）离散型随机变量的平均数和方差平均数：x=1nx1+x2+.+xnx=1ni=1nxi方差： 标准差：（2）分层抽样中求平均数和方差 如果层数分为2层，第1层和第2层包含个体数分别为M和N，抽取的样本量分别为m和n，平均数分别为和，则样本的平均数：=+=+.设样本容量为n，平均数为，其中两层的个体数量分
20、别为n1，n2，两层的平均数分别为1，2，方差分别为s，s，则这个样本的方差：s2=s+（1-）2+s+（2-）2（3）频率分布直方图中求平均数和方差组距：相邻横坐标之间的差值概率：概率=纵组距（面积）中位数：取，前半图形面积为众数：图形中最高的中值.平均数：方差：六.概率1.事件的关系（对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件）互斥事件：，事件A与B不能同时发生对立事件：AB=,且AB=，事件A与B有且只有一个发生.2.事件的运算 (1)并事件(和事件)： ； (2)交事件(积事件)：3.概率的基本性质性质1：对任意的事件A，都有P（A）0性质2：必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P（）1，P（）0性质3：A与B互斥 P （AB）P（A）P（B）性质4： A与B对立则P（B）1P（A），P（A）1P（B）性质5：A与B相互独立 PAB=PAPB P（B）=P()P(B)P（A）=P(A)P() P（）=P()P() 性质6：如果AB，P（A）P（B）性质7：设A，B是一个随机试验中的两个事件，24
