1、第1讲 加减与数乘 图形直观悟四基概述1.基本概念名称定义符号表示注意点向量既有大小又有方向的量，(书写有)角度 ( 任意角 ) 有大小还有两个旋转方向，但它是数量不是向量，因为它可以用数轴上的点表示，而向量不能在数轴上表示有线线段具有方向的线段有向线段有起点、方向、长度三个要素，是向量的几何表示向量的长度或模向量的大小，(书写有)向量不能比较大小，但向量的模长可以比较大小，如 | a + b | | a | + | b |零向量长度为0的向量0 ( 书写用 )规定对于任意向量 ,都有 0 单位向量长度等于1个单位长度的向量 表示与同向的单位向量若把所有表示单位向量的有向线段的起点放在同一点，
2、那么它们的终点会构成一个单位圆平行向量，共线向量方向相同或相反的非零向量,表示平行向量的有向线段有可能平行，也有可能共线，要结合其他条件进行判断相等向量长度相等且方向相同的向量若已知平行四边形ABCD，那么有向线段和 虽然起点不同但表示的是同一个向量相反向量长度相等且方向相反的向量 表示向量 的相反向量的相反向量可以是 , 且相反向量之和为零向量 , 即 2. 线性运算(1) 向量的加减法运算(2)数乘运算(3) 化简如 , 转化如 , 此类以首尾相连法为基础的 化简和转化可以脱离具体几何图形, 甚至可以脱 离平面推广到空间, 是向量运算的基本技能.(4) 若 且 和 不共线, 则由 可得 和
3、 , 这个推论很有用.典侧分析例 1 根据下列各小题的条件, 试判断四边形 的形状.(1) ;(2) (3) 且 .【思路点拨】利用向量线性运算的几何意义, 构建 与向量代数关系式对应的几何模型, 这是用几何 法解决向量问题的切入口.【自主解答】例 2 在任意四边形 中, 和 分别是 和 的中点,(1) 求证: .(2) 若 三点重合, 你能 得到什么结论?(3) 若 两点重合, 你能得 到什么结论?例 2 图 【思路点拨】利用同一向量的不同回路中的相反向 量关系, 得到向量的中点公式.【自主解答】例 3 已知平行四边形 , 点 是 的中 点, 与 相交于点 , 设 , 用 表示 .例 3 图
4、【思路点拨】表示 时, 利用相等向量的不同回路 中的共线向量关系, 得到所需的等式, 体现了向量 运算就是几何关系的代数化, 当然也可以先用相 似三角形得到所需的几何关系, 再用向量表示.【自主解答】例4已知 凸六边形 的 6 个顶点是 和 的各边的交点, 且 . 求证: .例 4 图【思路点拨】本题主要考查数乘运算的几何意义和 向量回路的应用, 最好先假设 , , 这样处理可使解答更 简洁.例 已知 分别是 的边 , 的中点, 求证: 相交于一点 且 .【思路点拨】可以先假设 与 相交于点 , 若 用几何法就要根据中位线性质, 利用相似三角形, 得到点 是中线的三等分点, 所以向量法的关键
5、也是先要用回路法得到 , 然后根据题目 条件利用共线向量构造不同的回路来表示相等向 量, 进而得证.【自主解答】例 6 已知 的外接圆圆心 为 , 垂心为 , 求证: .【思路点拨】取 和 的中点 , 利用中位线 的向量等式, 构造相等向量的不同回路, 结合 垂线与中垂线平行, 找到不同回路中的平行向量, 就可以得到关键等式来证明.【自主解答】 巩固练习1.下列结论中正确的是( ).A. 单位向量大于零向量B. 若 , 则 C. 若 , 则 D. 若 和 不共线且 , 则 2. 如图, 向量 的起点与终点均在正方形网格 的格点上, 若 , 则 第 2 题图A. B. 3C. 1D. 3.已知非
6、零向量 , 使得 成立 的充分非必要条件是 ( ).A. B. C. D. 4.在 中, 为 的中点. 设 , 则下列向量中与 同向的是 ( ).A. B. C. D. 5.在 中, 和 分别是边 上的点, 且 , 若 , 则 .A. B. C. D. 6.已知 三点不共线, 且点 满足 , 则下列结论中正确的是 ( ).A. B. C. D. 7.若 为 内一点, 且 , 则 的形状为 ( ).A. 等边三角形B. 等腰三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形 8. 如图,在正 中, 分 别是 的中点, 则与向 量 相等的向量是 。第 8 题图 9.化简: ； 10.已知点 在线段 上, 且 , 则 ； ( 为直线 外一点).11.已知点 为 外接圆的圆心, 且 , 则 12.在平行四边形 中, 分别是 的中点, 若 , 则 13.如图,已知向量 , 求作向量 .第 13 题图14.如图,已知 是平行四边形 对角线的交 点, 过 点的两条直线交四边于 四 点, 用向量证明四边形 是平行四边形.15.在五边形 中, 点 分别是 , 的中点, 点 和 分别是 和 的中点, 求证: 且 .第 15 题图拓展探究16.如图, 已知点 是 所在平面内一点, 满 足 , 求 与 的 面积之比.
